Hướng dẫn giải bài toán tính biểu thức vectơ và tích vô hướng lớp 10
Cách áp dụng tích vô hướng trong bài toán hình học lớp 10
Trong chương trình Hình học và Đại số lớp 10, phần kiến thức về vectơ và tích vô hướng giữ vai trò nền tảng quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa đại số và hình học. Đặc biệt, việc thành thạo kỹ năng tính biểu thức vectơ và tích vô hướng không chỉ giúp giải nhanh các bài tập trong sách giáo khoa, mà còn tạo cơ sở để vận dụng vào các bài toán hình học phức tạp. Bài viết này sẽ mang đến cho bạn hướng dẫn chi tiết cách giải bài toán tính biểu thức vectơ và tích vô hướng lớp 10, kèm ví dụ minh họa và lời giải rõ ràng, giúp học sinh dễ học, dễ hiểu và áp dụng hiệu quả trong thực hành.
A. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ 
\(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Từ một điểm \(A\) tùy ý, vẽ các vectơ \(\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{u};\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{v}\). Khi đó, số đo của góc \(\widehat{BAC}\) được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\) hay đơn giản là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\).
Kí hiệu là \(\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)\).
Chú ý:
- Quy ước rằng góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{0}\) có thể nhận một giá trị tùy ý từ \(0^{0}\) đến \(180^{0}\)
- Nếu \(\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right) = 90^{0}\) thì ta nói rằng \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\) vuông góc với nhau. Kí hiệu \(\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}\) hoặc \(\overrightarrow{v}\bot\overrightarrow{u}\). Đặc biệt \(\overrightarrow{0}\) được coi là vuông góc với mọi vectơ.
B. Công thức tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\) là một số. Kí hiệu là: \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\)
Được xác định bởi công thức:
\(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} =
\left| \overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{v}
\right|.cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v}
\right)\)
Chú ý:
- \(\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v}
\Rightarrow \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0\)
- \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}\) còn được viết là \({\overrightarrow{u}}^{2}\) và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{u}\).
- Ta có: \({\overrightarrow{u}}^{2} = \left|
\overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|.cos\left(
\overrightarrow{u};\overrightarrow{u} \right) = \left|
\overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|.cos0^{0} =
\left| \overrightarrow{u} \right|^{2}\)
C. Bài tập ví dụ minh họa tính tích vô hướng của vectơ
Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\), \(\widehat{ABC} = 30^{o}\), cạnh \(BC = 2a\).
a) Tính \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}\).
b) Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC\). Trên các cạnh \(AB,AC\) lần lượt lấy các điểm \(M,N\) sao cho \(\sqrt{3}MB + NC = BC\). Chứng minh rằng \(MI\bot NI\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) \(BA = BC.cos\ \widehat{ABC} = 2a.cos\
30{^\circ} = a\sqrt{3}\)
\(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}
= BA.BC.cos\ \widehat{ABC} = a\sqrt{3}.2a.cos\ 30{^\circ} =
3a^{2}\)
b) \(\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{NI} = \left(
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BI} \right).\left(
\overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CI} \right)\)
\(=
\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{NC} +
\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CI} +
\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{NC} +
\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{CI}\)
\(= MB.IB.cos30^{o} + IC.NC.cos60^{o} +
BI.CI.cos180^{o}\)
\(= \frac{a\sqrt{3}}{2}.MB +
\frac{a}{2}.NC - a^{2} = \frac{a}{2}.\left( \sqrt{3}MB + NC - 2a
\right)\)
\(= \frac{a}{2}\left( \sqrt{3}MB + NC - BC
\right) = 0\) (đpcm).
\(\Rightarrow MI\bot NI\)
Ví dụ. Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), đường cao \(AH\). Tính:
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\).
b) \(\left( \overrightarrow{CB} -
\overrightarrow{CA} \right)\left( 2\overrightarrow{CA} -
3\overrightarrow{AH} \right)\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Tính : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
= \left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{AC}
\right|cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\)
Ta có: \(\overrightarrow{CB} -
\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB}\)
\(\left( \overrightarrow{CB} -\overrightarrow{CA} \right)\left( 2\overrightarrow{CA} -3\overrightarrow{AH} \right) = \overrightarrow{AB}\left(2\overrightarrow{CA} - 3\overrightarrow{AH} \right)\)\(=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA} -3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}\)
\(2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}
= - 2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = - 2.\frac{a^{2}}{2} = -
a^{2}\)
\(3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}
= 3.AB.AH.cos\widehat{BAH} = 3.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.cos30^{0} =
\frac{9a^{2}}{4}\)
\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}
= AB.AC.cos\widehat{BAC} = a.a.cos60^{0} = \frac{a^{2}}{2}\)
\(\left( \overrightarrow{CB} -\overrightarrow{CA} \right)\left( 2\overrightarrow{CA} -3\overrightarrow{AH} \right) = -2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} -3\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AH}\)\(= - a^{2} - \frac{9a^{2}}{4} =- \frac{13a^{2}}{4}\)
C. Bài tập tự rèn luyện tính tích vô hướng của biểu thức vectơ
Bài 1. Cho tam giác ABC biết AB = 2; AC = 3; góc A bằng 120\(\ ^{0}\).
a. Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\)
b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, phân tích \(\overrightarrow{AG}\) theo 2 vectơ \(\overrightarrow{AB},\ \
\overrightarrow{AC}\).
Bài 2. Cho \(\Delta ABC\) đều cạnh 2a. Gọi M, N là hai điểm thỏa \(2\overrightarrow{BM} =
\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{NC} = -
2\overrightarrow{NB}\), P là điểm thuộc cạnh AC sao cho \(MP\bot AN\). Tính tỉ số \(\frac{PA}{PC}\).
Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD, \(AB = 3a,AC
= 4a\). Tính \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.\)
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB =
3;AD = 4\).
a) Tính \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}.\)
b) Chứng minh rằng: \(AB^{2} -
\overrightarrow{AB}\overrightarrow{.AD} +
\overrightarrow{AB}\overrightarrow{.BD} = 0\).
Bài 5. Cho tam giác ABC có \(AC = 7a,AB =
8a,BC = 5a\). Tính \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{CB}\) theo \(a\).
Bài 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng \(2\) và có chiều cao \(AH\). Tính các tích vô hướng
a) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\) b) \(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{CA}\).
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu!
------------------------------------------------------------------
Việc nắm vững cách giải bài toán tính biểu thức vectơ và tích vô hướng không chỉ hỗ trợ học sinh lớp 10 trong các dạng toán cơ bản, mà còn mở ra nhiều ứng dụng thực tế trong hình học không gian, vật lý và các môn khoa học khác. Khi luyện tập thường xuyên với bài tập có hướng dẫn chi tiết, học sinh sẽ dễ dàng nhận biết phương pháp giải, tránh nhầm lẫn và tăng tốc độ xử lý bài thi. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có thêm nền tảng vững chắc để học tốt phần tích vô hướng của vectơ Toán 10, đồng thời tự tin hơn trong việc áp dụng vào các bài toán nâng cao. Đừng quên ôn luyện thường xuyên và tham khảo thêm nhiều chuyên đề khác để củng cố và mở rộng kiến thức của mình.
