Xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ
Cách xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ
Trong chuyên đề Vectơ Toán 10, dạng bài xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ là nội dung quan trọng giúp học sinh vận dụng linh hoạt các tính chất của vectơ trong hình học. Đây là dạng bài đòi hỏi khả năng phân tích, tư duy và kỹ năng biến đổi vectơ một cách chính xác. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, kèm ví dụ minh họa, công thức và bài tập có đáp án, giúp bạn nắm vững phương pháp và đạt kết quả cao trong học tập.
A. Phương pháp xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}
\Leftrightarrow A \equiv B\)- Cho điểm A và \(\overrightarrow{a}\). Có duy nhất M sao cho: \(\overrightarrow{AM} =
\overrightarrow{a}\)
- \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}
\Leftrightarrow B \equiv C;\ \ \ \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{BD} \Leftrightarrow A \equiv B\).
B. Ví dụ minh họa tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết \(\overrightarrow{AG} =
2\overrightarrow{GD}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
\(\overrightarrow{AG} =
2\overrightarrow{GD}\)⇒ A, G, D thẳng hàng.
AG = 2GD và G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: \(\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} =
\overrightarrow{0}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có:
\(\overrightarrow{IA} +
2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{IA} = - 2\overrightarrow{IB} \Rightarrow \left|
\overrightarrow{IA} \right| = \left| - 2\overrightarrow{IB}
\right|\)
hay IA = 2IB, \(\overrightarrow{IA}
\uparrow \downarrow \overrightarrow{IB}\).
Vậy I là điểm thuộc AB sao cho \(IB =
\frac{1}{3}AB\).
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{GI}\), trong đó I là trung điểm AB
Tương tự \(\overrightarrow{GC} +
\overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GK}\), K là trung điểm CD
\(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
2\overrightarrow{GI} + 2\overrightarrow{GK}\)
Hay \(\overrightarrow{GI} +
\overrightarrow{GK} = \overrightarrow{0}\)
⇒ G là trung điểm IK
Ví dụ 4. Cho hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).
a) Hãy xác định điểm \(K\) sao cho \(\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} =
\overrightarrow{0}\).
b) Chứng minh rằng với mọi điểm \(O\), ta có \(\overrightarrow{OK} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} +
\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\overrightarrow{KA} +
2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{KA} + 2\left( \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AB}
\right) = \overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow 3\overrightarrow{KA} = -
2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AK} =
\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{KA} +
2\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow
\overrightarrow{KA} = - 2\overrightarrow{KB}\)
\(\frac{1}{3}\overrightarrow{OA} +\frac{2}{3}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{3}\left( \overrightarrow{OK} +\overrightarrow{KA} \right) + \frac{2}{3}\left( \overrightarrow{OK} +\overrightarrow{KB} \right)\)
\(= \overrightarrow{OK} +\frac{1}{3}\overrightarrow{KA} +\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\)
\(= \overrightarrow{OK} +
\frac{1}{3}\left( - 2\overrightarrow{KB} \right) +
\frac{2}{3}\overrightarrow{KB} = \overrightarrow{OK}\)
C. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết
Bài tập 1: Cho tam giác \(ABC\).
a) Hãy xác định điểm \(M\) để \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} +
2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}\).
b) Chứng minh rằng với mọi điểm \(O\), ta có \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +
2\overrightarrow{OC} = 4\overrightarrow{OM}\).
Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + 3\overrightarrow{MD} =
x\overrightarrow{MK}\). Tìm x?
Bài tập 3. Cho tam giác \(ABC\)
a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : \(2\overrightarrow{IA} + 3\overrightarrow{IB} +
4\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}\).
b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : \(\left|
2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} + 4\overrightarrow{MC}
\right| = \left| \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MA}
\right|\).
Bài tập 4: Cho tam giác \(ABC\) . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :
a) \(\left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} \right| = \left| \overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MC} \right|\).
b) \(\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} = k\left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}
- 3\overrightarrow{MC} \right)\) với k là số thực thay đổi.
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
---------------------------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã được tìm hiểu cách xác định một điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ cùng quy trình giải chi tiết và ví dụ minh họa cụ thể. Đây là kiến thức nền tảng trong chuyên đề Vectơ Toán 10, giúp bạn củng cố khả năng tư duy hình học và áp dụng hiệu quả trong các bài toán chứng minh, xác định tọa độ và biểu diễn vectơ.
👉 Để thành thạo hơn, bạn nên luyện tập thêm các bài tập vectơ có đáp án chi tiết, từ cơ bản đến nâng cao, nhằm củng cố kỹ năng và đạt điểm cao trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ và thi THPT Quốc gia.
