VnDoc.com

Xác định tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng

Bài tập Tích vô hướng của 2 vectơ

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Xác định tập hợp điểm thỏa mãn tích vô hướng lớp 10

Trong chương trình Toán 10, bài toán xác định tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức về tích vô hướng là dạng bài vận dụng giúp học sinh hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa vectơ và hình học trong mặt phẳng tọa độ. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước phân tích, thiết lập phương trình và giải bài toán một cách logic, rõ ràng. Thông qua các bài tập tích vô hướng của 2 vectơ có đáp án chi tiết, học sinh sẽ củng cố kiến thức, nâng cao kỹ năng giải toán hình học và sẵn sàng chinh phục các đề thi Toán 10.

A. Các bước tìm tập hợp điểm thỏa mãn biểu thức tích vô hướng

Cho $A,B$ là các điểm cố định. $M$ là điểm di động:

Nếu $\left| \overrightarrow{AM} \right| = k$ $\left| \overrightarrow{AM} \right| = k$ với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn tâm$A$, bán kính $R = k$.
Nếu $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$ thì tập hợp các điểm $M$ là đường tròn đường kính $AB$.
Nếu $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{a} = 0$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{a} = 0$ với $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{0}$ cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$.

B. Ví dụ minh họa tìm tập hợp điểm thỏa mãn tích vô hướng

Ví dụ 1: Cho hai điểm $A,B$ cố định có độ dài bằng $a$, vectơ $\overrightarrow{a}$ $\overrightarrow{a}$ khác $\overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{0}$ và số thực $k$ cho trước. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho:

a) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \frac{3a^{2}}{4}$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \frac{3a^{2}}{4}$ b) $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = MA^{2}$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = MA^{2}$

Hướng dẫn giải

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \frac{3a^{2}}{4} \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) = \frac{3a^{2}}{4}$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = \frac{3a^{2}}{4} \Leftrightarrow \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) = \frac{3a^{2}}{4}$

$\Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$ $\Leftrightarrow MI^{2} - IA^{2} = \frac{3a^{2}}{4}$(Do $\overrightarrow{IB} = - \overrightarrow{IA}$ $\overrightarrow{IB} = - \overrightarrow{IA}$)

$\Leftrightarrow MI^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{3a^{2}}{4} \Leftrightarrow MI = a$ $\Leftrightarrow MI^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{3a^{2}}{4} \Leftrightarrow MI = a$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = a$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = MA^{2} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MA}}^{2}$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = MA^{2} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = {\overrightarrow{MA}}^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\left( \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BA} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\bot\overrightarrow{BA}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\left( \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BA} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}\bot\overrightarrow{BA}$

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại$A$.

Ví dụ 2: Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{CB} \right)\overrightarrow{BC} = 0$ $\left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{CB} \right)\overrightarrow{BC} = 0$.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là điểm xác định bởi $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{IA} + 2\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$

Khi đó $\left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{CB} \right)\overrightarrow{BC} = 0$ $\left( \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{CB} \right)\overrightarrow{BC} = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) + 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) \right\rbrack.\overrightarrow{BC} = 3BC^{2}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right) + 2\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IB} \right) \right\rbrack.\overrightarrow{BC} = 3BC^{2}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BC} = BC^{2}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BC} = BC^{2}$

Gọi $M',I'$ lần lượt là hình chiếu của $M,I$ lên đường thẳng $BC$

Theo công thức hình chiếu ta có $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{M$ $\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{M'I'}.\overrightarrow{BC}$ do đó $\overrightarrow{M$ $\overrightarrow{M'I'}.\overrightarrow{BC} = BC^{2}$

Vì $BC^{2} > 0$ $BC^{2} > 0$ nên $\overrightarrow{M$ $\overrightarrow{M'I'},\ \ \ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng suy ra

$\overrightarrow{M$ $\overrightarrow{M'I'}.\overrightarrow{BC} = BC^{2} \Leftrightarrow M'I'.BC = BC^{2} \Leftrightarrow M'I' = BC$

Do $I$ cố định nên $I'$ cố định suy ra $M'$ cố định.

Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng đi qua $M'$ và vuông góc với$BC$ .

Ví dụ 3: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ và số thực $k$ cho trước. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD} = k$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD} = k$

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Gọi $I$ là tâm của hình vuông $ABCD$

Ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right)$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} = \left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA} \right)\left( \overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IC} \right)$

$= MI^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} \right) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC} = MI^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}$ $= MI^{2} + \overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{IA} \right) + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC} = MI^{2} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC}$

Tương tự: $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD} = MI^{2} + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}$ $\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD} = MI^{2} + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID}$

Nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD} = k \Leftrightarrow 2MI^{2} + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC} = k$ $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD} = k \Leftrightarrow 2MI^{2} + \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{ID} + \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IC} = k$

$\Leftrightarrow 2MI^{2} - IB^{2} - IA^{2} = k$ $\Leftrightarrow 2MI^{2} - IB^{2} - IA^{2} = k$

$\Leftrightarrow MI^{2} = \frac{k}{2} + IA^{2} \Leftrightarrow MI^{2} = \frac{k}{2} + a^{2}$ $\Leftrightarrow MI^{2} = \frac{k}{2} + IA^{2} \Leftrightarrow MI^{2} = \frac{k}{2} + a^{2}$

$\Leftrightarrow MI = \sqrt{\frac{k}{2} + IA^{2}} = \sqrt{\frac{k + a^{2}}{2}}$ $\Leftrightarrow MI = \sqrt{\frac{k}{2} + IA^{2}} = \sqrt{\frac{k + a^{2}}{2}}$

Nếu $k < - a^{2}$ $k < - a^{2}$ : Tập hợp điểm $M$ là tập rỗng

Nếu $k = - a^{2}$ $k = - a^{2}$ thì $MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I$ $MI = 0 \Leftrightarrow M \equiv I$ suy ra tập hợp điểm $M$ là điểm $I$

Nếu $k > - a^{2}$ $k > - a^{2}$ thì $MI = \sqrt{\frac{k + a^{2}}{2}}$ $MI = \sqrt{\frac{k + a^{2}}{2}}$

suy ra tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $I$ bán kính $R = \sqrt{\frac{k + a^{2}}{2}}$ $R = \sqrt{\frac{k + a^{2}}{2}}$.

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài tập 1. Cho tam giác $ABC$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\left( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right) = 0$ $\overrightarrow{MA}\left( \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \right) = 0$ là: