Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Góc giữa hai mặt phẳng

Toán 12 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài viết Góc giữa hai mặt phẳng – Toán 12 có đáp án sẽ giúp bạn nắm vững khái niệm, cách xác định và công thức tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập minh họa kèm lời giải chi tiết. Qua đó, học sinh lớp 12 có thể củng cố kiến thức nền tảng và nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian một cách hiệu quả.

Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (P):, (Q): được ký hiệu: $0^{o} \leq ((P),(Q)) \leq 90^{o}$ , xác định bởi hệ thức

$cos((P),(Q)) = \frac{|AA' + BB' + CC'|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}.\sqrt{A'^{2} + B'^{2} + C'^{2}}}$

Đặc biệt: $(P)\bot(Q) \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0.$

Bài tập minh họa tính góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Hai mặt phẳng nào dưới đây tạo với nhau một góc $60^{0}$

A. $(P):\ \ 2x\ \ + \ \ 11y\ \ - \ \ 5z\ \ + \ \ 3 = \ \ 0$ và $(Q):\ \ x\ \ + \ \ 2y\ \ - \ \ z\ \ - \ \ 2 = \ \ 0$ .

B. $(P):\ \ 2x\ \ + \ \ 11y\ \ - \ \ 5z\ \ + \ \ 3 = \ \ 0$ và $(Q):\ \ - x\ \ + \ \ 2y\ \ + \ \ z\ \ - \ \ 5 = \ \ 0$ .

C. $(P):\ \ 2x\ \ - \ \ 11y\ \ + \ \ 5z\ \ - \ \ 21 = \ \ 0$ và $(Q):\ \ 2x\ \ + \ \ y\ \ + \ \ z\ \ - \ \ 2 = \ \ 0$ .

D. $(P):\ \ 2x\ \ - \ \ 5y\ \ + \ \ 11z\ \ - \ \ 6 = \ \ 0$ và $(Q):\ \ - x\ \ + \ \ 2y\ \ + \ \ z\ \ - \ \ 5 = \ \ 0$ .

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng.

$\cos\left( (P),(Q) \right) = \frac{\left| \overrightarrow{n_{P}}.\overrightarrow{n_{Q}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{P}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{Q}} \right|} = cos60^{0} = \frac{1}{2}$

Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Thay các giá trị vào biểu thức để tìm giá trị đúng.

Dùng chức năng CALC trong máy tính bỏ túi để hỗ trợ việc tính toán nhanh nhất.

Ví dụ 2. Cho hai điểm $A(1;\ \ - \ \ 1;\ \ 1);\ \ B(2;\ \ - \ \ 2;\ \ 4)$ . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa A, B và tạo với mặt phẳng $(\alpha):\ \ x\ \ - \ \ 2y\ \ + \ \ z\ \ - \ \ 7\ \ = \ \ 0$ một góc $60^{0}$ .

A. 1. B. 4. C. 2. D. Vô số.

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow{AB}(1; - 1;3), \overrightarrow{n_{\alpha}}(1; - 2; 1)$

Gọi $\overrightarrow{n_{\beta}}(a;\ \ b;\ \ c)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\beta)$ cần lập.

$cos\left( {(\alpha ),\,(\beta )} \right)\,\, = \,\,\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\,\,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right)} \right|\,\, = \,\,\frac{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} .\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_\beta }} } \right|}}$ $= \frac{{\left| {1.a - 2.b\,\, + \,\,1.c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + \,\,{{( - 2)}^2}\,\, + \,\,{1^2}} .\sqrt {{a^2}\,\, + \,\,{b^2}\,\, + \,\,{c^2}} }}\,\, = \,\,\frac{1}{2}.$

$\Rightarrow \ \ 2(a\ \ - \ \ 2b\ \ + \ \ c)^{2}\ \ = \ \ 3(a^{2}\ \ + \ \ b^{2}\ \ + \ \ c^{2})$ (1)

Mặt khác vì mặt phẳng $(\beta)$ chứa A, B nên:

$\overrightarrow{n_{\beta}}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow \ \ a\ \ - \ \ b\ \ + \ \ 3c\ \ = 0$

$\Leftrightarrow \ \ a\ \ = \ \ b\ \ - \ \ 3c$

Thế vào (1) ta được: $2b^{2}\ \ - \ 13bc\ \ + \ \ 11c^{2}\ \ = \ \ 0$ (2)

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra có 2 vectơ $\overrightarrow{n_{\beta}}(a;\ \ b;\ \ c)$ thỏa mãn.

Suy ra có 2 mặt phẳng.

Ví dụ 3. Cho ba mặt phẳng $(P):\ \ 2x\ \ - \ \ y\ \ + \ \ 2z\ \ + \ \ 3\ \ = \ \ 0;$ $(Q):\ \ x\ \ - \ \ y\ \ - \ \ z\ \ \ - \ \ 2\ \ = \ \ 1;$ $(R):\ \ x\ \ + \ \ 2y\ \ + \ \ 2z\ \ \ \ - \ \ 2\ \ = \ \ 0$ . Gọi $\alpha_{1};\ \ \alpha_{2};\ \ \alpha_{3}$ lần lượt là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), (Q) và (R), (R) và (P). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng.

A. $\alpha_{1} > \ \ \alpha_{3} > \ \alpha_{2}.$ B. $\alpha_{2} > \ \ \alpha_{3} > \ \alpha_{1}.$

C. $\alpha_{3} > \ \ \alpha_{2} > \alpha_{1}.$ D. $\alpha_{1} > \ \ \alpha_{2} > \ \alpha_{3}.$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính góc rồi so sánh các giá trị đó với nhau.

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và , mặt phẳng qua điểm và tạo với mặt phẳng $(Q):\ \ x - y - 4 = 0$ một góc bằng $45^{O}$ . Phương trình mặt phẳng là

A. $\left\lbrack \begin{matrix}y = 0 \\2x - y - 2z - 2 = 0\end{matrix} \right.$ . B. $\left\lbrack \begin{matrix} y = 0 \\ 2x - y - 2z\ \ + \ \ 2 = 0 \end{matrix} \right.$ .

C. $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - y - 2z + 2 = 0 \\ 2x - y - 2z - 2 = 0 \end{matrix} \right.$ . D. $\left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2z + 2 = 0 \\ 2x - 2z - 2 = 0 \end{matrix} \right.\ .$

Hướng dẫn giải

Gọi vectơ pháp tuyến của mpvà lần lượt là $\overrightarrow{n_{P}}(a;b;c)\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \neq 0 \right)$ , $\overrightarrow{n_{Q}}(P)quaM(1;0;0) \Rightarrow (P):\ \ a(x - 1) + by + cz = 0$

qua $N(0;0; - 1) \Rightarrow a + c = 0$

hợp với góc $45^{O} \Rightarrow \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{Q}} \right) \right| = cos45^{O}$

$\Leftrightarrow \frac{|a - b|}{\sqrt{2a^{2} + b^{2}}\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 0 \\ a = - 2b \end{matrix} \right.$

Với $a = 0 \Rightarrow c = 0$ chọn phương trình

Với chọn $b = - 1 \Rightarrow a = 2$ phương trình mặt phẳng .

📖 Toàn bộ nội dung, bài tập và lời giải đã được tổng hợp trong tài liệu tải về.

-------------------------------------------------------

Chuyên đề góc giữa hai mặt phẳng không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các mặt phẳng trong không gian mà còn rèn luyện tư duy hình học và khả năng lập luận logic trong Toán 12. Khi nắm chắc khái niệm và phương pháp giải, học sinh sẽ dễ dàng tiếp cận các bài toán từ cơ bản đến nâng cao.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: