Cách tính tích vô hướng
Tích vô hướng của hai vectơ
Chuyên đề: Tích vô hướng hai vecto môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.
A. Công thức tích vô hướng
Trong không gian, cho hai vectơ 
\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số thực, kí hiệu \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\), được xác định bởi công thức sau:
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b}
\right|\cos\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}
\right)\)
Chú ý:
Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) bằng \(\overrightarrow{0}\), ta quy ước \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
0\).
Với hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\), ta có \(\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}
\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0\).
Khi \(\overrightarrow{a} =
\overrightarrow{b}\) thì tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) được kí hiệu là \({\overrightarrow{a}}^{2}\) và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\).
Ta có \({\overrightarrow{a}}^{2} = \left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{a} \right|\cos 0^{o} =
\left| \overrightarrow{a} \right|^{2}\). Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
B. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ \(\overrightarrow{a},\
\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}\) bất kì và mọi số \(k\), ta có:
- \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\) (tính chất giao hoán)
- \(\overrightarrow{a}\left(
\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \right) =
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} +
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\) (tính chất phân phối)
- \(\left( k\overrightarrow{a}
\right).\overrightarrow{b} = k\left(
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right) =
\overrightarrow{a}.\left( k\overrightarrow{b} \right)\)
Nhận xét: Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:
- \(\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
\right)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} +
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} +
{\overrightarrow{b}}^{2}\)
- \(\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}
\right)^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} -
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} +
{\overrightarrow{b}}^{2}\)
- \(\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
\right)\left( \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \right) =
{\overrightarrow{a}}^{2} - {\overrightarrow{b}}^{2}\)
C. Bài tập áp dụng công thức tích vô hướng
Ví dụ. Cho \(\overrightarrow{a} =
3,^{}\overrightarrow{b} = 5\)góc giữa 
và bằng \(120{^\circ}\). Xét tính đúng sai của các kết luận sau?
| A. \(\left| \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{19}\) |
B. \(\left| \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right| = 8\) |
| C. \(\left| \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{139}\) |
D. \(\left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right| = 9\) |
Hướng dẫn giải
A. \(\left| \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{19}\) ĐÚNG
Ta có:
\(\left| \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} \right)^{2} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} +
\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} +
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} + 2\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos\left(
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)\)
\(= 9 + 25 + 2.3.5\left( - \frac{1}{2}
\right) = 19\) \(\Rightarrow \left|
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right| = \sqrt{19}\)
B. \(\left| \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right| = 8\) SAI
Ta có: \(\left| \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right)^{2} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2} +
\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} -
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ \left| \overrightarrow{b} \right|^{2} - 2\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos\left(
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)\)
\(= 9 + 25 - 2.3.5\left( - \frac{1}{2}
\right) = 49\)
\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{49} = 7\)
C. \(\left| \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{139}\) ĐÚNG
Ta có:
\(\left| \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} \right)^{2} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ 4\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} -
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ 4\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} - 4\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos\left(
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)\)
\(= 9 + 4.25 - 4.3.5\left( - \frac{1}{2}
\right) = 139 \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{139}\)
D. \(\left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right| = 9\) SAI
Ta có : \(\left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right)^{2}\)
\(= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ 4\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} +
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ 4\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} + 4\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos\left(
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)\)
\(= 9 + 4.25 + 4.3.5\left( - \frac{1}{2}
\right) = 79 \Rightarrow \left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}
\right| = \sqrt{79}\)
Ví dụ. Cho 2 vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) thỏa mãn \(\left| \overrightarrow{a} \right| = 4,\left|
\overrightarrow{b} \right| = 3\) và \(\left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}
\right| = 2\sqrt{7}.\) Tính \(\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)\).
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có:
\(\left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right| = 2\sqrt{7}\)
\(\Leftrightarrow \left(
\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \right)^{2} = 28\)
\(\Leftrightarrow {\overrightarrow{a}}^{2}
+ 4{\overrightarrow{b}}^{2} + 4\overrightarrow{a}\overrightarrow{b} =
28\)
\(\Leftrightarrow \left| \overrightarrow{a}
\right|^{2} + 4\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} + 4\left|
\overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 28\)
\(\cos\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = - \frac{1}{2}
\Rightarrow \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) =
120^{0}\).
Đáp án: \(\left(
\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right) = 120^{0}\) .
Ví dụ. Cho hai vectơ và tạo với nhau góc \(120^{0}\) và \(\left| \overrightarrow{a} \right| = 3,\left|
\overrightarrow{b} \right| = 5\). Tính \(\left| \overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}
\right|\)?
Hướng dẫn giải chi tiết
Cách :
\(\left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right|^{2} = \left( \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right)^{2} = \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ 4\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} +
4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(= \left| \overrightarrow{a} \right|^{2}
+ 4\left| \overrightarrow{b} \right|^{2} + 4\left| \overrightarrow{a}
\right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos\left(
\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \right)\)
\(= 9 + 4.25 + 4.3.5\left( - \frac{1}{2}
\right) = 79\)
\(\Rightarrow \left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{79}\)
Cách 2:
Vẽ hình bình hành ABCD sao cho: \(\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a};\overrightarrow{AD} =
2\overrightarrow{b}\)
Theo quy tắc hình bình hành ta có:\(\left|
\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} \right| = \left|
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \right| = \left|
\overrightarrow{AC} \right|\)
Áp dụng định lí hàm côsin trong tam giác ACD:
\(AC = \sqrt{CD^{2} + AD^{2} -2CD.AD.\cos60^{0}} = \sqrt{79}\)
Đáp án: \(\left| \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right| = \sqrt{79}\) .
Ví dụ. Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b ;\overrightarrow c\) thỏa mãn \(\left| \overrightarrow{a} \right| = 1,\left|
\overrightarrow{b} \right| = 2;\left| \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right| = 3\). Tính \(\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}
\right)\left( 2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}
\right)\)?
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có: \(\left| \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right| = 3\)
\(\Leftrightarrow \left( \left|
\overrightarrow{a} \right| \right)^{2} - 2\left| \overrightarrow{a}
\right|\left| \overrightarrow{b} \right| + \left( \left|
\overrightarrow{b} \right| \right)^{2} = 9\)
\(\Leftrightarrow 1 - 2\left|
\overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right| + 4 =
9\)
\(\Leftrightarrow \left|
\overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right| = -
2\)
Ta có: \(\left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} \right)\left( 2\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} \right) = 2\left( \overrightarrow{a} \right)^{2} -
3\overrightarrow{b}\overrightarrow{a} + 2\left( \overrightarrow{b}
\right)^{2}\)
\(= 2.1 - 3.( - 2) - 2.4 = 0\)
Đáp án: \(\left( \overrightarrow{a} -
2\overrightarrow{b} \right)\left( \overrightarrow{a} +
2\overrightarrow{b} \right) = 0\) .
D. Bài tập tự rèn luyện
Câu 1: Cho \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow{0}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
| A. \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}
= \left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b}
\right|\). |
B. \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
0\). |
| C. \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = -
1\). |
D. \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b}
\right|\). |
Câu 2: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Xác định góc \(\alpha\) giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khi \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = - \left|
\overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b}
\right|.\)
A. \(\alpha = 180^{o}\). B. \(\alpha = 0^{o}\). C. \(\alpha = 90^{o}\). D. \(\alpha = 45^{o}\).
Câu 3: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) thỏa mãn \(\left| \overrightarrow{a} \right| =
3,\) \(\left| \overrightarrow{b}
\right| = 2\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = -
3.\) Xác định góc \(\alpha\) giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)
A. \(\alpha = 30^{o}\). B. \(\alpha = 45^{o}\). C. \(\alpha = 60^{o}\). D. \(\alpha = 120^{o}\).
Câu 4: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) thỏa mãn \(\left| \overrightarrow{a} \right| = \left|
\overrightarrow{b} \right| = 1\) và hai vectơ \(\overrightarrow{u} = \frac{2}{5}\overrightarrow{a}
- 3\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b}\) vuông góc với nhau. Xác định góc \(\alpha\) giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}.\)
A. \(\alpha = 90^{o}\). B. \(\alpha = 180^{o}\). C. \(\alpha = 60^{o}\). D. \(\alpha = 45^{o}\).
Câu 5: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| \overrightarrow{a} \right| =
\left| \overrightarrow{b} \right| = 1\) và \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =
3.\) Độ dài vectơ \(3\overrightarrow{a}
+ 5\overrightarrow{b}:\)
A. \(5\sqrt{5}.\) B. \(\sqrt{24}.\) C. 8. D. 124.
Câu 6: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) thỏa mãn: \(\left| \overrightarrow{a} \right|
= 4;\left| \overrightarrow{b} \right| = 3;\left| \overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b} \right| = 4\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). Chọn khẳng định đúng?
A. \(\cos\alpha = \frac{3}{8}\). B. \(\alpha = 30^{0}\). C. \(\cos\alpha = \frac{1}{3}\). D. \(\alpha = 60^{0}\).
------------------------------------------
Để xem đầy đủ tài liệu mời tải file!
