Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tính độ dài cạnh còn lại của tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Bài tập Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 10

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác có đáp án

A. Phương pháp giải tính độ dài cạnh áp dụng hệ thức lượng
- B. Ví dụ minh họa tính độ dài cạnh tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
- Đáp án chi tiết bài tập tự rèn luyện

Trong chương trình Toán 10, chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác là phần kiến thức quan trọng giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác. Bài viết Tính độ dài cạnh còn lại của tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa sẽ hướng dẫn chi tiết cách áp dụng định lý cos để tìm cạnh còn lại, kèm ví dụ minh họa và lời giải chi tiết. Đây là tài liệu hữu ích giúp học sinh nắm vững phương pháp giải nhanh và chính xác các bài toán liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác.

A. Cách tính độ dài cạnh áp dụng hệ thức lượng

Dùng định lí Cosin

Trong tam giác ABC với BC = a; AC = b và AB = c.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc.cosA$

$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2ca.cosB$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab.cosC$

B. Ví dụ minh họa tính độ dài cạnh tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 5 và $\cos A = \frac{4}{5}$ . Tính cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Ta có:

BC² = AB² + AC² - 2AB.AC.cosA

$= 2^{2} + 5^{2} - 2.5.\frac{4}{5} = 21 \Rightarrow BC = \sqrt{21}$ .

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = 2, $AC = 2\sqrt{2}$ , $\cos(A + B) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Do $\cos(A + B) = - \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác có:

AB² = BC² + AC² - 2BC.AC.cosC $= 2^{2} + \left( 2\sqrt{2} \right)^{2} - 2.2.2\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2} = 4$ => AB = 2.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và có AB = 3, $BC = 3\sqrt{3}$ , $\sin B = \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Tìm độ dài cạnh AC (chính xác đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Ta có cosB > 0 (vì góc B là góc nhọn), do đó:

$\cos B = \sqrt{1 - \sin^{2}A} = \sqrt{1 -\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Áp dụng định lý côsin trong tam giác có:

AC² = AB² + BC² - 2AB.BC.cosB

$AC^{2} = 3^{2} + \left( 3\sqrt{3} \right)^{2} - 2.3.3\sqrt{3}.\frac{\sqrt{6}}{3} = 36 - 18\sqrt{2}$

$\Rightarrow AC \simeq 3,25$ .

Ví dụ 4: Tam giác ABC có a = 8; c = 3, $\widehat{B} = 60^{0}$ . Tính độ dài cạnh b.

Hướng dẫn giải

Ta có:

b² = a² + c² - 2ac.cosB = 8² +3² - 2.8.3.cos60⁰= 49

=> b = 7.

Ví dụ 5: Trong tam giác ABC có AB = 2cm, AC = 1cm, $\widehat{A} = 60^{0}$ . Tính độ dài cạnh BC?

Hướng dẫn giải

Ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA

=> BC² = 2² + 1² - 2.2.1.cos60⁰

=> BC²= 3

Vậy $BC = \sqrt{3}\ cm$ .

C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho tam giác ABC có $\widehat{C} = 30^{0}$ , cạnh a = 8, cạnh b = 6. Tính tính độ dài cạnh c (làm tròn đến hàng phần trăm).

Bài tập 2: Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1cm và có $\widehat{BAD} = 60{^\circ}$ . Tính độ dài cạnh AC.

Bài tập 3. Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM = 6; CN = 9 và hợp với nhau một góc 120⁰. Tính các cạnh tam giác ABC.

Bài tập 4: Cho tam giác ABC có $\cos A = \frac{5}{9}.$ Điểm D thuộc cạnh BC sao cho $\widehat{ABC} = \widehat{DAC},$ DA = 6 $BD = \frac{16}{3}.$ Tính chu vi tam giác ABC.

Bài tập 5: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH = 32cm. Hai cạnh AB và AC tỉ lệ với 3 và 4. Cạnh nhỏ nhất của tam giác này có độ dài bằng bao nhiêu?

Bài tập 6: Tam giác MPQ vuông tại P. Trên cạnh MQ lấy hai điểm E; F sao cho các góc $\widehat{MPE},\ \ \widehat{EPF},\ \ \widehat{FPQ}$ bằng nhau. Đặt MP = q; PQ = m, PE = x; PF = y. Chứng minh: $MF^{2} = q^{2} + y^{2} - yq.$

Bài tập 7: Tam giác ABC vuông tại A, có AB = c; AC = b. Gọi $\mathcal{l}_{a}$ là độ dài đoạn phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ . Tính $\mathcal{l}_{a}$ theo b và c.

