Gọi
Vẽ đồ thị hàm số
Do đó với mọi thì phương trình đã cho luôn có ba nghiệm dương phân biệt
;
;
thỏa mãn:
;
;
là ba nghiệm của phương trình
Mà
;
.
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Bài tập toán 12 Tương giao đồ thị hàm ẩn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!
Gọi
Vẽ đồ thị hàm số
Do đó với mọi thì phương trình đã cho luôn có ba nghiệm dương phân biệt
;
;
thỏa mãn:
;
;
là ba nghiệm của phương trình
Mà
;
.
Cho hàm số
Đặt .
Vì nên
Phương trình trở thành: .
Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình có các nghiệm thuộc
là
.
Với
Vì
phương trình có
nghiệm thuộc khoảng
.
Với
Vì
phương trình có
nghiệm thuộc khoảng
.
Vậy phương trình đã cho có tất cả nghiệm.
Cho hàm số
Minh họa đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Ta có:
.
Gọi
Theo đồ thị ta thấy .
Vậy hàm số liên tục và nghịch biến trên
Do đó
.
Cho hàm số
Dựa vào bảng biến thiên ta có và
Hàm số liên tục và đồng biến trên
Suy ra và
Ta có
Xét hàm số liên tục trên
Vì nhỏ nhất và
lớn nhất đồng thời xảy ra tại
nên
Vì lớn nhất và
nhỏ nhất đồng thời xảy ra tại
nên
Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
.
Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.
Cho hàm
Xét hàm số
Ta có
Xét hàm số , ta có
.
Dựa vào đồ thị hàm số và đường thẳng
.
Ta thấy:
và ,
,
.
Do đó ta có bảng biến thiên hàm số như sau
Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số như sau
Do đó để phương trình có đúng hai nghiệm thực thì
.
Mà là số nguyên thuộc
nên
.
Vậy có số nguyên
thỏa mãn.
Cho hàm số
Ta có .
Xét hàm số trên
.
Có .
Trên có
và
nên
Hàm số
đồng biến trên
.
Vậy nên nghiệm đúng với mọi
.
Cho hàm số
Số giá trị nguyên dương của tham số
Đặt với
.
Ta có: .
Với :
Ta có: nên
suy ra
.
Ta có:
Suy ra nên hàm số nghịch biến trên
.
Suy ra ;
.
Để phương trình có nghiệm thì
mà
nguyên dương nên
tức là có 15 giá trị.
Cho hàm số
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
Dựa vào đồ thị, ta thấy
+ Phương trình tương đương
+ Các hàm số và
đồng biến trên các khoảng
và
, và nhận xét rằng
không phải là nghiệm của phương trình
nên:
.
+ Trên khoảng , ta có
nên các phương trình và
có nghiệm duy nhất.
+ Trên khoảng , ta có
nên các phương trình và
có nghiệm duy nhất.
Do đó, phương trình có
nghiệm phân biệt.
Cho hàm số
Ta có
Đặt . Tính
Có
Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
và parabol
Dựa vào đồ thị hàm số ta có:
BBT
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi thì
.
Cho hàm số
Ta có
(1)
* Với
Dựa vào đồ thị ta có
Vì
* Với
Đặt
Với thì phương trình
có hai nghiệm phân biệt thuộc
.
Với thì phương trình
có một nghiệm thuộc
Phương trình trở thành
Để phương trình (1) có tất cả 6 nghiệm phân biệt thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt, hay phương trình
có hai nghiệm
Dựa vào đồ thị ta có để phương trình có hai nghiệm
thì
Vì nguyên nên
Vậy có 2 giá trị nguyên của thỏa mãn.
Cho hàm số
Ta có
Hàm số
đồng biến trên
.
Mặt khác , khi đó
.
Từ
.
Ta có đồ thị sau:
Theo yêu cầu bài toán tương đương . Vậy
.
Cho hàm số
Đặt
Vậy phương trình trở thành .
Dựa và đồ thị hàm số suy ra
Cho hàm số
Điều kiện:
Bất phương trình đã cho tương đương với (*).
Xét hàm số trên
.
Ta có . Với
thì
nên
.
Do đó hàm số đồng biến trên
.
Suy ra (*) nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi
.
Cho hàm số
Số nghiệm của phương trình
Ta có :
.
Từ bảng biến thiên suy ra:
+) Phương trình: có 3 nghiệm.
+) Phương trình: có 1 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Trong số các cặp số thực
Đặt và
Giả sử không phải là nghiệm của phương trình
thì hàm số
sẽ đổi dấu khi qua điểm
, nghĩa là
không nghiệm đúng với mọi
.
Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là có nghiệm
suy ra hoặc
hoặc là phương trình
có hai nghiệm
và
Trường hợp 1:
Trường hợp 2: phương trình có hai nghiệm
và
Ta thay vào phương trình
có
.
Với có phương trình
Vì cũng là nghiệm của phương trình nên
.
Trong trường hợp 1: suy ra tích
nhỏ nhất khi
Và với , tích
thì bất phương trình đã cho tương đương với
thỏa mãn với mọi
(nhận)
Trong trường hợp 2: Tích
Vậy tích nhỏ nhất khi
.
Cho hàm số bậc ba
Số nghiệm thực của phương trình
Phương trình
* Phương trình
.
* Phương trình .
Đồ thị hàm số như hình vẽ sau:
Dựa vào đồ thị trên ta có:
- Phương trình không có nghiệm thực.
- Phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt.
- Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
- Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.
Vậy phương trình có 8 nghiệm thực phân biệt.
Nhận xét: Khi bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối ta đi phá dấu giá trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương .
Cho hàm số
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
Ta có: nên suy ra
.
Đặt
.
Phương trình trên có nghiệm khi
.
Nhìn vào hình trên ta thấy hàm số luôn đồng biến trên
nên phương trình
hay phương trình
có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
có nghiệm
thỏa mãn điều kiện
Mà nên có tất cả 5 giá trị
thỏa mãn.
Cho hàm số bậc ba
Ta có:
với
Ta đặt: thì suy ra
Suy ra:
.
Từ đó ta có BBT của hàm số như hình vẽ bên:
Đặt thì ta cũng có BBT của
như sau:
Nhìn vào đồ thị trên ta có được:
Như vậy ta suy ra .
Mà hàm số đó có cực trị bằng tại
Suy ra
Như vậy:
Từ đó, ta phác họa được đồ thị với
như sau:
Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình có tất cả 10 nghiệm phân biệt
Cho hàm số
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
Ta đặt: .
(dựa vào bảng biến thiên)
.
Mặt khác:
;
;
;
.
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán tương đương
. Vậy có tất cả 30 giá trị của tham số
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hàm số
Đặt , với
.
Ta được phương trình: (1)
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng
.
Gọi song song với đường thẳng
và đi qua điểm
.
Gọi song song với đường thẳng
và đi qua điểm
.
Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng
thì phương trình (1) phải có nghiệm
, suy ra đường thẳng
nằm trong miền nằm giữa hai đường thẳng
và
( có thể trùng lên
và bỏ
)
.
Do đó tổng các phần tử là: .
Cho hàm số
Xét hàm số , ta có
.
Do đó hàm số đồng biến trên
.
Ta có
Xét trên đoạn
.
Ta có
Ta có .
Hàm số đồng biến trên
nên
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Do nguyên nên tập các giá trị
thỏa mãn là
.
Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của thỏa mãn.
Cho hàm số
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
Ta có
Đặt (với
thì
Khi đó bất phương trình được viết lại thành:
.
Hay .
Xét hàm số trên đoạn
.
Ta có .
Do đó .
Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số và parabol
trên đoạn
thì
.
Suy ra bảng biến thiên của hàm số trên đoạn
như sau:
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi khi và chỉ khi bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
. Điều đó tương đương với
dựa vào tính liên tục của hàm số
.
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: