VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 2 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 2 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12: Bài toán tương giao với hàm hợp, hàm ẩn

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Bài tập toán 12 Tương giao đồ thị hàm ẩn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 22 câu
Điểm số bài kiểm tra: 22 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu!!

00:00:00

Câu 1: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Gọi $m_{0}$ $m_{0}$ là số thực sao cho phương trình $\left| x^{3} - 12x \right| = m_{0}$ $| x^{3} - 12 x | = m_{0}$ có ba nghiệm dương phân biệt $x_{1}$ $x_{1}$ ; $x_{2}$ $x_{2}$ ; $x_{3}$ $x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 + 4\sqrt{3}$ $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 + 4 \sqrt{3}$ . Biết rằng $m_{0}$ $m_{0}$ có dạng $a\sqrt{3} + b$ $a \sqrt{3} + b$ với $a$ ; $b$ là các số hữu tỷ. Tính $4a^{2} + 8b$ $4 a^{2} + 8 b$ :
- A.
  $113$ .
- B.
  $106$ .
- C.
  $101$ .
- D.
  $115$ .
Hướng dẫn:
Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| x^{3} - 12x ight|$

Do đó với mọi $m \in (0\ ;\ 16)$ thì phương trình đã cho luôn có ba nghiệm dương phân biệt $x_{1}$ ; $x_{2}$ ; $x_{3}$ $\left( x_{1} < x_{2} < x_{3} ight)$ thỏa mãn: $\left\{ \begin{matrix} - x_{1}^{3} + 12x_{1} = m_{0} \\ - x_{2}^{3} + 12x_{2} = m_{0} \\ x_{3}^{3} - 12x_{3} = m_{0} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( - x_{1} ight)^{3} - 12\left( - x_{1} ight) - m_{0} = 0 \\ \left( - x_{2} ight)^{3} - 12\left( - x_{2} ight) - m_{0} = 0 \\ x_{3}^{3} - 12x_{3} - m_{0} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow - x_{1}$ ; $- x_{2}$ ; $x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình $x^{3} - 12x - m_{0} = 0$

$\Rightarrow - x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = x_{1} + x_{2}$

Mà $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 + 4\sqrt{3} \Rightarrow x_{3} = \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow m_{0} = \left( \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2} ight)^{3} - 12\left( \frac{1 + 4\sqrt{3}}{2} ight) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{97}{8}$

$\Rightarrow a = \frac{3}{2}$ ; $b = \frac{97}{8} \Rightarrow 4a^{2} + 8b = 106$ .
Câu 2: Vận dụng cao
Chọn phương án thích hợp
Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ và có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm trên khoảng $( - \pi;4\pi)$ $(- π; 4 π)$ của phương trình $f\left( 2|cos2x| \right) = 1$ $f (2 | c o s 2 x |) = 1$ là
- A.
  $31$ .
- B.
  $29$ .
- C.
  $40.$
- D.
  $48$ .
Hướng dẫn:
Đặt $t = 2|cos2x|$ .

Vì $x \in ( - \pi;4\pi)$ nên $t \in \lbrack 0;2brack$

Phương trình trở thành: $f(t) = 1$ .

Từ đồ thị hàm số ta suy ra phương trình $f(t) = 1$ có các nghiệm thuộc $\lbrack 0;2brack$ là $\left\lbrack \begin{matrix} t = 1 \\ t = 2 \\ \end{matrix} ight.$ .

Với $t = 1 \Leftrightarrow |cos2x| = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = \frac{1}{2} \\ cos2x = \frac{- 1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\pm \pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{\pm \pi}{3} + k\pi \\ \end{matrix} ight.$

Vì $x \in ( - \pi;2\pi) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \pi < \frac{\pi}{6} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{- \pi}{6} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{\pi}{3} + k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{- \pi}{3} + k\pi < 4\pi \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{- 7}{6} < k < \frac{23}{6} \\ \frac{- 5}{6} < k < \frac{25}{6} \\ \frac{- 4}{3} < k < \frac{11}{3} \\ \frac{- 2}{3} < k < \frac{13}{3} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ phương trình có $20$ nghiệm thuộc khoảng $( - \pi;4\pi)$ .

Với $t = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} cos2x = 1 \\ cos2x = - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = k\pi \\ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \end{matrix} ight.$

Vì $x \in ( - \pi;2\pi) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - \pi < k\pi < 4\pi \\ - \pi < \frac{\pi}{2} + k\pi < 4\pi \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < k < 4 \\ \frac{- 3}{2} < k < \frac{7}{2} \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow$ phương trình có $9$ nghiệm thuộc khoảng $( - \pi;4\pi)$ .

Vậy phương trình đã cho có tất cả $29$ nghiệm.
Câu 3: Thông hiểu
Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình nghiệm đúng
Cho hàm số $y = f (x)$ , hàm số $y = f^{'} (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình $f(x) > x^{2} - 2x + m$ $f (x) > x^{2} - 2 x + m$ (m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi $x \in (1;2)$ $x \in (1; 2)$ khi và chỉ khi
- A.
  $m \leq f(2)$ $m \leq f (2)$ .
- B.
  $m \leq f(1) + 1$ $m \leq f (1) + 1$ .
- C.
  $m \leq f(1) - 1$ $m \leq f (1) - 1$ .
- D.
  $m \leq f(2) - 2$ $m \leq f (2) - 2$ .
Hướng dẫn:
Minh họa đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Ta có: $f(x) > x^{2} - 2x + m\left( \forall x \in (1;2) ight)$

$\Leftrightarrow f(x) - x^{2} + 2x > m\left( \forall x \in (1;2) ight)(*)$ .

Gọi $g(x) = f(x) - \left( x^{2} - 2x ight)$

$\Rightarrow$ $g'(x) = f'(x) - (2x - 2)$

Theo đồ thị ta thấy $f'(x) < (2x - 2)\left( \forall x \in \lbrack 1;2brack ight) \Rightarrow g'(x) < 0\left( \forall x \in \lbrack 1;2brack ight)$ .

Vậy hàm số $y = g(x)$ liên tục và nghịch biến trên $\lbrack 1;2brack$

Do đó $(*) \Leftrightarrow$ $m \leq \min_{\lbrack 1;2brack}g(x) = g(2) = f(2)$ .
Câu 4: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $\lbrack 2;4brack$ $[2; 4 b r a c k$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $x + 2\sqrt{x^{2} - 2x} = m.f(x)$ $x + 2 \sqrt{x^{2} - 2 x} = m . f (x)$ có nghiệm thuộc đoạn $\lbrack 2;4brack$ $[2; 4 b r a c k$ ?
- A.
  $6$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}f(x) = f(4) = 2$ và $\underset{\lbrack 2;4brack}{Max}f(x) = f(2) = 4$

Hàm số $g(x) = x + 2\sqrt{x^{2} - 2x}$ liên tục và đồng biến trên $\lbrack 2;4brack$

Suy ra $\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}g(x) = g(2) = 2$ và $\underset{\lbrack 2;4brack}{Max}g(x) = g(4) = 4 + 4\sqrt{2}$

Ta có $x + 2\sqrt{x^{2} - 2x} = m.f(x) \Leftrightarrow \frac{x + 2\sqrt{x^{2} - 2x}}{f(x)} = m \Leftrightarrow \frac{g(x)}{f(x)} = m$

Xét hàm số $h(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ liên tục trên $\lbrack 2;4brack$

Vì $g(x)$ nhỏ nhất và $f(x)$ lớn nhất đồng thời xảy ra tại $x = 2$ nên $\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}h(x) = \frac{\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}g(x)}{\underset{\lbrack 2;4brack}{Max}f(x)} = \frac{g(2)}{f(2)} = h(2) = \frac{1}{2}$

Vì $g(x)$ lớn nhất và $f(x)$ nhỏ nhất đồng thời xảy ra tại $x = 4$ nên $\underset{\lbrack 2;4brack}{Max}h(x) = \frac{\underset{\lbrack 2;4brack}{Max}g(x)}{\underset{\lbrack 2;4brack}{Min}f(x)} = \frac{g(4)}{f(4)} = h(4) = 2 + 2\sqrt{2}$

Từ đó suy ra phương trình $h(x) = m$ có nghiệm khi và chỉ khi $\frac{1}{2} \leq m \leq 2 + 2\sqrt{2}$ .

Vậy có 4 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.
Câu 5: Vận dụng cao
Tìm các giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn. Biết rằng $f (0) = 0$ , $f( - 3) = f\left( \frac{3}{2} \right) = - \frac{19}{4}$ $f (- 3) = f (\frac{3}{2}) = - \frac{19}{4}$ và đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ có dạng như hình vẽ.

