Bài tập áp dụng định lí sin, định lí cosin toán 10 có đáp án chi tiết
Cách áp dụng định lý cosin trong Toán 10
Trong chuyên đề Tam giác Toán 10, hai định lý quan trọng nhất là định lý sin và định lý cosin – nền tảng để giải hầu hết các bài toán liên quan đến cạnh và góc của tam giác. Bài viết Bài tập áp dụng định lí sin, định lí cosin Toán 10 có đáp án chi tiết sẽ giúp học sinh hiểu rõ cách vận dụng công thức, nắm vững phương pháp giải và rèn luyện tư duy hình học thông qua hệ thống bài tập chọn lọc kèm lời giải chi tiết, dễ hiểu.
A. Phương pháp giải
Biết độ dài một cạnh và số đo hai góc của một tam giác dùng định lí sin.
Biết độ dài hai cạnh và một góc (không xen giữa) tính độ dài cạnh còn lại;
Cách 1: Dùng định lí sin
Trong tam giác 
\(ABC\) với \(BC = a,\ \ AC = b\), \(AB = c\) và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có:
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} =
\frac{c}{\sin C} = 2R\)
Cách 2: Dùng định lí côsin
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC = a,\ \ AC = b\) và \(AB = c\). Ta có:
\(a^{2} = b^{2} + c^{2} -
2bc.cosA\)
\(b^{2} = c^{2} + a^{2} -
2ca.cosB\)
\(c^{2} = a^{2} + b^{2} -
2ab.cosC\)
Hệ quả:
\(\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} -
a^{2}}{2bc}\) \(\cos B = \frac{c^{2} +
a^{2} - b^{2}}{2ca}\) \(\cos C =
\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}\)
B. Ví dụ minh họa áp dụng định lí sin, định lí cosin
Ví dụ 1: Tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 60{^\circ},\ \ \widehat{C} =
45{^\circ}\) và \(AB = 5\). Tính độ dài cạnh \(AC\).
Hướng dẫn giải
Theo định lí sin, ta có:
\(\frac{AB}{\sin\widehat{C}} =
\frac{AC}{\sin\widehat{B}} \Leftrightarrow \frac{5}{sin45^{0}} =
\frac{AC}{sin60^{0}}\)
\(\Rightarrow AC =
\frac{5\sqrt{6}}{2}\).
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có \(a = 137,5cm\), \(\widehat{B} = 83^{0};\widehat{C} =
57^{0}\). Tính góc và độ dài các cạnh còn lại của tam giác (chính xác đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\widehat{A} = 180^{0} - \left(
\widehat{B} + \widehat{C} \right) = 40^{0}\)
\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\Rightarrow b = \frac{a.sinB}{\sin A} \approx 211,6cm\)
Tương tự: \(c \approx\)178,8 cm
Ví dụ 3: Tam giác \(ABC\) có \(AB = \sqrt{2},\ \ AC = \sqrt{3}\) và \(\widehat{C} = 45^{0}\). Tính độ dài cạnh \(BC\).
Hướng dẫn giải
Theo định lí côsin, ta có
\(AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} -
2.AC.BC.cos\widehat{C}\)
\(\Rightarrow \left( \sqrt{2} \right)^{2}
= \left( \sqrt{3} \right)^{2} + BC^{2} -
2.\sqrt{3}.BC.cos45^{0}\)
\(\Rightarrow BC = \frac{\sqrt{6} +
\sqrt{2}}{2}\).
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho góc \(\widehat{xOy} =
30{^\circ}\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB
= 1\). Tìm độ dài lớn nhất của đoạn \(OB\).
Bài tập 2: Cho góc \(\widehat{xOy} =
30{^\circ}\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm di động lần lượt trên \(Ox\) và \(Oy\) sao cho \(AB
= 1\). Tìm độ dài của đoạn \(OA\) khi \(OB\) có độ dài lớn nhất.
Bài tập 3: Cho tứ giác lồi \(ABCD\) có \(\widehat{ABC} = \widehat{ADC} =
90{^\circ}\), \(\widehat{BAD} =
120{^\circ}\) và \(BD =
a\sqrt{3}\). Tính \(AC\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
--------------------------------------------------------
Hy vọng bộ bài tập áp dụng định lí sin, định lí cosin Toán 10 có đáp án chi tiết sẽ giúp các em nắm vững kiến thức trọng tâm của chuyên đề Tam giác Toán 10. Hãy luyện tập thường xuyên để rèn kỹ năng tính toán, phân tích hình học và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra cũng như kỳ thi sắp tới!
