Phương trình đường Hypebol
Các dạng bài tập đường Hyperbol Toán 10
Phương trình đường Hyperbol là một nội dung quan trọng trong chuyên đề Đường Conic của chương trình Toán 10 theo cấu trúc mới. Đây là dạng kiến thức yêu cầu học sinh hiểu rõ phương trình chính tắc, các yếu tố đặc trưng như tâm, tiêu điểm, tiệm cận và biết vận dụng linh hoạt vào các bài toán nhận dạng, tính toán cũng như chứng minh. Bài viết tổng hợp đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và hệ thống bài tập có đáp án giúp học sinh học tập hiệu quả.
A. Công thức phương trình Hypebol cần nhớ
Phương pháp: Cho Hypebol có phương trình: 
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(a;b>0\). Các yếu tố trong Hypebol:
Độ dài trục thực: \({A_1}{A_2} = 2a\);
Độ dài trục ảo: \({B_1}{B_2} = 2b\);
Độ dài tiêu cự: \({F_1}{F_2} = 2c\)
Tọa độ các đỉnh: \({A_1}\left( { - a\,;\,0} \right)\), \({A_2}\left( {a\,;\,0} \right)\).
Tiêu điểm: \({F_1}\left( { - c\,;\,0} \right)\), \({F_2}\left( {c\,;\,0} \right)\).
B. Bài tập tự luận Phương trình Hypebol tiêu biểu
Bài tập 1: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\). Tìm tiêu điểm của hypebol
Hướng dẫn giải
Ta có \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 1\\
b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow c = \sqrt 5\)
\(\Rightarrow {F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\).
Bài tập 2: Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí \(A;B\) cách nhau 300 km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc 292 000 km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômet.
Hướng dẫn giải
Do tín hiệu đến A sớm hơn tín hiệu từ B nên tàu thuỷ thuộc đường hepebol nhánh A.
Gọi vị trí tàu thuỷ là điểm M. Khi đó phương trình hyperbol có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{b} = 1\)
Khi đó \(\left| {MA - MB} \right| = 2a = 292000.0,0005 = 146\) (km) \(\Rightarrow a = 73\)
Mặt khác \(AB = 300 = 2c \Rightarrow c = 150\)
Từ đó \({b^2} = {c^2} - {a^2} = 17171\)
Vậy phương trình hyperbol \(\frac{{{x^2}}}{{{{73}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{17171}^2}}} = 1\).
Bài tập 3: Cho hypebol \(4{x^2} - 5{y^2} = 20\). Tìm độ dài trục thực, trục ảo và tiêu cự.
Hướng dẫn giải
Ta có \(4{x^2} - 5{y^2} = 20 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{5} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \sqrt 5 \\
b = 2
\end{array} \right.\) suy ra \(2a = 2\sqrt 5 ,2b = 4,2c = 6\).
Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hypebol có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9}-\frac{{{y^2}}}{7} = 1\) và \(M\) là một điểm thuộc hypebol có hoành độ bằng \(12\). Tính \(M{F_1},M{F_2}\) với \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm.
Hướng dẫn giải
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} = 9\\
{b^2} = 7
\end{array} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4\)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
M{F_1} = \left| {a + \frac{c}{a}x} \right| = 19\\
M{F_2} = \left| {a - \frac{c}{a}x} \right| = 13
\end{array} \right.\)
Bài tập 5: Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hypebol có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Đường thẳng \(y=3\) cắt hybepol tại hai điểm \(A;B\). Tính diện tích tam giác \(OAB\).
Hướng dẫn giải
Thay \(y=3\) vào phương trình \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) ta được: \({x^2} = 8\).
Do đó đường thẳng \(y=3\) cắt hybepol tại hai điểm \(A\left( { - 2\sqrt 2 ;\,3} \right),\,B\left( {2\sqrt 2 ;3} \right)\).
Tam giác \(OAB\) cân tại O nên diện tích tam giác \(OAB\): \(S = \frac{1}{2}.3.AB = \frac{1}{2}.3.4\sqrt 2 = 6\sqrt 2\),
Bài tập 6: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hypebol \((H)\) có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\). Điểm \(M\left( {3a;\,2a} \right) \in \left( H \right)\) và điểm \(M\) thuộc góc phần tư thứ nhất. Tính diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\).
Hướng dẫn giải
Vì \(M\left( {3a;\,2a} \right) \in \left( H \right)\) nên ta được: \(\frac{{{{\left( {3a} \right)}^2}}}{9} - \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = 1\)\(\Leftrightarrow {a^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow a = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) mà \(M\) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên suy ra \(M\left( {2\sqrt 3 ;\frac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)\).
Diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng: \(S = \frac{1}{2}.{F_1}{F_2}.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = \frac{1}{2}.10.\frac{{4\sqrt 3 }}{3} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.
----------------------------------
Việc nắm vững phương trình đường Hyperbol sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các dạng bài tập về đường Conic trong chương trình Toán 10 và tạo nền tảng cho những chuyên đề hình học giải tích nâng cao. Hãy luyện tập thường xuyên theo từng dạng bài và đối chiếu lời giải để củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng và đạt kết quả tốt trong các bài kiểm tra cũng như kỳ thi.