Xét hàm số $g(x) = \left| 4f(x) + 2x^{2} \right| - 2m^{2} + 1$ $g (x) = | 4 f (x) + 2 x^{2} | - 2 m^{2} + 1$ với $m$ là tham số thực. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên $m \in ( - 50;50)$ $m \in (- 50; 50)$ để phương trình $g (x) = 1$ có đúng hai nghiệm thực?
- A.
  $94$ .
- B.
  $48$ .
- C.
  $47$ .
- D.
  $96$ .
Hướng dẫn:
Ta có $\left| 4f(x) + 2x^{2} ight| - 2m^{2} + 1 = 1$

$\Leftrightarrow \left| 4f(x) + 2x^{2} ight| = 2m^{2}(1)$

Xét hàm số $h(x) = 4f(x) + 2x^{2}$ , ta có $h'(x) = 4\left\lbrack f'(x) - ( - x) ightbrack$ .

Dựa vào đồ thị hàm số $f'(x)$ và đường thẳng $y = - x$ .

Ta thấy: $h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = 0 \\ x = \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.$

và $h( - 3) = 4f( - 3) + 2( - 3)^{2} = - 1$ , $h(0) = 0$ , $h\left( \frac{3}{2} ight) = 4f\left( \frac{3}{2} ight) + 2\left( \frac{3}{2} ight)^{2} = - \frac{29}{2}$ .

Do đó ta có bảng biến thiên hàm số $h(x)$ như sau

Từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số $\left| h(x) ight|$ như sau

Do đó để phương trình $(1)$ có đúng hai nghiệm thực thì $2m^{2} > \frac{29}{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > \frac{\sqrt{29}}{2} \\ m < - \frac{\sqrt{29}}{2} \\ \end{matrix} ight.$ .

Mà $m$ là số nguyên thuộc $( - 50;50)$ nên $\left\lbrack \begin{matrix} 3 \leq m \leq 49 \\ - 49 \leq m \leq - 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy có $94$ số nguyên $m$ thỏa mãn.
Câu 6: Thông hiểu
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi m
Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình bên. Biết $f( - 1) = 1;f\left( - \frac{1}{e} \right) = 2$ $f (- 1) = 1; f (- \frac{1}{e}) = 2$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình $f(x) < \ln( - x) + m$ $f (x) < \ln (- x) + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1;\frac{- 1}{e} \right)$ $x \in (- 1; \frac{- 1}{e})$ .
- A.
  $m \geq 3$ $m \geq 3$ .
- B.
  $m > 3$ .
- C.
  $m > 2$ .
- D.
  $m \geq 2$ $m \geq 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $f(x) < \ln( - x) + m \Leftrightarrow m > f(x) - \ln( - x)$ .

Xét hàm số $g(x) = f(x) - \ln( - x)$ trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Có $g'(x) = f'(x) - \frac{1}{x}$ .

Trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ có $f'(x) > 0$ và $\frac{1}{x} < 0$ nên $g'(x) > 0,\forall x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$

$\Rightarrow$ Hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Vậy nên $f(x) < \ln( - x) + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$

$\Leftrightarrow m \geq g(x),\forall x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$

$\Leftrightarrow m \geq g\left( - \frac{1}{e} ight)$

$\Leftrightarrow m \geq 3$ .
Câu 7: Thông hiểu
Chọn dáp án đúng
Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ thỏa mãn $f (- 1) = 5, f (- 3) = 0$ và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $3f(2 - x) + \sqrt{x^{2} + 4} - x = m$ $3 f (2 - x) + \sqrt{x^{2} + 4} - x = m$ có nghiệm trong khoảng $(3; 5)$ là
- A.
  $0$ .
- B.
  $15$ .
- C.
  $16$ .
- D.
  $17$ .
Hướng dẫn:
Đặt $g(x) = 3f(2 - x) + \sqrt{x^{2} + 4} - x$ với $x \in (3;5)$ .

Ta có: $g'(x) = - 3f'(2 - x) + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} - 1$ .

Với $x \in (3;5)$ :

Ta có: $2 - x \in ( - 3; - 1)$ nên $f'(2 - x) > 0$ suy ra $- 3f'(2 - x) < 0$ .

Ta có: $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} < \frac{x}{x} = 1$

Suy ra $g'(x) = - 3f'(2 - x) + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} - 1 < 0,\forall x \in (3;5)$ nên hàm số nghịch biến trên $(3;5)$ .

Suy ra $\min_{(3;5)}g(x) = g(5) = 3f( - 3) + \sqrt{5^{2} + 4} - 5 = \sqrt{29} - 5$ ;

$\max_{(3;5)}g(x) = g(3) = 3f( - 1) + \sqrt{3^{2} + 4} - 3 = 12 + \sqrt{13}$ .

Để phương trình $3f(2 - x) + \sqrt{x^{2} + 4} - x = m$ có nghiệm thì $\sqrt{29} - 5 \leq m \leq 12 + \sqrt{13}$ mà $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ 1,2,...,15 ight\}$ tức là có 15 giá trị.
Câu 8: Vận dụng cao
Xác định số nghiệm thực của phương trình
Cho hàm số $f (x)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên dưới.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f\left( x^{3}f(x) \right) + 1 = 0$ $f (x^{3} f (x)) + 1 = 0$ là
- A.
  $5$ .
- B.
  $8$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $6$ .
Hướng dẫn:
Dựa vào đồ thị, ta thấy $f\left( x^{3}f(x) ight) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow f\left( x^{3}f(x) ight) = - 1$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{3}f(x) = a \in ( - 6; - 5)(1) \\ x^{3}f(x) = b \in ( - 3; - 2)(2) \\ x^{3}f(x) = 0(3) \\ \end{matrix} ight.$

+ Phương trình $(3)$ tương đương $\left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ f(x) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = x_{1},\left( - 6 < x_{1} < a < - 5 ight) \\ \end{matrix} ight.$

+ Các hàm số $g(x) = \frac{a}{x^{3}}$ và $h(x) = \frac{b}{x^{3}}$ đồng biến trên các khoảng $( - \infty;0)$ và $(0; + \infty)$ , và nhận xét rằng $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình $(1)$ nên: $(1) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = g(x) \\ f(x) = h(x) \\ \end{matrix} ight.$ .

+ Trên khoảng $( - \infty;0)$ , ta có $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty;\lim_{x ightarrow 0^{-}}f(x) = - 1 \\ \lim_{x ightarrow - \infty}g(x) = \lim_{x ightarrow - \infty}h(x) = 0 \\ \lim_{x ightarrow 0^{-}}g(x) = \lim_{x ightarrow 0^{-}}h(x) = + \infty \\ \end{matrix} ight.$

nên các phương trình $f(x) = g(x)$ và $f(x) = h(x)$ có nghiệm duy nhất.

+ Trên khoảng $(0; + \infty)$ , ta có $\left\{ \begin{matrix} \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = - \infty;\lim_{x ightarrow 0^{+}}f(x) = - 1 \\ \lim_{x ightarrow + \infty}g(x) = \lim_{x ightarrow + \infty}h(x) = 0 \\ \lim_{x ightarrow 0^{+}}g(x) = \lim_{x ightarrow 0^{+}}h(x) = - \infty \\ \end{matrix} ight.$

nên các phương trình $f(x) = g(x)$ và $f(x) = h(x)$ có nghiệm duy nhất.

Do đó, phương trình $f\left( x^{3}f(x) ight) + 1 = 0$ có $6$ nghiệm phân biệt.
Câu 9: Vận dụng cao
Tìm điều kiện cần và đủ của tham số m theo yêu cầu
Cho hàm số $y = f (x)$ . Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ. Cho bất phương trình $3f(x) \geq x^{3} - 3x + m$ $3 f (x) \geq x^{3} - 3 x + m$ ( $m$ là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $3f(x) \geq x^{3} - 3x + m$ $3 f (x) \geq x^{3} - 3 x + m$ đúng với mọi $x \in \left\lbrack - \sqrt{3};\sqrt{3} \right\rbrack$ $x \in [- \sqrt{3}; \sqrt{3}]$ là
- A.
  $m \geq 3f(1)$ $m \geq 3 f (1)$ .
- B.
  $m \leq 3f(0)$ $m \leq 3 f (0)$ .
- C.
  $m \geq 3f\left( - \sqrt{3} ight)$ $Extra \left or missing \right$ .
- D.
  $m \leq 3f\left( \sqrt{3} ight)$ $Extra \left or missing \right$ .
Hướng dẫn:
Ta có $3f(x) \geq x^{3} - 3x + m \Leftrightarrow 3f(x) - x^{3} + 3x \geq m$

Đặt $g(x) = 3f(x) - x^{3} + 3x$ . Tính $g'(x) = 3f'(x) - 3x^{2} + 3$

Có $g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x^{2} - 1$

Nghiệm của phương trình $g'(x) = 0$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và parabol $y = x^{2} - 1$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $f'(x) = x^{2} - 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - \sqrt{3} \\ x = 0 \\ x = \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$

