Bài tập áp dụng định lí sin, định lí cosin toán 10 có đáp án chi tiết
Cách áp dụng định lý cosin trong Toán 10
Trong chuyên đề Tam giác Toán 10, hai định lý quan trọng nhất là định lý sin và định lý cosin – nền tảng để giải hầu hết các bài toán liên quan đến cạnh và góc của tam giác. Bài viết Bài tập áp dụng định lí sin, định lí cosin Toán 10 có đáp án chi tiết sẽ giúp học sinh hiểu rõ cách vận dụng công thức, nắm vững phương pháp giải và rèn luyện tư duy hình học thông qua hệ thống bài tập chọn lọc kèm lời giải chi tiết, dễ hiểu.
A. Phương pháp giải
- Biết độ dài một cạnh và số đo hai góc của một tam giác dùng định lí sin.
- Biết độ dài hai cạnh và một góc (không xen giữa) tính độ dài cạnh còn lại;
Cách 1: Dùng định lí sin
Trong tam giác 
\(ABC\) với \(BC = a,\ \ AC = b\), \(AB = c\) và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có:
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =
\frac{c}{\sin C} = 2R\)
Cách 2: Dùng định lí côsin
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\ \ AC = b\) và \(AB = c\). Ta có:
\(a^{2} = b^{2} + c^{2} -
2bc.cosA\)
\(b^{2} = c^{2} + a^{2} -
2ca.cosB\)
\(c^{2} = a^{2} + b^{2} -
2ab.cosC\)
Hệ quả:
\(\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} -
a^{2}}{2bc}\) \(\cos B = \frac{c^{2} +
a^{2} - b^{2}}{2ca}\) \(\cos C =
\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\)
B. Ví dụ minh họa áp dụng định lí sin, định lí cosin
Ví dụ 1: Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 60{^\circ},\ \ \widehat{C} =
45{^\circ}\) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
Hướng dẫn giải
Theo định lí sin, ta có:
\(\frac{AB}{\sin\widehat{C}} =
\frac{AC}{\sin\widehat{B}} \Leftrightarrow \frac{5}{sin45^{0}} =
\frac{AC}{sin60^{0}}\)
\(\Rightarrow AC =
\frac{5\sqrt{6}}{2}\)
Vậy độ dài cạnh AC là \(\frac{5\sqrt{6}}{2}\).
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có \(a = 137,5cm\), \(\widehat{B} = 83^{0};\widehat{C} =
57^{0}\). Tính góc và độ dài các cạnh còn lại của tam giác (chính xác đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\widehat{A} = 180^{0} - \left(
\widehat{B} + \widehat{C} \right) = 40^{0}\)
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\Rightarrow b = \frac{a.sinB}{\sin A} \approx 211,6cm\)
Tương tự: \(c \approx\)178,8 cm
Vậy độ dài các cạnh còn lại của tam giác khoảng 178,8 cm và 211,6 cm, góc còn lại của tam giác bằng 400.
Ví dụ 3: Tam giác \(ABC\) có \(AB = \sqrt{2},\ \ AC = \sqrt{3}\) và \(\widehat{C} = 45^{0}\). Tính độ dài cạnh \(BC\).
Hướng dẫn giải
Theo định lí côsin, ta có
\(AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} -
2.AC.BC.cos\widehat{C}\)
\(\Rightarrow \left( \sqrt{2} \right)^{2}
= \left( \sqrt{3} \right)^{2} + BC^{2} -
2.\sqrt{3}.BC.cos45^{0}\)
\(\Rightarrow BC = \frac{\sqrt{6} +
\sqrt{2}}{2}\).
Vậy độ dài cạnh BC là: \(\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{2}\)
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho góc \(\widehat{xOy} =
30{^\circ}\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB
= 1\). Tìm độ dài lớn nhất của đoạn \(OB\).
Bài tập 2: Cho góc \(\widehat{xOy} =
30{^\circ}\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB
= 1\). Tìm độ dài của đoạn \(OA\) khi \(OB\) có độ dài lớn nhất.
Bài tập 3: Cho tứ giác lồi \(ABCD\) có \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC} =
90{^\circ}\), \(\widehat{BAD} =
120{^\circ}\) và \(BD =
a\sqrt{3}\). Tính \(AC\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
--------------------------------------------------------
FAQ
1. Định lí sin và định lí cosin được sử dụng trong những trường hợp nào?
Định lí sin thường được áp dụng khi biết một cặp cạnh và góc đối diện hoặc biết hai góc và một cạnh của tam giác. Trong khi đó, định lí cosin được sử dụng khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc biết độ dài ba cạnh để tính góc còn lại của tam giác.
2. Làm thế nào để phân biệt khi nào dùng định lí sin, khi nào dùng định lí cosin?
Nếu bài toán có dữ kiện liên quan đến cạnh – góc đối diện, nên ưu tiên định lí sin. Nếu đề bài cho hai cạnh và góc xen giữa hoặc ba cạnh của tam giác, định lí cosin sẽ là lựa chọn phù hợp hơn.
3. Bài tập áp dụng định lí sin, định lí cosin trong Toán 10 thường có những dạng nào?
Các dạng bài phổ biến gồm:
- Tính cạnh của tam giác.
- Tính số đo góc.
- Tính diện tích tam giác.
- Chứng minh hệ thức trong tam giác.
- Giải tam giác hoàn chỉnh.
- Bài toán thực tế về đo khoảng cách và đo chiều cao.
4. Có thể áp dụng đồng thời định lí sin và định lí cosin trong cùng một bài toán không?
Có. Nhiều bài toán yêu cầu sử dụng định lí cosin để tìm một cạnh hoặc một góc trước, sau đó tiếp tục áp dụng định lí sin để tính các yếu tố còn lại của tam giác.
5. Những lỗi học sinh thường gặp khi áp dụng định lí sin và định lí cosin là gì?
Một số lỗi phổ biến gồm:
- Ghép sai cạnh với góc đối diện.
- Áp dụng nhầm công thức giữa hai định lí.
- Nhập sai chế độ DEG/RAD trên máy tính.
- Làm tròn kết quả quá sớm.
- Bỏ qua điều kiện tồn tại của tam giác.
6. Làm sao để giải nhanh bài tập định lí sin và định lí cosin?
Học sinh nên:
- Vẽ hình và ký hiệu đầy đủ các cạnh, góc.
- Xác định dữ kiện đã biết trước khi chọn công thức.
- Nhận diện đúng dạng toán.
- Kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu với điều kiện của tam giác.
- Chỉ làm tròn ở bước cuối nếu đề bài yêu cầu.
-----------------------------------------
Hy vọng bộ bài tập áp dụng định lí sin, định lí cosin Toán 10 có đáp án chi tiết sẽ giúp các em nắm vững kiến thức trọng tâm của chuyên đề Tam giác Toán 10. Hãy luyện tập thường xuyên để rèn kỹ năng tính toán, phân tích hình học và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra cũng như kỳ thi sắp tới!
