Tính giá trị biểu thức lượng giác Toán 10 có đáp án và cách giải chi tiết
Cách giải bài tập lượng giác Toán 10
Trong chương trình Toán 10, phần giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° là nội dung quan trọng giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các hàm lượng giác và cách vận dụng chúng vào bài tập thực tế. Bài viết Tính giá trị biểu thức lượng giác Toán 10 có đáp án và cách giải chi tiết sẽ hướng dẫn từng bước cách giải, cung cấp công thức lượng giác cơ bản, phương pháp biến đổi và đáp án chi tiết cho từng dạng bài, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng tư duy toán học hiệu quả.
A. Cách tính giá trị biểu thức lượng giác
Phương pháp: Dùng bảng tỉ số lượng giác các góc đặc biệt và góc phụ nhau, bù nhau.
Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Công thức hai góc phụ nhau, hai góc bù nhau
B. Ví dụ minh họa thực hiện biểu thức lượng giác
Ví dụ 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 
\(A = sin^{2}45^{0} + cos^{2}30^{0} -
sin^{2}0^{0} + cos^{2}180^{0}\)
b) \(B = tan30^{0} + cot30^{0} -
2.sin^{2}180\)
c) \(C = sin^{2}45^{0} + cot^{2}60^{0} -
\frac{1}{cos^{2}135^{0}}\)
d)\(D = \frac{\left( cot44^{0} + tan46^{0}
\right).cos46^{0}}{cos44^{0}} - cot72^{0}.tan72^{0}\)
e) \(E = \frac{sin^{2}90^{0} +
cos^{2}120^{0} + cos^{2}0^{0} - tan^{2}60^{0} +
cot^{2}135^{0}}{sin30^{0} + cos^{2}60^{0}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(A = sin^{2}45^{0} + cos^{2}30^{0} -
sin^{2}0^{0} + cos^{2}180^{0}\)
\(= \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{2}
+ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2} - 0^{2} + ( - 1)^{2} =
\frac{9}{4}\)
b) Ta có:
\(B = tan30^{0} + cot30^{0} - 2.sin^{2}180
= \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} - 2.0^{2} =
\frac{4\sqrt{3}}{3}\)
c) Ta có:
\(C = cos^{2}135^{0} + cot^{2}60^{0} -
\frac{1}{sin^{2}60^{0}}\)
\(= \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}
\right)^{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^{2} - \frac{1}{\left(
\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{2}} = - \frac{1}{2}\)
d) Ta có:
\(D = \frac{\left( cot44^{0} + tan46^{0}
\right).cos46^{0}}{cos44^{0}} - cot72^{0}.tan72^{0}\)
\(= \frac{2tan46^{0}.cos46^{0}}{cos44^{0}}
- 1 = \frac{2sin46^{0}}{cos44^{0}} - 1 = 2 - 1 = 1\).
e) Ta có:
\(E = \frac{sin^{2}90^{0} + cos^{2}120^{0}
+ cos^{2}0^{0} - tan^{2}60^{0} + cot^{2}135^{0}}{sin30^{0} +
cos^{2}60^{0}}\)
\(= \frac{1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 +
1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}.\)
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức của các biểu thức:
a) \(P = sin^{2}10^{O} + sin^{2}20^{O} +
sin^{2}30^{O} + ... + sin^{2}80^{O}\)
b) \(Q = cos^{2}10^{O} + cos^{2}70^{O} +
cos^{2}20^{O} + cos^{2}80^{O}\)
c) \(R = \cos 0^{O} + cos20^{O} + cos40^{O}
+ ... + cos160^{O} + cos180^{O}\)
d) \(S = \tan 1^{0}\tan 2^{0}\tan
3^{0}...tan89^{0}\)
e) \(E = cos^{2}12^{0} + cos^{2}78^{0} +
cos^{2}1^{0} + cos^{2}89^{0} + cos^{2}17^{0} +
cos^{2}73^{0}\)
f) \(F = 4a^{2}cos^{2}60^{0} +
2abcos^{2}180^{0} + \frac{4}{3}b^{2}cos^{2}30^{0};(a,b\mathbb{\in
R})\)
c) \(G = a^{2}sin90^{0} + b^{2}cos90^{0} +
c^{2}cos180^{0};(a,b,c\mathbb{\in R})\)
Hướng dẫn giải
a) Do \(10^{O} + 80^{O} = 20^{O} + 70^{O} =
30^{O} + 60^{O} = 40^{O} + 50^{O} = 90^{O}\) nên các cung lượng giác tương ứng đôi một phụ nhau.
Áp dụng công thức \(\sin\left( 90^{O} - x
\right) = \cos x\), ta được:
\(P = \left( sin^{2}10^{O} + cos^{2}10^{O}
\right) + \left( sin^{2}20^{O} + cos^{2}20^{O} \right)\) \(+ \left( sin^{2}30^{O} + cos^{2}30^{O} \right) +
\left( sin^{2}40^{O} + cos^{2}40^{O} \right)\)
\(= 1 + 1 + 1 + 1 = 4.\)
b) Ta có:
\(Q = cos^{2}10^{O} + cos^{2}70^{O} +
cos^{2}20^{O} + cos^{2}80^{O}\)
\(= (cos^{2}10^{O} + sin^{2}10^{O}) +
(cos^{2}20^{O} + sin^{2}20^{O}) = 1 + 1 = 2\)
c) Sử dụng công thức \(\cos\left( 180^{O} -
x \right) = - \cos x\) ta được:
\(R = (cos0^{O} + cos180^{O}) + (cos20^{O}
+ cos160^{O}) + (cos40^{O} + cos140^{O})\)
\(+ (cos60^{O} + cos120^{O}) + (cos80^{O}
+ cos100^{O}) = 0\)
d) Áp dụng công thức \(\tan
x.tan(90{^\circ} - x) = \tan x.cotx = 1.\)
Do đó \(S = 1.\)
e) Ta có:
\(E = cos^{2}12^{0} + cos^{2}78^{0} +
cos^{2}1^{0} + cos^{2}89^{0} + cos^{2}17^{0} + cos^{2}73^{0} =
3\)
f) Ta có:
\(F = 4a^{2}cos^{2}60^{0} +
2abcos^{2}180^{0} + \frac{4}{3}b^{2}cos^{2}30^{0}\)
\(= 4a^{2}\left( \frac{1}{2} \right)^{2} +
2ab( - 1)^{2} + \frac{4}{3}b^{2}\left( \frac{\sqrt{3}}{2}
\right)^{2}\)
\(= a^{2} + 2ab + b^{2} = (a +
b)^{2}\)
c) Ta có: \(G = a^{2}sin90^{0} +
b^{2}cos90^{0} + c^{2}cos180^{0} = a^{2} - c^{2}\).
Ví dụ 4: Biết \(A,\ \ B,\ \ C\) là các góc nhọn của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng:
a) \(\cos(A + C) = - \cos B\) b) \(\sin\frac{A + C}{2} =
\cos\frac{B}{2}\)
c) \(\sin(A + B + 2C) = - \sin
C\) d) \(\tan\left( \frac{B + C - 2A}{2}
\right) = \cot\frac{3A}{2}\)
Hướng dẫn giải
a) Vì \(A,\ \ B,\ \ C\) là ba góc của một tam giác suy ra \(A + C = 180^{0} -
B.\)
Do đó \(\cos(A + C) = \cos\left( 180^{0} -
B \right) = - \cos B\)
b) Vì \(A,\ \ B,\ \ C\) là ba góc của một tam giác suy ra
\(A + C = 180^{0} - B
\Rightarrow \frac{A + C}{2} = 90^{0} - \frac{B}{2}\)
Do đó: \(\sin\frac{A + C}{2} = \sin\left(
90^{0} - \frac{B}{2} \right) = \cos\frac{B}{2}\)
d) Ta có:
\(A + B + C = 180^{0}\)
\(\Rightarrow B + C - 2A = 180^{0} -
3A\)
\(\Rightarrow \frac{B + C - 2A}{2} =
90^{0} - \frac{3A}{2}\)
\(\tan\left( \frac{B + C - 2A}{2} \right)
= \tan\left( 90^{0} - \frac{3A}{2} \right) =
\cot\frac{3A}{2}\)
c) Ta có:
\(\sin(A + B + 2C) = \sin\left( 180^{0} -
C + 2C \right)\)
\(= \sin\left( 180^{0} + C \right) = - \sin
C\).
C. Bài tập tự rèn luyện tính giá trị biểu thức lượng giác có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho \(\alpha\) là góc nhọn. Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = sin(90^{0} - \alpha) + 2cos\alpha
- 5cos(90^{0} - \alpha)\)
b) \(B = sin(90^{0} - \alpha) - cos(90^{0}
- \alpha) + cot(180^{0} - \alpha) + tan(90^{0} - \alpha)\)
c) \(C = 2cos(180^{0} - \alpha) -
sin(90^{0} - \alpha) - cot(90^{0} - \alpha).cot(180^{0} -
\alpha).\)
d) \(D = \frac{2.cos(180^{0} - \alpha) +
5sin(90^{0} - \alpha)}{\sin\alpha - 4cos(90^{0} - \alpha)}\)
e) \(F = \frac{cos(90^{0} - \alpha) -
cot(90^{0} + \alpha)}{cot(90^{0} - \alpha)} - sin(180^{0} -
\alpha)cot(180^{0} - \alpha)\)
Bài tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) \(A = cos10{^\circ} + cos20{^\circ} +
cos30{^\circ} + ... + cos170{^\circ} + cos180{^\circ}\)
b)\(B = \frac{cos(90{^\circ} - \alpha) -
cot(90{^\circ} + \alpha)}{cot(90{^\circ} - \alpha)} + sin(180{^\circ} -
\alpha)cot(180{^\circ} - \alpha)\)
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.
----------------------------------------
Hy vọng bài viết Tính giá trị biểu thức lượng giác Toán 10 có đáp án và cách giải chi tiết giúp các em hiểu rõ cách vận dụng công thức lượng giác và nắm vững kỹ năng giải bài. Hãy ôn tập thường xuyên phần giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ để củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập cũng như các kỳ thi.