BBT

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x \in \left\lbrack - \sqrt{3};\sqrt{3} ightbrack$ thì $m \leq \min_{\left\lbrack - \sqrt{3};\sqrt{3} ightbrack}g(x) = g\left( \sqrt{3} ight) = 3f\left( \sqrt{3} ight)$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Tìm số giá trị nguyên của tham số m
Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ và có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f^{2}\left( \cos x \right) + (m - 2022)f\left( \cos x \right) + m - 2023 = 0$ $f^{2} (\cos x) + (m - 2022) f (\cos x) + m - 2023 = 0$ có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\lbrack 0;2\pi\rbrack$ $[0; 2 π]$ là
- A.
  $2$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Ta có $f^{2}\left( \cos x ight) + (m - 2022)f\left( \cos x ight) + m - 2023 = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f\left( \cos x ight) = - 1 \\ f\left( \cos x ight) = 2023 - m \\ \end{matrix} ight.$ (1)

* Với $f\left( \cos x ight) = - 1$

Dựa vào đồ thị ta có $f\left( \cos x ight) = - 1$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \cos x = 0 \\ \cos x = x_{1};\left( x_{1} > 1 ight)(VN) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Vì $x \in \lbrack 0;2\pibrack \Rightarrow x \in \left\{ \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} ight\}$

* Với $f\left( \cos x ight) = 2023 - m$

Đặt $t = \cos x\ \ \left( t \in \lbrack - 1;1brack ight)$

Với $t \in ( - 1;1brack$ thì phương trình $t = \cos x$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\lbrack 0;2\pibrack$ .

Với $t = - 1$ thì phương trình $t = \cos x$ có một nghiệm thuộc $\lbrack 0;2\pibrack$

Phương trình trở thành $f(t) = 2023 - m$

Để phương trình (1) có tất cả 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $f\left( \cos x ight) = 2023 - m$ có 4 nghiệm phân biệt, hay phương trình $f(t) = 2023 - m$ có hai nghiệm $t \in ( - 1;1brack$

Dựa vào đồ thị ta có để phương trình $f(t) = 2023 - m$ có hai nghiệm $t \in ( - 1;1brack$ thì $- 1 < 2023 - m \leq 1 \Leftrightarrow 2022 \leq m < 2024$

Vì $m$ nguyên nên $m \in \left\{ 2022;2023 ight\}$

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Câu 11: Vận dụng cao
Tìm m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt
Cho hàm số $f(x) = log_{3}x + 3^{x} - 3^{\frac{1}{x}}$ $f (x) = l o g_{3} x + 3^{x} - 3^{\frac{1}{x}}$ . Tổng bình phương các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( \frac{1}{4|x - m| + 3} \right) + f\left( x^{2} - 4x + 7 \right) = 0$ $f (\frac{1}{4 | x - m | + 3}) + f (x^{2} - 4 x + 7) = 0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt bằng
- A.
  14.
- B.
  10.
- C.
  5.
- D.
  13.
Hướng dẫn:
Ta có $f'(x) = \frac{1}{xln3} + 3^{x} \cdot ln3 + \frac{1}{x^{2}} \cdot 3^{\frac{1}{x}} \cdot ln3 > 0,\forall x > 0$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(0; + \infty)(1)$ .

Mặt khác $f\left( \frac{1}{x} ight) = log_{3}\frac{1}{x} + 3^{\frac{1}{x}} - 3^{x} = - \left( log_{3}x - 3^{\frac{1}{x}} + 3^{x} ight) = - f(x)$ , khi đó

$f\left( \frac{1}{4|x - m| + 3} ight) + f\left( x^{2} - 4x + 7 ight) = 0$

$\Leftrightarrow - f(4|x - m| + 3) + f\left( x^{2} - 4x + 7 ight) = 0$

$\Leftrightarrow f\left( 4|x - m| + 3 ight) = f\left( x^{2} - 4x + 7 ight)\ \ (2)$ .

Từ $(1),(2) \Rightarrow 4|x - m| + 3 = x^{2} - 4x + 7$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 4m = - x^{2} + 8x - 4 \\ 4m = x^{2} + 4 \\ \end{matrix} ight.$ .

