Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài tập Toán 12 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Toán 12 có đáp án

Bài viết Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – Toán 12 có đáp án sẽ giúp bạn hệ thống hóa kiến thức cơ bản, trình bày cách xác định góc và công thức tính, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập có lời giải. Qua đó, học sinh lớp 12 có thể củng cố nền tảng hình học không gian và nâng cao kỹ năng giải toán một cách hiệu quả.

Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ và mặt phẳng $(\alpha)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (A;B;C).$

$\sin\phi\ \ = \ \ \left| cos(\overrightarrow{n},\ \overrightarrow{u}) \right| = \frac{|Aa + Bb + Cc|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}.\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}(0^{o} \leq \phi \leq 90^{o}).$

Đặc biệt: $(d)//(\alpha)$ hoặc $(d) \subset (\alpha) \Leftrightarrow Aa + Bb + Cc = 0.$

Bài tập ví dụ minh họa tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho đường thẳng $\Delta:\ \ \frac{x}{1}\ = \ \frac{y}{- \ 2}\ = \ \frac{z}{1}$ và mặt phẳng (P): $5x\ \ + \ \ 11y\ \ + \ \ 2z\ \ - \ \ 4\ \ = \ \ 0$ . Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P) là:

A. $60{^\circ}$ . B. $- \ 30{^\circ}$ . C. $30{^\circ}$ . D. $- \ \ 60{^\circ}$ .

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow{u};\ \ \overrightarrow{n}$ lần lượt là vectơ chỉ phương, pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng (P). $\overrightarrow{u} = (1;\ \ - 2;\ \ 1);\ \ \overrightarrow{n}\ \ = \ \ (5;\ \ 11;\ \ 2)$

Áp dụng công thức ta có:

$\sin\left( \Delta,(P) \right) = \left|\cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{n} \right) \right| =\frac{\left| \overrightarrow{u}.\overrightarrow{n} \right|}{\left|\overrightarrow{u} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}$ $=\frac{|1.5 - 11.2 + 1.2|}{\sqrt{5^{2} + 11^{2} + 2^{2}}.\sqrt{1^{2} +2^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{2}.$

$\Rightarrow \ \ \left( \Delta,(P) \right)\ \ = \ \ 30{^\circ}.$

Ví dụ 2. Cho mặt phẳng $(P):\ \ 3x\ + \ 4y\ + \ 5z\ + \ 2\ \ = \ 0$ và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):\ \ x\ - \ 2y\ \ + 1\ = \ 0;\ \ (\beta):\ \ x\ - \ 2z\ \ - \ 3\ = \ 0$ . Gọi $\varphi$ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó:

A. $60{^\circ}$ . B. $45{^\circ}$ . C. $30{^\circ}$ . D. $90{^\circ}$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = 2t \\ y = \frac{1}{2} + t \\ z = - \frac{3}{2} + t \end{matrix} \right.\ ,t\mathbb{\in R}$ . Suy ra VTCP của d là $\overrightarrow{u_{d}}(2;\ \ 1;\ \ 1)$

Ta có:

$\sin\left( d,(P) \right) = \ \ \left| \cos\left( \overrightarrow{u_{d}},\ \ \overrightarrow{n} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n} \right|}{\left| \overrightarrow{u_{d}} \right|.\left| \overrightarrow{n} \right|}\$

$= \ \ \frac{|2.3\ \ + \ \ 1.4\ \ + \ \ 1.5|}{\sqrt{2^{2}\ \ + \ \ 1^{2}\ \ + \ \ 1^{2}}.\sqrt{3^{2}\ \ + \ \ 4^{2}\ \ + \ \ 5^{2}}}\ \ = \ \ \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\Rightarrow \ \ (d,(P))\ \ = \ \ 60{^\circ}$ .

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng nào dưới đây đi qua A(2; 1; – 1) tạo với trục Oz một góc $30{^\circ}$ ?

