Bài tập điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai Có đáp án
Điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai
Trong chương trình Toán 10, tam thức bậc hai là nội dung nền tảng quan trọng, liên quan trực tiếp đến nhiều chuyên đề như phương trình, bất phương trình và hàm số bậc hai. Một trong những phần học thường gây nhầm lẫn cho học sinh là điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai – yếu tố quyết định số lượng và tính chất nghiệm của phương trình hoặc bất phương trình.
Bài viết này tổng hợp hệ thống bài tập điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai có đáp án chi tiết, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, hiểu sâu bản chất và vận dụng hiệu quả vào giải toán thực tế.
A. Ví dụ minh họa bài tập điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của tham số 
\(m\)để phương trình \((m + 2)x^{2} - 3x + 2m - 3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.
Hướng dẫn giải
Điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm trái dấu là: \((m + 2)(2m - 3) < 0\).
\(\Leftrightarrow - 2 < m <
\frac{3}{2}\).
Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình \((m - 3)x^{2} + (m + 3)x - (m + 1) = 0\) có hai nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải
Ta có:
\((m - 3)x^{2} + (m - 3)x - (m + 1) =
0\)có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m - 3 \neq 0 \\
(m - 3)^{2} - 4(m - 3)(m + 1) > 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \neq 3 \\
(m - 3)(3m + 7) < 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - \frac{7}{3} < m <
3\).
Ví dụ 3: Xác định m để phương trình: \((m + 1)x^{2} - 2(m + 2)x + m - 1 = 0\) có \(2\) nghiệm phân biệt khác \(0\) sao cho \(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} >
2\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \((m + 1)x^{2} - 2(m + 2)x + m - 1 =
0\).
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác \(0\) khi
\(\left\{ \begin{matrix}
m + 1 \neq 0 \\
(m + 2)^{2} - (m + 1)(m - 1) > 0 \\
m - 1 \neq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq - 1 \\4m + 5 > 0 \\m \neq 1\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \neq - 1 \\m > - \dfrac{5}{4} \\m \neq 1\end{matrix} \right.\) \((1)\).
Áp dụng hệ thức Viète ta có: \(\left\{\begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2(m + 2)}{m + 1} \\x_{1}x_{2} = \dfrac{m - 1}{m + 1}\end{matrix} \right.\)
Khi đó:
\(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}
> 2 \Leftrightarrow \frac{x_{1} + x_{2} - 2x_{2}x_{2}}{x_{1}x_{2}}
> 0\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{2(m + 2)}{m +1} - 2\dfrac{m - 1}{m + 1}}{\dfrac{m - 1}{m + 1}} > 0\)\(\Leftrightarrow\frac{5}{m - 1} > 0 \Leftrightarrow m > 1\) \((2)\).
Từ \((1);(2) \Rightarrow m >
1\).
Ví dụ 4: Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình: \((m - 1)x^{2} - 2(m - 2)x +
m - 3 = 0\) có hai nghiệm \(x_{1},x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} < 1\)?
Hướng dẫn giải
Phương trình \((m - 1)x^{2} - 2(m - 2)x + m
- 3 = 0\) có hai nghiệm \(x_{1},x_{2}\) khi \(\left\{ \begin{matrix}
a \neq 0 \\
\Delta' \geq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m - 1 \neq 0 \\
1 > 0\ \forall m
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \neq 1\).
Khi đó, theo định lý Viète ta có:
\(\left\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} = \dfrac{2(m - 2)}{m - 1} \\x_{1}x_{2} = \dfrac{m - 3}{m - 1}\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow
x_{1} + x_{2} + x_{1}x_{2} < 1 \Leftrightarrow \frac{2(m - 2)}{m - 1}
+ \frac{m - 3}{m - 1} < 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(m - 2)}{m - 1} +\frac{m - 3}{m - 1} - \frac{m - 1}{m - 1} < 0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2m - 6}{m - 1} < 0 \Leftrightarrow 1 < m <3\).
Vậy \(1 < m < 3\) là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Cho hàm số \(y = (m - 2)x^{2} -
3mx + 2m - 3\) (m là tham số). Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho gốc tọa độ \(O\) nằm giữa \(A\) và \(B\).
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm là \((m -
2)x^{2} - 3mx + 2m - 3 = 0\)
Điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho gốc tọa độ \(O\) nằm giữa \(A\) và \(B\) là \(x_{A}.x_{B} < 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{2m - 3}{m - 2} <
0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} < m < 2\) .
B. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết
Bài tập 1. Tìm điều kiện của \(b\) để \(f(x) = x^{2} - bx + 3\)có hai nghiệm phân biệt?
A. \(b \in \left\lbrack -
2\sqrt{3};2\sqrt{3} \right\rbrack\). B. \(b \in \left( - 2\sqrt{3};2\sqrt{3}
\right)\).
C. \(b \in \left( - \infty; - 2\sqrt{3}
\right\rbrack \cup \left\lbrack 2\sqrt{3}; + \infty \right)\). D. \(b \in \left( - \infty; - 2\sqrt{3} \right)
\cup \left( 2\sqrt{3}; + \infty \right)\).
Bài tập 2. Giá trị nào của \(m\)thì phương trình \((m - 3)x^{2} + (m + 3)x - (m +
1) = 0\) (1) có hai nghiệm phân biệt?
A. \(m \in \left( - \infty; - \frac{3}{5}
\right) \cup (1; + \infty)\backslash\left\{ 3 \right\}\). B. \(m \in \left( - \frac{3}{5};1
\right)\).
C. \(m \in \left( - \frac{3}{5}; + \infty
\right)\). D. \(m\mathbb{\in
R}\backslash\left\{ 3 \right\}\).
Bài tập 3. Các giá trị \(m\) để tam thức \(f(x) = x^{2} - (m + 2)x + 8m +
1\) đổi dấu 2 lần là
A. \(m \leq 0\) hoặc \(m \geq 28\). B. \(m < 0\) hoặc \(m > 28\).
C. \(0 < m < 28\). D. \(m > 0\).
Bài tập 4. Cho phương trình \(x^{2} - 2x -
m = 0\) (1). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để (1) có 2 nghiệm \(x_{1},\ x_{2}\) thỏa mãn \(x_{1} < x_{2} < 2\).
A. \(m > 0\). B. \(m < - 1\). C. \(- 1 < m < 0\). D. \(m > \frac{- 1}{4}\).
Bài tập 5. Với điều kiện nào của m để phương trình \(x^{2} - (m - 1)x + m + 2 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}}
> 1\).
A. \(- 2 < m < 7\). B. \(- 2 \neq m < - 1\).
C. \(m < - \frac{7}{8}\) và \(m \neq - 2\). D. \(\left\lbrack \begin{matrix}
- 2 \neq m < - 1 \\
m > 7
\end{matrix} \right.\)
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
---------------------------------------
Thông qua chuyên đề điều kiện về nghiệm của tam thức bậc hai, học sinh sẽ nắm vững các dạng bài cơ bản đến nâng cao, biết cách xét dấu, tính biệt thức và xác định số nghiệm nhanh chóng, chính xác. Việc luyện tập đều đặn với bộ bài tập có đáp án chi tiết sẽ giúp bạn củng cố kiến thức, tăng khả năng nhận dạng dạng toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.