Đáp án chi tiết bài tập tự rèn luyện

Bài tập 1.

Theo định lí côsin, ta có

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab.cosC = 8^{2} + 6^{2} - 2.8.6.cos30^{0}$

$c = \sqrt{8^{2} + 6^{2} - 2.8.6.cos30^{0}} \simeq 4,11$

Bài tập 2.

Hình vẽ minh họa:

Do ABCD là hình thoi, có $\widehat{BAD} = 60{^\circ} \Rightarrow \widehat{ABC} = 120{^\circ}$ .

Theo định lí côsin, ta có:

AC² = AB²+ BC² - 2AB.BC.cosABC = 1² + 1² - 2.1.1.cos120⁰ = 3 => $AC = \sqrt{3}$

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

------------------------------------------------

Khi nào nên dùng định lý cosin để tính độ dài cạnh tam giác?

Học sinh nên sử dụng định lý cosin khi biết độ dài hai cạnh và số đo góc xen giữa chúng, hoặc khi biết cả ba cạnh và cần tính một góc của tam giác.

Nếu đề bài cho hai cạnh nhưng góc đã biết không nằm giữa hai cạnh đó, cần xem xét dữ kiện cẩn thận trước khi lựa chọn công thức. Không nên áp dụng định lý cosin một cách máy móc mà phải xác định đúng cạnh đối diện với góc đang xét.

Cần lưu ý gì khi giải bài tập tính cạnh còn lại của tam giác?

Khi giải dạng toán này, học sinh cần ghi nhớ ba điểm quan trọng:

Xác định chính xác hai cạnh đã biết và góc xen giữa chúng.
Thay đúng số liệu vào định lý cosin, đặc biệt chú ý dấu trừ trước $2bc\cos A$ $2bc\cos A$
Kiểm tra chế độ đo góc của máy tính là độ (DEG) nếu đề bài sử dụng đơn vị độ.

Ngoài ra, nên giữ kết quả dưới dạng căn thức khi phù hợp và chỉ làm tròn số theo yêu cầu của đề bài.

Có thể tính cạnh còn lại của tam giác bằng định lý Pythagore không?

Định lý Pythagore chỉ áp dụng trực tiếp cho tam giác vuông. Nếu tam giác không vuông và đề bài cho hai cạnh cùng góc xen giữa, học sinh nên dùng định lý cosin để tính cạnh còn lại.

Đặc biệt, khi góc xen giữa bằng $90^0$ ta có $\cos90^\circ=0$ $\cos90^\circ=0$, nên công thức cosin trở về hệ thức Pythagore. Vì vậy, định lý cosin có thể xem là sự mở rộng của hệ thức quen thuộc này cho tam giác bất kỳ.

Học định lý cosin qua bài tập Toán 10 có đáp án mang lại lợi ích gì?

Luyện tập với bài tập Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác có đáp án giúp học sinh củng cố công thức định lý cosin, rèn kỹ năng biến đổi biểu thức và hạn chế nhầm lẫn khi xác định cạnh đối diện với góc.

Học sinh nên bắt đầu từ các bài tập thay số trực tiếp, sau đó chuyển sang bài toán kết hợp tính cạnh, tính góc và giải tam giác. Việc đối chiếu lời giải sau khi tự làm sẽ giúp nhận ra lỗi sai và ghi nhớ phương pháp giải lâu hơn.

---------------------

Có thể thấy, dạng toán tính độ dài cạnh còn lại của tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa là một nội dung cốt lõi trong chuyên đề hệ thức lượng. Khi nắm vững công thức và hiểu rõ cách áp dụng, bạn sẽ giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác hơn. Đây cũng là nền tảng quan trọng để tiếp cận các dạng toán nâng cao trong hình học lớp 10.

Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng và phản xạ làm bài. Đồng thời, bạn cũng sẽ hiểu sâu hơn mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn kiến thức hữu ích và dễ áp dụng trong học tập. Hãy tiếp tục ôn luyện các chuyên đề Toán 10 để xây dựng nền tảng vững chắc và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.

Tải về

Chọn file muốn tải về: