Bài tập Toán 10 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng có đáp án chi tiết
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Toán 10
Bài tập Toán 10 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng có đáp án chi tiết giúp học sinh củng cố kiến thức quan trọng trong phương pháp tọa độ Oxy. Thông qua hệ thống bài tập chọn lọc, lời giải chi tiết và phương pháp làm nhanh, học sinh dễ dàng hiểu sâu bản chất tích vô hướng của hai vectơ, rèn luyện kỹ năng giải bài hiệu quả cho các kỳ kiểm tra và ôn thi THPT Quốc gia.
A. Phương pháp giải bài toán biểu thức tọa độ tích vô hướng
- Dùng định nghĩa tích vô hướng.
- Dùng biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
- Các tính chất hình học và các hệ thức lượng trong tam giác.
B. Ví dụ minh họa bài toán biểu thức tọa độ tích vô hướng
Ví dụ 1: Cho ba vectơ 
\(\overrightarrow{a}
= ( - 1;\ 1)\); \(\overrightarrow{b} =
(2;\ 0)\), \(\overrightarrow{c} = (1;\
3)\).
a) Tìm \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b};\ \ \
\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c};\ \
\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b} -
2\overrightarrow{c})\).
b) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\).
c) Tìm giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c}\).
d) Tìm tọa độ \(\overrightarrow{x}\) biết \(\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} =
5\)và \(\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = -
2\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = (
- 1).2 + 1.0 = - 2\)
\(\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c} =
2.1 + 0.3 = 2\)
\(\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b} -
2\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} -
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c} = - 2 - (( - 1).1 + 1.3) = -
4.\)
b) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) được tính bằng công thức:
\(\cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right) = \frac{- 1.2 +1.0}{\sqrt{( - 1)^{2} + 1^{2}}.\sqrt{2^{2} + 0^{2}}} = -\frac{2}{\sqrt{2}.\sqrt{4}}\)\(= - \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 135^{0}\).
c) Ta có: \(\overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} = (3;3)\)
\(\cos\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) =
\frac{- 1.3 + 1.3}{\sqrt{( - 1)^{2} + 1^{2}}.\sqrt{3^{2} + 3^{2}}} =
0\)
\(\Rightarrow \left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) =
90^{0}.\)
d) Giả sử \(\overrightarrow{x} =
(x;y)\)
\(\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{a} = 5 \\
\overrightarrow{x}.\overrightarrow{c} = - 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- x + y = 5 \\
x + 3y = - 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - \frac{17}{4} \\
y = \frac{3}{4}
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(\overrightarrow{x} = \left( -
\frac{17}{4};\frac{3}{4} \right)\).
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow{a} = ( -
3;1),\overrightarrow{b} = (2;6)\)
b) \(\overrightarrow{a} =
(3;1),\overrightarrow{b} = (2;4)\)
c) \(\overrightarrow{a} = ( -
\sqrt{2};1),\overrightarrow{b} = (2; - \sqrt{2})\).
Hướng dẫn giải
Vận dụng công thức tính góc giữa hai vectơ
\(\cos\left( \overrightarrow{a},\ \
\overrightarrow{b} \right) = \frac{\overrightarrow{a}.\ \
\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \ \
\overrightarrow{b} \right|}\)
a) Ta có:
\(\cos\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{- 3.2 +
1.6}{\sqrt{( - 3)^{2} + 1^{2}}.\sqrt{2^{2} + 6^{2}}} = 0\)
\(\Rightarrow \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 90^{0}\)
b) Ta có:
\(\cos\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{3.2 +
1.4}{\sqrt{3^{2} + 1^{2}}.\sqrt{2^{2} + 4^{2}}} = \frac{10}{10\sqrt{2}}
= \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 45^{0}\)
c) Ta có:
\(\cos\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = \frac{\left( - \sqrt{2}
\right).2 + 1.\left( - \sqrt{2} \right)}{\sqrt{\left( - \sqrt{2}
\right)^{2} + 1^{2}}.\sqrt{2^{2} + \left( - \sqrt{2} \right)^{2}}} =
\frac{- 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = - 1\)
\(\Rightarrow \left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 180^{0}\)
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng \(A(2;\ 4)\), \(B(
- 3;\ 1)\), \(C(3;\ - 1)\).
