Xác định tích vectơ với một số
Cách nhân vectơ với số thực Toán 10 có đáp án
Trong chương trình Toán 10, phần xác định tích vectơ với một số giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ giữa độ dài, hướng và tỷ lệ của vectơ khi nhân với một số thực. Đây là nội dung nền tảng của chuyên đề Vectơ, có vai trò quan trọng trong các bài toán hình học và tọa độ. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết cách xác định tích của vectơ với một số, kèm công thức, ví dụ minh họa và bài tập có đáp án, giúp bạn nắm chắc kiến thức và vận dụng hiệu quả.
A. Cách xác định vectơ 
\(k\overrightarrow{a}\)
Phương pháp: Dùng định nghĩa phép nhân vectơ với một số
Cho vectơ \(\overrightarrow{a}\) và số \(k\mathbb{\in R}\). \(k\overrightarrow{a}\) là một vectơ được xác định như sau:
- \(k\overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k \geq 0\)
- \(k\overrightarrow{a}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k < 0\) .
- \(\left| k\overrightarrow{a} \right| =
|k|.\left| \overrightarrow{a} \right|\).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho ba điểm \(M,\ N,\ P\) như hình vẽ:
Tìm các số \(k,l,m\) biết:
a) \(\overrightarrow{MN} =
k\overrightarrow{MP}\) b) \(\overrightarrow{PN} =
l.\overrightarrow{MP}\) c) \(\overrightarrow{NM} =
m\overrightarrow{NP}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\overrightarrow{MN},\
\overrightarrow{MP}\) là hai vectơ ngược hướng và \(MN = \frac{1}{2}MP\) nên \(\overrightarrow{MN} = -
\frac{1}{2}\overrightarrow{MP} \Rightarrow k = -
\frac{1}{2}.\)
b) Ta có:
\(\overrightarrow{PN},\
\overrightarrow{MP}\) là hai vectơ ngược hướng và \(PN = \frac{3}{2}MP\) nên \(\overrightarrow{PN} = -
\frac{3}{2}\overrightarrow{MP} \Rightarrow l = -
\frac{3}{2}.\)
c) Ta có:
\(\overrightarrow{NM},\
\overrightarrow{NP}\) là hai vectơ cùng hướng và \(NM = \frac{1}{3}NP\) nên \(\overrightarrow{NM} =
\frac{1}{3}\overrightarrow{NP} \Rightarrow m = \frac{1}{3}\)
Ví dụ 2: Cho \(\overrightarrow{a} =
\overrightarrow{AB}\) và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho: \(\overrightarrow{OM} =3\overrightarrow{a};\overrightarrow{ON} = -4\overrightarrow{a}\) .
Hướng dẫn giải
Minh họa bài toán bởi hình vẽ:
Vẽ d đi qua O và song song với giá của \(\overrightarrow{a}\) (nếu O ∈ giá của \(\overrightarrow{a}\) thì d là giá của \(\overrightarrow{a}\))
− Trên d lấy điểm M sao cho \(OM = 3\left|
\overrightarrow{a} \right|\), \(\overrightarrow{OM}\)và \(\overrightarrow{a}\) cùng hướng khi đó \(\overrightarrow{OM} =
3\overrightarrow{a}\).
− Trên d lấy điểm N sao cho \(ON = 4\left|
\overrightarrow{a} \right|\), \(\overrightarrow{ON}\) và \(\overrightarrow{a}\) ngược hướng nên \(\overrightarrow{ON} = -
4\overrightarrow{a}\).
Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho \(AM = \frac{1}{5}AB\). Tìm k trong các đẳng thức sau:
a) \(\overrightarrow{AM} =
k\overrightarrow{AB}\) b) \(\overrightarrow{MA} =
k\overrightarrow{MB}\) c) \(\overrightarrow{MA} =
k\overrightarrow{AB}\)
Hướng dẫn giải
Minh họa bài toán bằng hình vẽ sau:
a) Ta có:
\(\overrightarrow{AM} =k\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow |k| =\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{AM}{AB} =\frac{1}{5}\), vì \(\overrightarrow{AM}
\uparrow \uparrow \overrightarrow{AB} \Rightarrow k =
\frac{1}{5}\)
b) Ta có:
\(\overrightarrow{MA} =k\overrightarrow{MB}\)
\(\Rightarrow |k| =\frac{|\overrightarrow{MA}|}{|\overrightarrow{MB}|} = \frac{MA}{MB} =\frac{1}{4}\) vì \(\overrightarrow{MA}
\uparrow \downarrow \overrightarrow{MB} \Rightarrow k = -
\frac{1}{4}\)
c) Ta có:
\(\overrightarrow{MA} =k\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow |k| = \frac{\left| \overrightarrow{MA}\right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|} = \frac{1}{5}\), vì \(\overrightarrow{MA} \uparrow \downarrow
\overrightarrow{AB} \Rightarrow k = - \frac{1}{5}\)
C. Bài tập tự rèn luyện xác định tích vectơ với một số có đáp án chi tiết
Bài tập 1: a) Chứng minh vectơ đối của \(5\overrightarrow{a}\) là \(( - 5)\overrightarrow{a}\).
b) Tìm vectơ đối của các vectơ \(2\overrightarrow{a} +
3\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b}\).
Bài tập 2: Cho đoạn thẳng \(AB =
6cm\)
a) Xác định điểm \(C\) thỏa mãn \(\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}\
\overrightarrow{AB}\).
b) Xác định điểm \(D\) thỏa mãn \(\overrightarrow{AD} = - \frac{1}{2}\
\overrightarrow{AB}\).
Bài tập 3: Một vật chuyển động thẳng đều từ \(A\) đến \(B\) với tốc độ \(9\ m/s\) và vật thứ hai chuyển động thẳng từ \(B\)về A với vận tốc \(6\ m/s\). Gọi \({\overrightarrow{v}}_{1},\
{\overrightarrow{v}}_{2}\) lần lượt là các vec ơ vận tốc của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay không số thực k thỏa mãn \({\overrightarrow{v}}_{1} =
k{\overrightarrow{v}}_{2}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã được tìm hiểu chi tiết cách xác định tích vectơ với một số, cùng các công thức và ví dụ minh họa cụ thể trong chuyên đề Vectơ Toán 10. Việc nắm vững kiến thức này giúp bạn hiểu sâu hơn về hướng và độ dài vectơ, đồng thời hỗ trợ tốt cho các chương học tiếp theo như phương trình đường thẳng và phép chiếu vectơ.
