Phương trình đường Parabol
Các dạng bài tập đường Parabol Toán 10
Phương trình đường Parabol là một nội dung trọng tâm trong chuyên đề Đường Conic của chương trình Toán 10 theo cấu trúc mới. Để học tốt chuyên đề này, học sinh cần nắm vững lý thuyết, nhận biết các dạng phương trình, xác định các yếu tố đặc trưng của parabol và luyện tập nhiều bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết dưới đây tổng hợp đầy đủ kiến thức cùng hệ thống bài tập có đáp án chi tiết, giúp ôn luyện hiệu quả cho các bài kiểm tra và kỳ thi.
A. Các công thức về phương trình parabol cần nhớ
Phương pháp: Cho Parabol có phương trình: 
\({y^2} = 2px\), với \(p \ne 0\). Các yếu tố trong parabol:
\(p\) gọi là tham số tiêu của parabol \(\left( P \right);p > 0\)
Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và đường chuẩn \(\Delta :x = - \frac{p}{2}\).
B. Bài tập tự luận tiêu biểu về phương trình đường Parabol
Bài tập 1: Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 4x\).
a)Tính đường chuẩn của \((P)\)
b)Tính bán kính qua tiêu điểm của điểm \(M(1;2)\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có đường chuẩn \(x = - \frac{p}{2} = - 1\)
b) Bán kính qua tiêu điểm của điểm \(M(1;2)\) là \(FM\, = 1 + \frac{p}{2} = 2\).
Bài tập 2: Parabol \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 18\) cắt đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 1\) tại hai điểm phân biệt \(x_1;x_2\) có hoành độ là thỏa mãn .
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right):{y^2} = 6x\) và \(\left( d \right):y = x + 1\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{y^2} = 6x\\
y = x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^2} = 6x\\
y = x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2 \pm \sqrt 3 \\
y = 3 \pm \sqrt 3
\end{array} \right.\)
Do đó \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} = 14\)
Bài tập 3:Trong mặt phẳng \(Oxy\); cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;3\sqrt 2 } \right)\). Tính bán kính qua tiêu điểm của điểm \(M(x;y)\).
Hướng dẫn giải
Bán kính qua tiêu điểm của điểm \(M(x;y)\) là \(FM = x + \frac{p}{2} = x + \frac{3}{2}\)
Bài tập 4: Cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 16x\). Trên \((P)\) lấy hai điểm \(M,N\) sao cho độ dài đoạn thẳng \(MN\) qua tiêu điểm \(F\) của \((P)\). Tính khoảng cách từ tiêu điểm \(F\) đến đường chuẩn \(\Delta\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(2p = 16 \Rightarrow p = 8 \Rightarrow \frac{p}{2} = 4 \Rightarrow\) tiêu điểm là \(F(4;0)\)
Ta có đường chuẩn \(x=-4\) nên khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là \(8\).
Bài tập 5: Một sao chổi \(A\) chuyển động theo quỹ đạo có dạng là một parabol \((P)\) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi \(A\) và tâm Mặt Trời là khoảng \(112\) km. Tính khoảng cách giữa sao chổi \(A(x;y)\) và tâm Mặt Trời .
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với đỉnh của \((P)\) và tiêu điểm trùng với tâm Mặt Trời, đơn vị trên các trục là km.
Giả sử phương trình chính tắc của Parabol \((P)\) có dạng \(\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\)
Khoảng cách giữa sao chổi \(A(x;y)\) và tâm Mặt Trời là \(AF = x + \frac{p}{2}\).
Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 12x\). Điểm có tung độ bằng 12 nằm trên đồ thị của \((P)\), tìm hoành độ của điểm đó.
Hướng dẫn giải
Gọi điểm \(M\left( {{x_0}\,;\,12} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow {12^2} = 12.{x_0} \Leftrightarrow {x_0} = 12\)..
Bài tập 7: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \(\left( P \right):{y^2} = 6x\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {6\,;\,36} \right)\) đến phương trình đường chuẩn .
Hướng dẫn giải
Phương trình đường chuẩn \(\Delta :x + \frac{p}{2} = 0 \Rightarrow \Delta :x + \frac{3}{2} = 0\)
\(\Leftrightarrow \Delta :x = - \frac{3}{2}\).
Ta có \(d\left( {M\,,\,\Delta } \right) = \left| {6 + \frac{3}{2}} \right| = \frac{{15}}{2}\).
📘 Nội dung tài liệu còn tiếp tục, mời bạn tải bản đầy đủ để tham khảo chi tiết hơn.
--------------------------------------------
Nắm chắc phương trình đường Parabol sẽ giúp học sinh tự tin giải các bài toán về đường Conic trong chương trình Toán 10 cũng như tạo nền tảng cho các chuyên đề hình học giải tích ở các lớp trên. Hãy thường xuyên luyện tập các dạng bài tiêu biểu và đối chiếu đáp án để củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và nâng cao kết quả học tập.
