Tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau
Bài tập Tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau có đáp án
Tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau là nội dung trọng tâm trong chương mở đầu của Toán 10, giúp học sinh hiểu mối quan hệ giữa các tập hợp và làm nền tảng cho nhiều chuyên đề đại số về sau. Bài viết tổng hợp đầy đủ lý thuyết, dấu hiệu nhận biết, phương pháp giải cùng hệ thống bài tập có đáp án chi tiết, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng và vận dụng kiến thức một cách chính xác.
Tập hợp con
Tập hợp A là tập con của tập hợp B nếu mọi phần tử của 
\(A\) đều có trong \(B\)
\(A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x \in A \Rightarrow x \in B} \right)\)
\(\emptyset \subset A,\) với mọi tập hợp A
\(A \subset A\) với mọi tập hợp A
Có tập hợp \(A\) gồm có n phần tử \(\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\). Khi đó tập \(A\) có \(2^n\) tập con
Hai tập hợp bằng nhau
\(A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A \subset B\\
B \subset A
\end{array} \right.\)
Bài tập tự luận tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau điển hình
Bài tập 1: Tìm tất cả các tập con, các tập con gồm hai phần tử của các tập hợp sau:
a) \(A = \left\{ {1;2} \right\}\) b) \(B = \left\{ {1;2;3} \right\}\)
c) \(C = \left\{ {a;b;c} \right\}\) d) \(D = \left\{ {x \in |2{x^2} - 5x + 2 = 0} \right\}\)
Hướng dẫn giải
a) Tập \(A\) có các tập con gồm 2 phần tử là \(\left\{ {1;2} \right\}\)
b) Tập \(B\) có các tập con gồm 2 phần tử là \(\left\{ {1,2} \right\};\left\{ {2,3} \right\};\left\{ {1,3} \right\}\)
c) Tập \(C\) có các tập con gồm 2 phần tử là \(\left\{ {a;b} \right\};\left\{ {a;c} \right\};\left\{ {a;d} \right\};\left\{ {b;c} \right\};\left\{ {b;d} \right\};\left\{ {c;d} \right\}\)
d) Ta có: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 2\\
{x_2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\) suy ra \(D = \left\{ {\frac{1}{2};2} \right\}\)
Tập con của nó chính là nó vì \(D\) chỉ có đúng 2 phần tử.
Bài tập 2: Cho \(A = \left\{ { - 4; - 2; - 1;2;3;4} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in |{\mkern 1mu} \left| x \right| \le 4} \right\}\). Tìm tập hợp \(X\) sao cho
a) \(A \subset X \subset B\) b) \(A \cup X = B\) với có đúng bốn phần tử
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left| x \right| \le 4}\\
{x \in \mathbb{Z}}
\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 4 \le x \le 4}\\
{x \in \mathbb{Z} }
\end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow x \in\mathbb{Z} \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\)
Suy ra \(B = \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\)
b) Ta có:
\(\left\{ { - 4; - 2; - 1;2;3;4} \right\} \subset X \subset \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\)suy ra tập hợp \(X\) là:
\(\left\{ { - 4; - 2; - 1;2;3;4} \right\},\,\,\left\{ { - 4; - 2; - 3; - 1;2;3;4} \right\},\,\left\{ { - 4; - 2; - 1;0;2;3;4} \right\}\)
\(\left\{ { - 4; - 2; - 1;1;2;3;4} \right\},\,\,\left\{ { - 4; - 2; - 3; - 1;0;2;3;4} \right\},\,\,\left\{ { - 4; - 2; - 3; - 1;1;2;3;4} \right\}\)
\(\left\{ { - 4; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\},\,\,\,\left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\)
c) Ta có \(A \cup X = B\) với \(X\) có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp \(X\) là:
\(\left\{ { - 4; - 3;0;1} \right\},\,\left\{ { - 3; - 2;0;1} \right\},\,\,\left\{ { - 3; - 1;0;1} \right\},\,\,\left\{ { - 3;0;1;2} \right\}\)\(\left\{ { - 3;0;1;3} \right\},\,\,\left\{ { - 3;0;1;4} \right\}\)
Bài tập 3: Cho tập hợp \(A = \left( {2; + \infty } \right)\) và tập hợp \(B = \left( {m; + \infty } \right)\). Tìm điều kiện cần và đủ của \(m\) để B là tập con của \(A\)?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(B \subset A\) khi và chỉ khi \(\forall x \in B \Rightarrow x \in A\)\(\Rightarrow m \ge 2\).
Bài tập 4: Cho hai tập hợp \(A = \left[ {1;3} \right]\) và \(B = \left[ {m;m + 1} \right]\). Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(B \subset A\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(B \subset A \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
m + 1 \le 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
m \le 2
\end{array} \right.\).
Vậy \(1 \le m \le 2\).
------------------------------------------
Sau khi hoàn thành chuyên đề Tập hợp con và hai tập hợp bằng nhau, học sinh sẽ nắm vững cách chứng minh quan hệ giữa các tập hợp, hạn chế những sai sót thường gặp và tự tin giải quyết các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập có lời giải chi tiết sẽ giúp củng cố tư duy logic và nâng cao kết quả học tập môn Toán 10.
