Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp dùng vectơ
Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng Toán 10
Trong chương trình Toán 10, việc chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ là một kỹ năng quan trọng giúp học sinh rèn luyện tư duy hình học và khả năng vận dụng kiến thức vectơ vào thực tế. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ, thông qua công thức, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án chi tiết, giúp bạn nắm vững phương pháp và áp dụng hiệu quả trong học tập.
A. Phương pháp giải toán
+ A, B, C thẳng hàng ⇔ 
\(\overrightarrow{AB}\) cùng phương \(\overrightarrow{AC}\)⇔∃0 ≠k ∈\(\mathbb{R}\) : \(\overrightarrow{AB} =
k\overrightarrow{AC}\)
+ Nếu \(\overrightarrow{AB} =
k\overrightarrow{CD}\) và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB // CD.
B. Ví dụ minh họa chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao\(AK =
\frac{1}{3}AC\) . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
\(2\overrightarrow{BI} =
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{BA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\)
\(4\overrightarrow{BI} =
2\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\ \ \ (1)\)
Ta lại có
\(\overrightarrow{BK} =
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AK} = \overrightarrow{BA} +
\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(= \overrightarrow{BA} +
\frac{1}{3}(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) =
\frac{2}{3}\overrightarrow{BA} +
\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(3\overrightarrow{BK} =
2\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\ \ (2)\)
Từ (1) và (2)⇒ \(3\overrightarrow{BK} =
4\overrightarrow{BI} \Rightarrow \overrightarrow{BK} =
\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}\)⇒ B, I, K thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
\(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA}
= \overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{NA} -
3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\). Chứng minh rằng: MN // AC.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{NA} -
3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}\)
Hay \(\overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{MN} - 3\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{0}
\Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{AC}\)
=> \(\overrightarrow{MN}//\overrightarrow{AC}\).
Theo giả thiết \(\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{AM}\)
Mà A, B, C không thẳng hàng nên bốn điểm A, B, C, M là hình bình hành
⇒ M không thuộc AC ⇒ MN // AC.
Ví dụ 3: Cho tam giác \(ABCD\) có M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trung điểm của MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:
a) \(\overrightarrow{EA} +
\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} =
4\overrightarrow{EG}\).
b) \(\overrightarrow{EA} =
4\overrightarrow{EG}\).
c) Điểm G thuộc đoạn thằng AE và \(\overrightarrow{AG} =
\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}\).
Hướng dẫn giải
a) Giống ví dụ 2 phần chứng minh đẳng thức vectơ, thay I bởi G, O bởi E.
b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} +
\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}\)
Do đó: \(\overrightarrow{EA} +\overrightarrow{EB} + \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} =4\overrightarrow{EG}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{EA} +\overrightarrow{0} = 4\overrightarrow{EG} \Leftrightarrow\overrightarrow{EA} = 4\overrightarrow{EG}.\)
c) Từ câu b) suy ra ba điểm A, E, G thẳng hàng và \(\overrightarrow{EA},\
\overrightarrow{EG}\)cùng hướng nên G nằm giữa A và E, hay G thuộc đoạn AE.
Từ \(\overrightarrow{EA} =4\overrightarrow{EG} \Leftrightarrow \overrightarrow{AE} =4\overrightarrow{GE}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AE} =4(\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AG}) \Leftrightarrow\overrightarrow{AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AE}.\)
Vậy \(\overrightarrow{AG} =
\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}\).
C. Bài tập tự rèn luyện chứng minh ba điểm thẳng hàng
Bài tập 1: Cho tam giác \(ABC\) với \(H\), \(O\), \(G\) lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm của tam giác. Chứng minh
a) \(\overrightarrow{AH} =
2\overrightarrow{OM}\).
b) Chứng minh \(\overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} =
\overrightarrow{OH}\).
c) Chứng minh \(G,H,O\) thẳng hàng.
Bài tập 2. Cho tam giác \(ABC\). Đặt \(\overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{AC}\).
a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: \(\overrightarrow{AM} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CN} =
2\overrightarrow{BC}\).
b) Hãy phân tích \(\overrightarrow{CM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN}\) qua các véc tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
c) Gọi I là điểm thỏa: \(\overrightarrow{MI} =
\overrightarrow{CM}\). Chứng minh \(I,A,N\) thẳng hàng.
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
------------------------------------------------
Qua bài viết, bạn đã được học phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ một cách logic, dễ hiểu và hiệu quả. Đây là nội dung trọng tâm trong chuyên đề Vectơ Toán 10, giúp bạn củng cố nền tảng kiến thức để học tốt hơn các phần như phương trình đường thẳng và tọa độ trong mặt phẳng.
