Bài tập nâng cao về tích của vectơ với một số có đáp án
Bài tập vận dụng cao tích vectơ có đáp án
Trong chương trình Toán 10, phần tích của vectơ với một số là kiến thức quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về độ dài, hướng và mối quan hệ giữa các vectơ. Bài viết Bài tập nâng cao về tích của vectơ với một số có đáp án tổng hợp các dạng bài tập nâng cao, kèm hướng dẫn giải chi tiết và đáp án chính xác, giúp bạn củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng và làm chủ chuyên đề Vectơ Toán 10 một cách hiệu quả.
Phần I. Bài tập vận dụng cao về tích của vectơ với một số
Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, 
\(\widehat{ADC} = 30^{0}\) . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn \(\overrightarrow{DB}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{DA}\) và \(\overrightarrow{DC}\).
Bài tập 2 Cho tam giác \(ABC\), trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\), trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AM
= 3MC\), \(NC = 2NB\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AN\) và \(BM\). Tính diện tích tam giác \(ABC\) biết diện tích tam giác \(OBN\) bằng 1.
Bài tập 3: Cho tam giác \(ABC\), gọi \(I\) là điểm trên \(BC\) kéo dài sao cho \(IB = 3IC\) . Gọi \(J,K\) lần lượt là những điểm trên cạnh \(AC,AB\) sao cho \(JA = 2JC;KB = 3KA\) . Khi đó \(\overrightarrow{BC} = m.\overrightarrow{AI} +
n.\overrightarrow{JK}\) . Tính tổng \(P
= m + n\) ?
Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD, lấy M trên cạnh AB và N trên cạnh CD sao cho \(\overrightarrow{AM} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\). Gọi I và J là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{BI} =
m\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AJ} =
n\overrightarrow{AI}\). Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu?
Bài tập 5: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấ\(y\) điểm M, trên cạnh BC lấ\(y\) N sao cho AM=3MB, NC = 2BN. Gọi I là giao điểm của AN với CM. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ICN bằng 2.
Bài tập 6: ∆ABC có trọng tâm G và hai điểm M, N thỏa mãn: \(3\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{CM} =
\overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{NA} - 2\overrightarrow{NB} =
\overrightarrow{0}\). Chứng minh: \(\overrightarrow{NG} =
5\overrightarrow{GM}\).
Bài tập 7: Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Tìm \(x\) để \(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{HB} +
\overrightarrow{HC} = x\overrightarrow{HO}\).
Bài tập 8: Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 3;\ \ AC = 4\). Gọi \(AD\) là đường phân giác trong của góc \(A\). Biết \(\overrightarrow{AD} = m\overrightarrow{AB} +
n\overrightarrow{AC}\). Khi đó tổng \(m
+ n\) có giá trị là bao nhiêu?
Phần II. Đáp án bài tập vận dụng cao
Bài tập 1.
Kẻ BE // AD , E nằm trên cạnh CD. Ta có:
\(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DE} =\overrightarrow{DA} + \frac{DE}{DC}\overrightarrow{DC} =\overrightarrow{DA} + \frac{DE}{DC}\overrightarrow{DC}\)
\(= \overrightarrow{DA} + \frac{DC -2KC}{DC}\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \frac{b -a\sqrt{3}}{b}\overrightarrow{DC}\).
Vậy \(\overrightarrow{DB} =
\overrightarrow{DA} + \frac{b -
a\sqrt{3}}{b}\overrightarrow{DC}.\)
Bài tập 2.
Hình vẽ minh họa:
Ta có: \(\overrightarrow{BO} =
x\overrightarrow{BA} + (1 - x)\overrightarrow{BN}\) và \(\overrightarrow{AO} = y\overrightarrow{AM} + (1 -
y)\overrightarrow{AB}\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB} =
y\overrightarrow{AM} + (x - y + 1)\overrightarrow{AB} + (x -
1)\overrightarrow{BN}\)
\(\Leftrightarrow (x - y)\overrightarrow{AB} +
y\overrightarrow{AM} + (x - 1)\overrightarrow{BN} =
\overrightarrow{0}\) (1)
Đặt \(\overrightarrow{CB} =
\overrightarrow{a},\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{b}\) ta được \(\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b};\overrightarrow{AM} = -
\frac{3}{4}\overrightarrow{b};\overrightarrow{BN} = -
\frac{1}{3}\overrightarrow{a}\)
Thay vào (1) và thu gọn ta được:
\((x -
y)\overrightarrow{a} - (x - y)\overrightarrow{b} = \frac{x -
1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}y\overrightarrow{b}\)
Suy ra \(\left\{ \begin{matrix}x - y = \dfrac{x - 1}{3} \\y - x = \dfrac{3}{4}y\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = \dfrac{1}{10} \\y = \dfrac{2}{5}\end{matrix} \right.\).
Với \(x =
\frac{1}{10}\) ta được \(\overrightarrow{BO} =
\frac{1}{10}\overrightarrow{BA} + \left( 1 - \frac{1}{10}
\right)\overrightarrow{BN}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BO} -\overrightarrow{BN} = \frac{1}{10}\left( \overrightarrow{BA} -\overrightarrow{BN} \right)\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{NO} =\frac{1}{10}\overrightarrow{NA} \Leftrightarrow \frac{NA}{NO} =10\)
Vì \(S_{ONB} = 1 \Leftrightarrow S_{NAB} =
10 \Rightarrow S_{ABC} = 30\).
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.
------------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã được luyện tập với nhiều bài tập nâng cao về tích của vectơ với một số kèm lời giải chi tiết, giúp củng cố và mở rộng kiến thức trong chuyên đề Vectơ Toán 10. Việc rèn luyện thường xuyên các dạng bài nâng cao sẽ giúp bạn tăng tốc độ làm bài, phát triển tư duy hình học và đạt điểm cao trong các kỳ thi.
👉 Hãy tiếp tục ôn luyện thêm các bài tập vectơ có đáp án chi tiết khác để hoàn thiện kỹ năng và chinh phục mọi dạng bài trong chương trình Toán 10.
