Dấu của nhị thức bậc nhất là gì? Cách xét dấu nhanh và chính xác
Phương pháp xét dấu nhị thức bậc nhất
Trong chương trình Toán 10, việc xét dấu các biểu thức đại số là kiến thức cơ bản nhưng rất quan trọng. Một trong những dạng toán thường gặp là dấu của nhị thức bậc nhất, đây cũng là bước khởi đầu để học sinh làm quen với kỹ năng lập bảng xét dấu và giải các bất phương trình. Hiểu rõ nhị thức bậc nhất có dấu như thế nào và biết cách xét dấu nhanh, chính xác sẽ giúp bạn giải quyết các dạng toán liên quan dễ dàng hơn. Bài viết này sẽ cung cấp khái niệm, phương pháp và ví dụ minh họa kèm đáp án chi tiết.
Định nghĩa dấu của nhị thức bậc nhất
Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng 
\(f(x) = ax + b\), trong đó a, b là các hệ số, \(a \neq 0\).
Cách xét dấu nhị thức bậc nhất
Nhị thức \(f(x) = ax + b;(a \neq
0)\) có giá trị:
- Cùng dấu với a khi \(x > -
\frac{b}{a}\);
- Trái dấu với a khi \(x < -
\frac{b}{a}\).
Bảng xét dấu nhị thức bậc nhất
Xét dấu của \(f(x) = ax + b;(a
\neq 0)\):
Ta có \(f\left( - \frac{b}{a} \right) =
0\). Ta nói số \(x_{0} = -
\frac{b}{a}\) là nghiệm của nhị thức \(f(x)\).
Nghiệm \(x_{0} = - \frac{b}{a}\) chia trục số thành hai khoảng mà trên đó dấu của nhị thức là trái nhau.
Một số kết quả quan trọng trong việc xét dấu nhị thức bậc nhất
Xét nhị thức \(f(x) = ax + b\):
\(f(x) \geq 0;\forall x\mathbb{\in R
\Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b \geq 0
\end{matrix} \right.\) \(f(x) \leq
0;\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b \leq 0
\end{matrix} \right.\)
\(f(x) \geq 0;\forall x \geq \alpha
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \geq 0 \\
f(\alpha) \geq 0
\end{matrix} \right.\) \(f(x) \leq
0;\forall x \geq \alpha \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \leq 0 \\
f(\alpha) \leq 0
\end{matrix} \right.\)
\(f(x) \geq 0;\forall x \in \alpha
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \leq 0 \\
f(\alpha) \geq 0
\end{matrix} \right.\) \(f(x) \leq
0;\forall x \in \alpha \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \geq 0 \\
f(\alpha) \leq 0
\end{matrix} \right.\)
\(f(x) \geq 0;\forall x \in
\lbrack\alpha;\beta\rbrack \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
f(\alpha) \geq 0 \\
f(\beta) \geq 0
\end{matrix} \right.\) \(f(x) \leq
0;\forall x \in \lbrack\alpha;\beta\rbrack \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
f(\alpha) \leq 0 \\
f(\beta) \leq 0
\end{matrix} \right.\)
Ví dụ: Cho nhị thức bậc nhất: \(f(x) = (m -
1)x + 3 - m\), m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:
a) \(f(x) \geq 0;\forall x\mathbb{\in
R}\); c) \(f(x) \geq 0;\forall x < -
1\);
b) \(f(x) \leq 0;\forall x \geq 2\); d) \(f(x) \leq 0;\forall x \in
(0;5)\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(f(x) \geq 0;\forall x\mathbb{\in
R}\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m - 1 = 0 \\
3 - m \geq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 1 \\
m \leq 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 1\).
b) Ta có:
\(f(x) \leq 0;\forall x \geq
2\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m - 1 \leq 0 \\
f(2) \leq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \leq 1 \\
m + 1 \leq 0
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \leq 1 \\
m \leq - 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \leq - 1\).
c) Ta có:
\(f(x) \geq 0;\forall x < -
1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m - 1 \leq 0 \\
f( - 1) \geq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \leq 1 \\
- 2m + 4 \geq 0
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \leq 1 \\
m \leq 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \leq 1\).
d) Ta có:
\(f(x) \leq 0;\forall x \in
(0;5)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
f(0) \leq 0 \\
f(5) \leq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
3 - m \leq 0 \\
4m - 2 \leq 0
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \geq 3 \\
m \leq \frac{1}{2}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \varnothing\).
---------------------------------------------------------------------
Qua bài viết, chúng ta đã cùng tìm hiểu dấu của nhị thức bậc nhất, cách xét dấu nhanh và chính xác cũng như những ví dụ minh họa cụ thể. Đây là kiến thức nền tảng không chỉ phục vụ cho việc giải bất phương trình bậc nhất, mà còn mở rộng sang tam thức bậc hai, phương trình và bất phương trình phức tạp hơn trong chương trình phổ thông. Để nắm vững kiến thức, học sinh nên luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau, đối chiếu với đáp án chi tiết để rút kinh nghiệm. Hy vọng tài liệu thuộc chuyên đề Toán 10 có đáp án này sẽ giúp bạn học tập hiệu quả và tự tin trong các kỳ thi.
