Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm thẳng hàng
Điều kiện ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng Oxy
Trong chương trình Toán 10, dạng bài Tìm tọa độ điểm M sao cho ba điểm thẳng hàng trong mặt phẳng Oxy là dạng bài quan trọng và thường xuất hiện trong các đề kiểm tra, ôn tập học kỳ cũng như đề thi THPT. Việc hiểu rõ điều kiện ba điểm thẳng hàng, ứng dụng vectơ và tọa độ điểm giúp học sinh rèn luyện khả năng suy luận hình học và kỹ năng tính toán tọa độ. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tìm tọa độ điểm M, kết hợp với lý thuyết, công thức, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án, giúp bạn nắm chắc chuyên đề tọa độ vectơ trong Oxy một cách hiệu quả.
A. Cách tìm M để ba điểm thẳng hàng
Cho 
\(\overrightarrow{u} = (x;y)\) ;\(\overrightarrow{u'} =
(x';y')\) . Vectơ \(\overrightarrow{u'}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{u}\left(
\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0} \right)\) khi và chỉ khi có số \(k\) sao cho \(\left\{ \begin{matrix}
x' = kx \\
y' = ky
\end{matrix} \right.\).
Chú ý: Nếu \(xy \neq 0\) ta có \(\overrightarrow{u'}\) cùng phương \(\overrightarrow{u} \Leftrightarrow
\frac{x'}{x} = \frac{y'}{y}\)
Để phân tích \(\overrightarrow{c}\left(
c_{1};c_{2} \right)\) qua hai vectơ \(\overrightarrow{a} = \left( a_{1};a_{2} \right),\
\ \overrightarrow{b} = \left( b_{1};b_{2} \right)\) không cùng phương, ta giả sử \(\overrightarrow{c} =
x\overrightarrow{a} + y\overrightarrow{b}\). Khi đó ta quy về giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
a_{1}x + b_{1}y = c_{1} \\
a_{2}x + b_{2}y = c_{2}
\end{matrix} \right.\).
B. Bài tập minh họa tìm tọa độ điểm để ba điểm đã cho thẳng hàng
Ví dụ 1: Cho \(A(1;2),\ B( - 2;6)\). Điểm \(M\) trên trục \(Oy\) sao cho ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng thì tọa độ điểm \(M\) là:
A. \((0;10)\). B. \((0; - 10)\). C. \((10;0)\). D. \((
- 10;0)\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(M\) trên trục \(Oy \Rightarrow M(0;y)\)
Ba điểm \(A,B,M\) thẳng hàng khi \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AM}\)
Ta có \(\overrightarrow{AB} = ( - 3;4),\ \
\overrightarrow{AM} = ( - 1;y - 2)\).
Do đó, \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \frac{- 1}{-
3} = \frac{y - 2}{4} \Rightarrow y = 10\).
Vậy \(M(0;10)\).
Chọn đáp án A
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho \(A(m - 1; - 1),\ B(2;2 - 2m),\ C(m +
3;3)\). Tìm giá trị \(m\) để \(A,B,C\) là ba điểm thẳng hàng?
A. \(m = 2\). B. \(m = 0\). C. \(m =
3\). D. \(m = 1\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (3 - m;3 -
2m)\), \(\overrightarrow{AC} =
(4;4)\)
Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{AC}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3 - m}{4} = \frac{3
- 2m}{4} \Leftrightarrow m = 0\).
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(6;3),\ B( - 3;6),\ C(1; - 2)\). Xác định điểm \(D\) trên trục hoành sao cho ba điểm \(A,\ \ B,\ \ D\) thẳng hàng.
A.\(E(5;\ - 10)\). B.\(E\left( - \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right)\) C. \(E\left( - \frac{1}{3}; - \frac{2}{3}
\right)\). D.\(E(5;\ 10)\).
Hướng dẫn giải
Vì \(E\) thuộc đoạn \(BC\) và \(BE =
2EC\) suy ra \(\overrightarrow{BE} =
2\overrightarrow{EC}\)
Gọi \(E(x;y)\) khi đó \(\overrightarrow{BE}(x + 3;y - 6),\ \
\overrightarrow{EC}(1 - x; - 2 - y)\)
Do đó \(\left\{ \begin{matrix}
x + 3 = 2(1 - x) \\
y - 6 = 2( - 2 - y)
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = - \frac{1}{3} \\
y = \frac{2}{3}
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(E\left( - \frac{1}{3};\frac{2}{3}
\right)\).
Chọn đáp án B.
Ví dụ 4:Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho 4 điểm \(A(0;1),\ \ B(1;3),\ \ C(2;7)\) và \(D(0;3)\). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng \(AC\) và \(BD\).
A.\(\left( \frac{2}{3};\ 3
\right)\). B.\(\left( \frac{2}{3};\ -
3 \right)\). C. \(\left( 3; -
\frac{2}{3} \right)\). D.\(\left( 3;\
\frac{2}{3} \right)\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(I(x;y)\) là giao điểm \(AC\) và \(BD\) suy ra \(\overrightarrow{AI\ }\ ;\
\overrightarrow{AC}\) cùng phương và \(\overrightarrow{BI\ }\ ;\ \
\overrightarrow{BD}\) cùng phương
Mặt khác
\(\overrightarrow{AI} = (\ x\ ;\ y - 1\ ),\
\ \overrightarrow{AC} = (2\ ;\ 6)\) suy ra \(\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{6} \Leftrightarrow 6x -
2y = - 2\) (1)
\(\overrightarrow{BI} = (x - 1;y - 3),\ \
\overrightarrow{BD} = ( - 1;0)\\)suy ra \(y = 3\) thế vào (1) ta có \(x = \frac{2}{3}\)
Vậy \(I\left( \frac{2}{3};\ 3
\right)\) là điểm cần tìm.
----------------------------------------------------------
Qua bài viết “Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho ba điểm thẳng hàng”, bạn đã được củng cố toàn bộ kiến thức về điều kiện thẳng hàng của ba điểm, cùng phương pháp tìm tọa độ điểm M bằng vectơ và hệ thức tọa độ. Hãy ôn luyện thêm các bài tập Toán 10 tọa độ vectơ có đáp án chi tiết để rèn kỹ năng giải nhanh, chính xác và sẵn sàng chinh phục mọi dạng bài trong đề thi.