A. $\sqrt{2}(x\ \ - 2)\ \ + \ \ (y\ \ - \ \ 1)\ \ - \ \ (z\ \ - \ \ 2)\ \ - 3\ \ = \ \ 0.$

B. $(x\ \ - 2)\ \ + \ \ \sqrt{2}(y\ \ - \ \ 1)\ \ - \ \ (z\ \ + \ \ 1)\ \ - 2\ \ = \ \ 0.$

C. $2(x\ \ - 2)\ \ + \ \ (y\ \ - \ \ 1)\ \ - \ \ (z\ \ - \ \ 2)\ \ = \ \ 0.$

D. $2(x\ \ - 2)\ \ + \ \ (y\ \ - \ \ 1)\ \ - \ \ (z\ \ - \ \ 1)\ \ - \ \ 2\ \ = \ \ 0.$

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ cần lập có dạng

$A(x\ \ \ \ 2)\ + \ B(y\ - \ 1)\ + \ C(z\ + \ 1)\ \ \ = \ \ 0;\ \ \overrightarrow{n}\ (A;\ \ B;\ \ C)$

Oz có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{k}(0;\ \ 0;\ \ 1)$ .

Áp dụng công thức $sin((\alpha),\ \ Oz)\ \ = \ \ \frac{\left| \overrightarrow{n}.\overrightarrow{k} \right|}{\overrightarrow{|n|}.\overrightarrow{|k|}}\ \ = \ \ sin30{^\circ}$

Sau khi tìm được các vectơ pháp tuyến thỏa mãn, thay giá trị của A vào để viết phương trình mặt phẳng.

Ví dụ 4. Cho mặt phẳng $(P):\ 3x\ \ + \ \ 4y\ \ + \ \ 5z\ \ + \ \ 8\ \ = \ \ 0$ . Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha):\ \ x\ \ - \ \ 2y\ \ + \ \ 1\ \ = \ \ 0;\ \ (\beta):\ \ x\ \ - \ \ 2z\ \ - \ \ 3\ \ = \ \ 0$ . Góc giữa d và (P) là:

A. $120{^\circ}.$ B. $60{^\circ}.$ C. $150{^\circ}.$ D. $30{^\circ}.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{n_{P}}(3;\ \ 4;\ \ 5)$

$\overrightarrow{n_{d}} = \ \ \left\lbrack \overrightarrow{n_{\alpha}},\ \ \overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack\ \ = \ \ (2;\ \ 1;\ \ 1)$

Áp dụng công thức $sin((P),\ \ d)\ = \ \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{u_{d}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} \right|.\left| \overrightarrow{u_{d}} \right|}\ = \ \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z}{- 2}$ và tạo với trục góc có số đo lớn nhất. Điểm nào sau đây thuộc ?

A. B. C. D. $F(1;\ 2;1).$

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow{n}(a;b;c);\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$ là VTPT của ; $\alpha$ là góc tạo bởi và , $\alpha$ lớn nhất khi $sin\alpha$ lớn nhất. Ta có $\overrightarrow{n}$ vuông góc với ${\overrightarrow{u}}_{d}$ nên $\overrightarrow{n}\ (b + 2c;\ b;\ c)$

$\sin\alpha = \left| \cos\left( \overrightarrow{n},\ \overrightarrow{j} \right) \right| = \frac{|b|}{\sqrt{2b^{2} + 5c^{2} + 4bc}}$

Nếu $b\ = \ 0$ thì $\sin\alpha\ = \ 0.$

Nếu $b\ \neq \ 0$ thì $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{\left( \frac{\sqrt{5}c}{b} + \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^{2} + \frac{6}{5}}}$ .

Khi đó, $\sin\alpha$ lớn nhất khi $\frac{c}{b} = - \frac{2}{5}$ $\Rightarrow$ chọn $b\ = \ 5;\ c\ = \ - 2$

Vậy phương trình mặt phẳng là $x + \ 5y\ - 2z\ + \ 9\ = \ 0$ . Do đó ta có $N\ \in \ (P)$ .

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

---------------------------------------------------

Chuyên đề góc giữa đường thẳng và mặt phẳng giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa các yếu tố hình học trong không gian, đồng thời nâng cao khả năng tư duy và phân tích bài toán trong chương trình Toán 12. Khi nắm vững khái niệm và phương pháp giải, học sinh sẽ dễ dàng nhận diện dạng toán và lựa chọn cách tiếp cận phù hợp.

Tải về

Chọn file muốn tải về: