Tìm m để hai vectơ cùng phương
Cách xác định hai vectơ cùng phương trong mặt phẳng Oxy
Trong chương trình Toán 10, dạng bài Tìm m để hai vectơ cùng phương là một trong những bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng xử lý tọa độ vectơ, tỉ số và điều kiện cùng phương. Việc nắm chắc điều kiện để hai vectơ cùng phương không chỉ giúp giải nhanh các bài tập hình học tọa độ mà còn là bước nền tảng cho các dạng toán nâng cao ở lớp 11 và 12. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm m, công thức điều kiện cùng phương, kèm ví dụ minh họa và bài tập có lời giải giúp bạn học hiệu quả hơn.
A. Quy tắc xác định vectơ cùng phương
Cho 
\(\overrightarrow{u} = (x;y)\) ;\(\overrightarrow{u'} =
(x';y')\) . Vectơ \(\overrightarrow{u'}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{u}\)(với \(\overrightarrow{u} \neq
\overrightarrow{0}\)) khi và chỉ khi có số k sao cho \(\left\{ \begin{matrix}
x' = kx \\
y' = ky
\end{matrix} \right.\).
Chú ý: Nếu \(xy \neq 0\) ta có \(\overrightarrow{u'}\) cùng phương \(\overrightarrow{u} \Leftrightarrow
\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y}\).
Để phân tích \(\overrightarrow{c}\left(
c_{1};c_{2} \right)\) qua hai vectơ \(\overrightarrow{a}\left( a_{1};a_{2} \right),\ \
\overrightarrow{b}\left( b_{1};b_{2} \right)\) không cùng phương, ta giả sử \(\overrightarrow{c} =
x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}\). Khi đó ta quy về giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\
a_{2}x + b_{2}y = c_{2}
\end{matrix} \right.\)
B. Bài tập ví dụ minh họa tìm m để hai vectơ cùng phương
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho các vectơ \(\overrightarrow{u\ } = ( - 2\ ;\ 1)\) và \(\overrightarrow{v\ } = 3\overrightarrow{i\ }
- m\overrightarrow{j\ }\). Tìm \(m\) để hai vectơ \(\overrightarrow{u\ }\), \(\overrightarrow{v\ }\) cùng phương.
Hướng dẫn giải
Ta có \(\overrightarrow{v\ } =
3\overrightarrow{i\ } - m\overrightarrow{j\ } \Rightarrow
\overrightarrow{v\ } = (3\ ;\ - m)\).
Hai vectơ \(\overrightarrow{u\ }\), \(\overrightarrow{v\ }\)cùng phương \(\Leftrightarrow \frac{3}{- 2} = \frac{-
m}{1} \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\).
Ví dụ 2: Cho \(\overrightarrow{u\ } =
\left( m^{2} + m - 2\ \ ;\ 4 \right)\) và \(\overrightarrow{\ v} = (m;2)\). Tìm m để hai vecto \(\overrightarrow{u},\ \
\overrightarrow{v}\) cùng phương.
Hướng dẫn giải
+ Với \(m = 0\): Ta có \(\overrightarrow{u\ } = ( - 2;4)\ \ \
;\overrightarrow{v\ } = (0;2)\)
Vì \(\ \frac{0}{- 2} \neq
\frac{2}{4}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{u\ }\ ;\ \overrightarrow{v\ }\\)không cùng phương
+ Với \(m \neq 0\): Ta có \(\overrightarrow{u\ }\ ;\ \overrightarrow{v\ }\\)cùng phương khi và chỉ khi
\(\frac{m^{2} + m - 2}{m} = \frac{4}{2}
\Leftrightarrow m^{2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = - 1 \\
m = 2
\end{matrix} \right.\)
Vậy với \(m = - 1\) và \(m = 2\) là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho các vectơ \(\overrightarrow{a}
= (4; - 2),\overrightarrow{b} = ( - 1; - 1),\overrightarrow{c} =
(2;5)\). Phân tích vectơ \(\overrightarrow{b}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\ \overrightarrow{c}\)?
Hướng dẫn giải
Giả sử \(\overrightarrow{b} =
m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{c} \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
- 1 = 4m + 2n \\
- 1 = - 2m + 5n
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = - \frac{1}{8} \\
n = - \frac{1}{4}
\end{matrix} \right.\).
Vậy \(\overrightarrow{b} = -
\frac{1}{8}\overrightarrow{a} -
\frac{1}{4}\overrightarrow{c}\).
Ví dụ 4: Cho \(\overrightarrow{a} =
(3;2),\overrightarrow{b} = ( - 3;1)\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương
b) Đặt \(\overrightarrow{u} = (2 -
x)\overrightarrow{a} + (3 + y)\overrightarrow{b}\). Tìm \(x,\ \ y\) sao cho \(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(x\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b}\) .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\frac{3}{- 3} \neq
\frac{2}{1}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương
b) Ta có:
\(\overrightarrow{u} = ( - 3x - 3y - 3; -
2x + y + 7)\)
\(x\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
= (3x - 3;2x + 1),\ \ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} =
(0;3)\)
\(\overrightarrow{u}\) cùng phương với \(x\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) khi và chỉ khi có sô \(k,\ \ l\) sao cho
\(\overrightarrow{u} = k\left(
x\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right),\ \ \overrightarrow{u}
= l\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right)\)
Do đó \(\left\{ \begin{matrix}
- 3x - 3y - 3 = k(3x - 3) \\
- 2x + y + 7 = k(2x + 1) \\
- 3x - 3y - 3 = 0 \\
- 2x + y + 7 = 3l
\end{matrix} \right.\). Suy ra \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = - 3
\end{matrix} \right.\) hoặc \(\left\{
\begin{matrix}
x = 1 \\
y = - 2
\end{matrix} \right.\)
-------------------------------------------------------------
Qua chuyên đề “Tìm m để hai vectơ cùng phương”, bạn đã nắm vững điều kiện để hai vectơ cùng phương, cách thiết lập tỉ số tọa độ và tìm giá trị m trong các bài toán Toán 10. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập có đáp án chi tiết để củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng tính toán và sẵn sàng chinh phục các dạng bài tọa độ vectơ trong các kỳ thi sắp tới.
