Cách tính và giải bài tập góc giữa hai vectơ Toán 10 có lời giải chi tiết
Cách tính góc giữa hai vectơ
Bài viết Cách tính và giải bài tập góc giữa hai vectơ Toán 10 có lời giải chi tiết giúp học sinh hiểu rõ khái niệm góc giữa hai vectơ, công thức tính và cách vận dụng vào từng dạng bài cụ thể. Thông qua bộ bài tập Toán 10 vectơ có đáp án, người học sẽ nắm vững kỹ năng giải nhanh, phân tích bài toán chính xác và củng cố kiến thức phần vectơ trong chương trình Toán 10.
A. Công thức tính góc giữa hai vectơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ 
\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\). Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ \(\overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}\). Số đo góc \(AOB\) được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
Kí hiệu: \(\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)\)
Quy ước: Nếu \(\overrightarrow{a} =
\overrightarrow{0}\) hoặc \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\) thì ta xem góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là tùy ý (từ \(0^{0}\) đến \(180^{0}\)).
Tích vô hướng của hai vectơ: Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số thực được xác định bởi: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|
\overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b}
\right|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\).
B. Ví dụ minh họa tính góc giữa hai vectơ
Ví dụ 1: Cho \(\Delta ABC\) đều. Tìm:
a) \((\overrightarrow{AB\
},\overrightarrow{AC})\) b) \((\overrightarrow{AB\
},\overrightarrow{BC})\) c) \(\sin\left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}
\right)\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Ta có: \((\overrightarrow{AB\
},\overrightarrow{AC}) = \widehat{A} = 60^{0}\)
b) Ta có: \((\overrightarrow{AB\
},\overrightarrow{BC}) = 180^{0} - (\overrightarrow{BA\
},\overrightarrow{BC}) = 180^{0} - 60^{0} = 120^{0}\)
c) Ta có:
\(\left(
\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC} \right) = \left(
\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA} \right) = \widehat{C} =
60^{0}\)
\(\Rightarrow \sin\left(
\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC} \right) = sin60^{0} =
\frac{\sqrt{3}}{2}.\)
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) và có \(\widehat{B} = 40^{0}\). Thực hiện các yêu cầu dưới đây:
a) Tìm \(\left(
\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB} \right)\) b) Tính \(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}
\right)\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có \(\left(
\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB} \right) = \widehat{C} = 90^{0} -
40^{0} = 50^{0}\)
b) Ta có \(\left(
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right) = 180^{0} - \left(
\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC} \right) = 180^{0} - 40^{0} =
140^{0}\)
Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat{A} = 120^{0}\). Tìm tổng \(\left( \overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{BC}
\right) + \left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{CA}
\right)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Vẽ các vectơ \(\overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CE} =
\overrightarrow{BC}\).
Ta có :
\(\left( \overrightarrow{AB},\
\overrightarrow{BC} \right) + \left( \overrightarrow{BC},\
\overrightarrow{CA} \right) = \left( \overrightarrow{BD},\
\overrightarrow{BC} \right) + \left( \overrightarrow{CE},\
\overrightarrow{CA} \right) = \widehat{CBD} + \widehat{ACE}\)
\(= 180{^\circ} - \widehat{ABC} +
180{^\circ} - \widehat{ACB} = 360{^\circ} - \left( \widehat{ABC} +
\widehat{ACB} \right)\)
\(= 360{^\circ} - \left( 180{^\circ} -
\widehat{A\ } \right) = 360{^\circ} - 60{^\circ} =
300{^\circ}\).
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho hình vuông \(ABCD\) tâm \(O\) Tính tổng \(\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}
\right) + \left( \overrightarrow{AD},\overrightarrow{CB} \right) +
\left( \overrightarrow{CO},\overrightarrow{DC} \right).\)
Bài tập 2: Tam giác \(ABC\) có góc \(A\) bằng \(100^{o}\) và có trực tâm \(H.\) Tính tổng \(\left( \overrightarrow{HA},\overrightarrow{HB}
\right) + \left( \overrightarrow{HB},\overrightarrow{HC} \right) +
\left( \overrightarrow{HC},\overrightarrow{HA} \right).\)
Bài tập 3: Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) và có góc \(\widehat{B} = 50^{o}\). Hệ thức nào sau đây sai?
A. \(\left( \overrightarrow{AB},\
\overrightarrow{BC} \right) = 130^{o}\). B. \(\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC}
\right) = 40^{o}\).
C. \(\left( \overrightarrow{AB},\
\overrightarrow{CB} \right) = 50^{o}\). D. \(\left( \overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{CB}
\right) = 40^{o}\).
Bài tập 4. Cho tam giác đều \(ABC.\) Tính \(\left( \overrightarrow{BC},\
\overrightarrow{AC} \right)\)?
A. \(\left( \overrightarrow{BC},\
\overrightarrow{AC} \right) = 40^{o}\). B. \(\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC}
\right) = 60^{o}\).
C. \(\left( \overrightarrow{AB},\
\overrightarrow{CB} \right) = 50^{o}\). D. \(\left( \overrightarrow{BC},\ \overrightarrow{AC}
\right) = 120^{o}\).
Bài tập 5: Cho tam giác đều \(ABC.\) Tính:
\(P = \cos\left(
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC} \right) + \cos\left(
\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA} \right) + \cos\left(
\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AB} \right).\)
A. \(P = \frac{3\sqrt{3}}{2}\). B. \(P = \frac{3}{2}\). C. \(P = - \frac{3}{2}\). D. \(P = - \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
-----------------------------------------------------
Qua bài viết Cách tính và giải bài tập góc giữa hai vectơ Toán 10 có lời giải chi tiết, bạn đã hiểu rõ công thức tính, mối quan hệ giữa hai vectơ và cách áp dụng vào từng dạng bài cụ thể. Việc nắm vững phần kiến thức này giúp bạn xử lý linh hoạt các bài toán hình học, tọa độ và tích vô hướng trong chương trình Toán 10.
Hãy tiếp tục luyện tập thêm các bài tập Toán 10 vectơ có đáp án khác để củng cố kỹ năng, tự tin chinh phục mọi đề thi và nâng cao tư duy hình học không gian.
