Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Góc giữa hai đường thẳng

Bài tập Toán 12 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Bài viết Góc giữa hai đường thẳng – bài tập Toán 12 có đáp án sẽ giúp bạn hệ thống hóa kiến thức cơ bản, trình bày cách xác định góc giữa hai đường thẳng, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết. Qua đó, học sinh lớp 12 có thể củng cố nền tảng hình học không gian và nâng cao kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.

Công thức tính góc giữa 2 đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng (d) và (d’) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ và $\overrightarrow{u'} = (a';b';c')$ là $\phi$

$\cos\phi = \frac{|aa' + bb' + cc'|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}.\sqrt{a'^{2} + b'^{2} + c'^{2}}}$ $(0^{o} \leq \phi \leq 90^{o})$

Đặc biệt: $(d)\bot(d') \Leftrightarrow aa' + bb' + cc' = 0.$

Bài tập ví dụ minh họa tính góc giữa hai đường thẳng

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng $d_{1}:\ \ \left\{ \begin{matrix} x\ \ = \ \ 2\ \ + \ \ t \\ y\ \ = \ \ - 1\ \ + \ \ t \\ z\ \ = \ \ 3 \end{matrix} \right.$ và $d_{2}:\ \ \left\{ \begin{matrix} x\ \ = \ \ 1\ \ - \ \ t \\ y\ \ = \ \ 2 \\ z\ \ = \ \ - 2\ \ + \ \ t \end{matrix} \right.$ . Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là:

A. $30{^\circ}$ . B. $120{^\circ}$ . C. $150{^\circ}$ . D. $60{^\circ}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow{u_{1}};\ \ \overrightarrow{u_{2}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁; d₂.

$\overrightarrow{u_{1}}\ = \ (1;\ \ 1;\ \ 0);\ \ \overrightarrow{u_{2}}\ \ = \ \ ( - \ 1;\ \ 0;\ \ 1)$

Áp dụng công thức ta có $\cos\left( d_{1},d_{2} \right)\ \ = \ \ \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{1}},\ \ \overrightarrow{u_{2}} \right) \right|\$

$= \ \ \frac{\left| \overrightarrow{u_{1}}.\ \overrightarrow{u_{2}} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{1}} \right|.\ \left| \ \overrightarrow{u_{2}} \right|}\ \ = \ \ \frac{| - \ 1|}{\sqrt{1\ \ + \ \ 1}.\sqrt{1\ \ + \ \ 1}}\ \ = \ \ \frac{1}{2}$ .

$\Rightarrow \left( d_{1},d_{2} \right)\ \ = \ \ 60^{0}$ .

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ trục toạ độ cho mặt phẳng $(P):\ x + y - z + 2 = 0$ và hai đường thẳng $d:\ \left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2t \end{matrix} \right.$ ; $d':\ \left\{ \begin{matrix} x = 3 - t' \\ y = 1 + t' \\ z = 1 - 2t' \end{matrix} \right.\ .$

Biết rằng có 2 đường thẳng có các đặc điểm: song song với ; cắt $d,\ d'$ và tạo với góc $30^{0}$ Tính cosin góc tạo bởi hai đường thẳng đó.

A. $\frac{1}{\sqrt{5}}.$ B. $\frac{1}{\sqrt{2}}.$ C. $\sqrt{\frac{2}{3}}.$ D. $\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm $\overrightarrow{n_{P}}$ là VTPT của mặt phẳng .

Gọi $M(1 + t;\ t;\ 2 + \ 2t)$ là giao điểm của $\Delta$ và ; $M'\ (3 - t';\ 1 + t';\ 1 - 2t')$ là giao điểm của $\Delta$ và

Ta có: $\overrightarrow{MM'}\ (2 - t' - t;\ 1 + t' - t;\ - 1 - 2t' - 2t)$

$\frac{MM'}{(P)} \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} M\ \notin \ (P) \\ \overrightarrow{MM'}\ \bot\ \overrightarrow{n_{P}} \end{matrix} \right.\ \ \Leftrightarrow \ t' = \ - 2$

$\Rightarrow \ \overrightarrow{MM'}\ (4 - t; - 1 - t;\ 3 - 2t)$

Ta có

$cos30^{O}\ = \ \cos\left( \overrightarrow{MM'},\ {\overrightarrow{u}}_{d} \right)$

$\Leftrightarrow \ \frac{\sqrt{3}}{2} = \ \frac{| - 6t\ + 9|}{\sqrt{36t^{2}\ - \ 108t\ + \ 156}}\ \Leftrightarrow \ \left\lbrack \begin{matrix} t = 4 \\ t = - 1 \end{matrix} \right.$

Vậy có 2 đường thẳng thoả mãn là $\Delta_{1}:\ \left\{ \begin{matrix} x = 5 \\ y = 4 + t \\ z = 10 + t \end{matrix} \right.\ ;\ \Delta_{2}:\ \left\{ \begin{matrix} x = t' \\ y = - 1 \\ z = t' \end{matrix} \right.$ .

Khi đó, $\cos\left( \Delta_{1},\ \Delta_{2} \right)\ = \ \frac{1}{2}.$

-------------------------------------------------------------

Việc luyện tập thường xuyên các bài toán về góc giữa hai đường thẳng sẽ giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán. Hy vọng bài viết này sẽ là tài liệu hữu ích, hỗ trợ bạn học tốt hình học không gian lớp 12 và đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về:

Góc giữa hai đường thẳng

82 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Su kem

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!