a) Tìm \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\).
b) Gọi \(G\) là trọng tâm \(ABC\). Tìm \(\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC}\).
c) Tìm góc \(A\).
d) Tìm tọa độ \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow{AB} = ( - 5; -
3),\ \ \overrightarrow{AC} = (1; - 5)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\ \
\overrightarrow{AC} = ( - 5).1 + ( - 3).( - 5) = 10.\)
b) Ta có \(G(\frac{2}{3};\frac{4}{3})\)
\(\overrightarrow{AG} = \left( -
\frac{4}{3};\ - \frac{8}{3} \right),\ \overrightarrow{BC}\ = (6; -
2)\)
\(\Rightarrow \
\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{BC} = \left( - \frac{4}{3} \right).6
+ \left( - \frac{8}{3} \right).( - 2) = - \frac{8}{3}.\)
c) Ta có
\(AB = \sqrt{( - 5)^{2} + ( - 3)^{2}} =
\sqrt{34}\)
\(AC = \sqrt{1^{2} + ( - 5)^{2}} =
\sqrt{26}.\)
\(BC = \sqrt{6^{2} + ( - 2)^{2}} =
2\sqrt{10}.\)
Khi đó:
\(\cos A = \frac{AC^{2} + AB^{2} -
BC^{2}}{2AC.AB} = \frac{26 + 34 - 40}{2\sqrt{26}\sqrt{34}}\)
\(\Rightarrow A \simeq
70^{0}20'.\)
d) Giả sử \(A'(x;y)\)
Ta có \(\overrightarrow{AA'}\bot\overrightarrow{BC}
\Leftrightarrow \overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC} =
0\)và \(\overrightarrow{BA'},\overrightarrow{BC}\) cùng phương
\(\overrightarrow{AA'} = (x - 2;y -
4),\ \overrightarrow{BC} = (6; - 2),\ \overrightarrow{BA'} = (x +
3;y + 1)\)
\(\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC} =
0\)
\(\Leftrightarrow 6(x - 2) + ( - 2)(y - 4)
= 0\)
\(\Leftrightarrow 6x - 2y - 4 = 0\ \
(1)\)
\(\overrightarrow{BA'},\overrightarrow{BC}\) cùng phương suy ra \(\frac{x + 3}{6} = \frac{y
+ 1}{- 2}\)
\(\Leftrightarrow - 2x - 6y = 0\ \ \
(2)\)
Giải hệ gồm hai phương trình (1) và (2) ta được \(\left\{ \begin{matrix}
x = \frac{3}{5} \\
y = - \frac{1}{5}
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(A'(\frac{3}{5}; -
\frac{1}{5})\).
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng \(A( - 4;1),B(2;4),C(2; - 2).\)
a) Tìm \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\).
b) Giải tam giác \(ABC\).
c) Tìm diện tích tam giác \(ABC\).
d) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác \(ABC\).
Bài tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng \(A(2;4),B(1;1)\)
Tìm tọa độ điểm \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).
Bài tập 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm \(A(1;2),B( - 4;3).\) Gọi \(M(t;0)\)là một điểm thuộc trục hoành.
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
--------------------------------------------
Hy vọng bộ bài tập Toán 10 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng có đáp án chi tiết trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tích vô hướng và ứng dụng trong tọa độ Oxy. Hãy luyện tập thường xuyên và tham khảo thêm các chuyên đề Toán 10 Phương pháp tọa độ khác để củng cố kỹ năng và đạt điểm cao trong các kỳ thi!
