Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Khoảng cách điểm đến mặt phẳng Oxyz

Trong chương trình Toán 12, dạng toán khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz là nội dung quan trọng, thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Việc nắm vững công thức và phương pháp giải giúp học sinh xử lý bài toán nhanh và chính xác hơn.

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ $M(x_{0};y_{0}^{\ }\ ;z_{0})$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là:

$d(M,(P)) = \frac{\left| Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Bài tập minh họa tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm $A(1;\ \ \ 2;\ \ 2)$ đến mặt phẳng $(\alpha):x + 2y - 2z - 4 = 0$ bằng:

A. B. C. $\frac{13}{3}.$ D. $\frac{1}{3}.$

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng đã cho là:

$d(A,(\alpha)) = \frac{\left| 1.x_{A} + 2.y_{A} - 2.z_{A} - 4 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}}} = 1.$

Ví dụ. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ : và $(\beta):2x - y - 2z + 2 = 0$ .

A. 2. B. 6. C. $\frac{10}{3}.$ D. $\frac{4}{3}.$

Hướng dẫn giải

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Ta lấy điểm H(2; 0; 0) thuộc $(\alpha)$ .

Khi đó

$d\left( (\alpha),(\beta) \right) = d\left( H,(\beta) \right) = \frac{|2.2 - 1.0 - 2.0 + 2|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}} = 2$ .

Ví dụ. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng $(\alpha)$ : và đường thẳng d: $\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2 + 4t \\ z = - t \end{matrix} \right.$ .

A. $\frac{1}{3}.$ B. $\frac{4}{3}.$ C. 0. D. 2.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d song song với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng đến mặt phẳng.

Ta lấy điểm $H(1;\ 2;\ 0)$ thuộc đường thẳng d. Khi đó:

$d(d,(\alpha)) = d(H,(\alpha)) = \frac{|2.1 - 1.2 - 2.0 - 4|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + ( - 2)^{2}}} = \frac{4}{3}.$

Ví dụ. Khoảng cách từ điểm $A(2;\ \ 4;\ \ 3)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ : và $(\beta)$ : lần lượt là $d(A,(\alpha))$ , $d(A,(\beta))$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. $d\left( A,(\alpha) \right) = 3$ . $d\left( A,(\beta) \right).$ B. $d\left( A,(\alpha) \right) > d\left( A,(\beta) \right).$

C. $d\left( A,(\alpha) \right)$ = $d\left( A,(\beta) \right).$ D. 2. $d\left( A,(\alpha) \right)$ = $d\left( A,(\beta) \right).$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$d\left( A,(\alpha) \right) = \frac{\left| 2.x_{A} + y_{A} + 2.z_{A} + 1 \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = 1$ ; $d\left( A,(\beta) \right) = \frac{\left| x_{A} \right|}{\sqrt{1^{2}}} = 2.$

Kết luận: $d\left( A,(\beta) \right) = 2.d\left( A,(\alpha) \right)$ .

Ví dụ. Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P): nhỏ nhất?

A. B. C. D. $M\left( 0;\frac{4}{3};0 \right)$ .

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ M đến (P) nhỏ nhất khi M thuộc (P). Nên M là giao điểm của trục Oy với mặt phẳng (P). Thay x = 0, z = 0 vào phương trình (P) ta được y = 4. Vậy M(0;4;0).

Cách giải khác

Tính khoảng cách từ điểm M trong các đáp án đến mặt phẳng (P) sau đó so sánh chọn đáp án.

Ví dụ. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Oxy), (Oyz) lần lượt bằng:

A. 6 và 4. B. 6 và 5. C. 5 và 4. D. 4 và 6.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$d\left( M,(Oxy) \right) = \left| z_{M} \right| = 6$ ; $d(M,(Oyz)) = \left| x_{M} \right| = 4.$

Ví dụ. Tính khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 4 + 3t \\ z = - 2 - 5t \end{matrix} \right.$ , $t \in R$ bằng:

A $\frac{1}{\sqrt{35}}.$ B. $\frac{4}{\sqrt{35}}.$ C. $\frac{5}{\sqrt{35}}.$ D. 0.

Hướng dẫn giải

+ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua E và vuông góc với (P). Viết phương trình (P)

+ Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và (P). Tìm tọa độ H

+ Tính độ dài EH.

Khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng d bằng EH.

Cách giải khác:

Vì E thuộc đường thẳng d nên khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng d bằng 0.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

-------------------------------------------------------------

Chuyên đề khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian Oxyz giúp học sinh hiểu rõ công thức và cách áp dụng trong Toán 12. Luyện tập thường xuyên dạng toán này sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: