Tìm tọa độ của vectơ và các phép trên hệ trục tọa độ
Bài tập Toán 10: Tìm tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy
Trong chương trình Toán 10, chuyên đề Tìm tọa độ của vectơ và các phép toán trên hệ trục tọa độ Oxy là phần kiến thức quan trọng giúp học sinh hiểu sâu về tọa độ điểm, vectơ, quy tắc cộng – trừ và nhân vectơ với số thực. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững toàn bộ lý thuyết cơ bản, công thức tính tọa độ vectơ, cùng với bài tập minh họa có đáp án chi tiết, giúp rèn luyện kỹ năng và ứng dụng hiệu quả trong các dạng bài thi.
A. Phương pháp tìm tọa độ vectơ
Phương pháp
Trong hệ trục tọa độ 
\(\left(
O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j} \right)\) nếu \(\overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} +
y\overrightarrow{j}\) thì cặp số \((x;y)\) được gọi là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\), kí hiệu là \(\overrightarrow{u} = (x;y)\) hay \(\overrightarrow{u}(x;y)\).
Cho \(\overrightarrow{u} = (x;y)\) ;\(\overrightarrow{u'} =
(x';y')\) và số thực k. Khi đó ta có:
- \(\overrightarrow{u} =
\overrightarrow{u'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = x' \\
y = y'
\end{matrix} \right.\)
- \(\overrightarrow{u} \pm
\overrightarrow{v} = (x \pm x';y \pm y')\)
- \(k.\overrightarrow{u} =
(kx;ky)\)
B. Ví dụ minh họa tìm tọa độ vectơ
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho 3 vecto: \(\overrightarrow{a} = (3 ;2),\overrightarrow{b } = ( - 1; 5) ,\overrightarrow{c} =( - 2 ; - 5)\). Tìm tọa độ của vectơ sau:
a) \(\overrightarrow{a} + \
\overrightarrow{b\ }\) b) \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) c) \(\overrightarrow{k} = 2\overrightarrow{a}
+ \overrightarrow{b}\) d) \(\
\overrightarrow{l} = - \overrightarrow{a}\ + 2\overrightarrow{b}\ \ +
5\overrightarrow{c\ }\ \\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\overrightarrow{a} + \
\overrightarrow{b\ } = (3 + ( - 1);2 + 5) \Rightarrow \overrightarrow{a}
+ \ \overrightarrow{b\ } = (2;7).\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c} = ( - 1 - ( - 2);5 - ( - 5)) = (1;10)\)
c) Ta có: \(2\overrightarrow{a\ } = (6;4)\ \
\overrightarrow{\ b} = ( - 1;5)\) suy ra \(\overrightarrow{k\ } = (6 - 1;4 + 5) =
(5;9)\);
d) Ta có:
\(- \overrightarrow{a\ } = ( - 3; - 2),\ \
2\overrightarrow{b\ } = ( - 2;10)\) và \(5\overrightarrow{c\ }\ = ( - 10; - 25)\).
Suy ra:
\(\overrightarrow{l} = ( - 3 - 2 - 10; - 2
+ 10 - 25) = ( - 15; - 17)\).
Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ \(\left( O;\
\ \overrightarrow{i};\ \ \overrightarrow{j} \right)\) cho hai véc tơ \(\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i}
- 4\overrightarrow{j}\); \(\overrightarrow{b} = - 5\overrightarrow{i} +
3\overrightarrow{j}\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b}\).
Hướng dẫn giải
Ta có \(\overrightarrow{a} = (2;\ \ -
4)\) và \(\overrightarrow{b} = ( - 5;3)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} = (9; - 11)\).
Ví dụ 3: Cho \(\overrightarrow{a} =
(1;2),\overrightarrow{b} = ( - 3;4);\overrightarrow{c} = ( -
1;3)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}\) biết:
a) \(2\overrightarrow{u} -
3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} =
\overrightarrow{0}\) b) \(3\overrightarrow{u} +
2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} =
3\overrightarrow{c}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(2\overrightarrow{u} -
3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}
\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = \frac{3}{2}\overrightarrow{a} -
\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\)
Suy ra \(\overrightarrow{u} = \left(
\frac{3}{2} + \frac{3}{2};3 - 2 \right) = (3;1)\)
b) Ta có:
\(3\overrightarrow{u} +2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} = 3\overrightarrow{c}\)\(\Leftrightarrow \overrightarrow{u} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{a} -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\)
Suy ra \(\overrightarrow{u} = \left( -
\frac{2}{3} + 3 - 1; - \frac{4}{3} - 4 + 3 \right) = \left( \frac{4}{3};
- \frac{7}{3} \right)\)
Ví dụ 4: Cho \(\overrightarrow{a} = (1;\
2)\) và \(\overrightarrow{b} = (3;\
4)\). Tìm độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) và \(2\overrightarrow{a} +
3\overrightarrow{b}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left| \overrightarrow{a} \right| =\sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5};\ \left| \overrightarrow{b} \right|= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)
Ta có:
\(2\overrightarrow{a} +3\overrightarrow{b} = (11;\ \ \ 16)\)
\(\Leftrightarrow \left|2\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{11^{2} +16^{2}} = \sqrt{377}\).
----------------------------------------------
Như vậy, qua bài viết “Tìm tọa độ của vectơ và các phép trên hệ trục tọa độ”, bạn đã được trang bị kiến thức nền tảng về tọa độ vectơ, quy tắc phép cộng – trừ – nhân vectơ cùng các bài tập Toán 10 có đáp án giúp củng cố lý thuyết. Hãy ôn luyện thường xuyên và vận dụng công thức vào thực hành để nâng cao kỹ năng giải toán, sẵn sàng cho các kỳ kiểm tra và kỳ thi THPT Quốc gia.