Ta có đồ thị sau:

Theo yêu cầu bài toán tương đương $\left\lbrack \begin{matrix} 4m = 4 \\ 4m = 8 \\ 4m = 12 \\ \end{matrix} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = 2 \\ m = 3 \\ \end{matrix} ight.\ ight.$ . Vậy $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = 14$ .
Câu 12: Vận dụng
Tìm tập hợp tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right) = m$ $f (\sin x) = m$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ $(0; π)$ là
- A.
  $(- 1; 1)$
- B.
  $(- 1; 3)$
- C.
  $\lbrack - 1;1)$ $[- 1; 1)$
- D.
  $\lbrack - 1;3)$ $[- 1; 3)$
Hướng dẫn:
Đặt $t = \sin x \Rightarrow \forall x \in (0;\pi) \Rightarrow t \in (0;1brack$

Vậy phương trình trở thành $f(t) = m$ .

Dựa và đồ thị hàm số suy ra $m \in \lbrack - 1;1).$
Câu 13: Thông hiểu
Định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ và thỏa mãn $f( - 1) = 1,\ \ f\left( - \frac{1}{e} \right) = 2$ $f (- 1) = 1, f (- \frac{1}{e}) = 2$ . Hàm số $f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f(x) < \ln( - x) + x^{2} + m$ $f (x) < \ln (- x) + x^{2} + m$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} \right)$ $x \in (- 1; - \frac{1}{e})$ khi và chỉ khi
- A.
  $m \geq 3 - \frac{1}{e^{2}}$ $m \geq 3 - \frac{1}{e^{2}}$ .
- B.
  $m > 3 - \frac{1}{e^{2}}$ $m > 3 - \frac{1}{e^{2}}$ .
- C.
  $m > 0$ .
- D.
  $m \geq 0$ $m \geq 0$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện: $- x > 0 \Leftrightarrow x < 0$

Bất phương trình đã cho tương đương với $f(x) - \ln( - x) - x^{2} < m$ (*).

Xét hàm số $g(x) = f(x) - \ln( - x) - x^{2}$ trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Ta có $g'(x) = f'(x) - \frac{1}{x} - 2x$ . Với $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ thì $f'(x) > 0; - \frac{1}{x} - 2x > 0$ nên $g'(x) > 0$ .

Do đó hàm số $g(x)$ đồng biến trên $\left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ .

Suy ra (*) nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - 1; - \frac{1}{e} ight)$ khi và chỉ khi $m \geq g\left( - \frac{1}{e} ight) = f\left( - \frac{1}{e} ight) - \ln\frac{1}{e} - \frac{1}{e^{2}} = 3 - \frac{1}{e^{2}}$ .
Câu 14: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình $\left| f(x + 2021) - 2022 \right| = 2023$ $| f (x + 2021) - 2022 | = 2023$ là
- A.
  $4$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $6$ .
Hướng dẫn:
Ta có :

$\left| f(x + 2021) - 2022 ight| = 2023$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x + 2021) - 2022 = - 2023 \\ f(x + 2021) - 2022 = 2023 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x + 2021) = - 1 \\ f(x + 2021) = 4045 \\ \end{matrix} ight.$ .

Từ bảng biến thiên suy ra:

+) Phương trình: $f(x + 2021) = - 1$ có 3 nghiệm.

+) Phương trình: $f(x + 2021) = 4045$ có 1 nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.
Câu 15: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Trong số các cặp số thực $(a; b)$ để bất phương trình $(x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b \right) \geq 0$ $(x - 1) (x - a) (x^{2} + x + b) \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x\mathbb{\in R}$ $x \in R$ , tích $a b$ nhỏ nhất bằng
- A.
  $- 1$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{4}$ .
- D.
  $- \frac{1}{4}$ $- \frac{1}{4}$ .
Hướng dẫn:
Đặt $f(x) = (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight)$ và $g(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight)$

Giả sử $x = 1$ không phải là nghiệm của phương trình $g(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight) = 0$ thì hàm số $f(x) = (x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight)$ sẽ đổi dấu khi qua điểm $x = 1$ , nghĩa là $(x - 1)(x - a)\left( x^{2} + x + b ight) \geq 0$ không nghiệm đúng với mọi $x\mathbb{\in R}$ .

Do đó yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì một điều kiện cần là $g(x) = (x - a)\left( x^{2} + x + b ight) = 0$ có nghiệm $x = 1$ suy ra hoặc $\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ x^{2} + x + b \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R} \\ \end{matrix} ight.$ hoặc là phương trình $x^{2} + x + b = 0$ có hai nghiệm $x = 1$ và $x = a$

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ x^{2} + x + b \geq 0,\forall x \in R \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ 1 > 0 \\ \Delta = 1 - 4b \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b \geq \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.$

Trường hợp 2: phương trình $x^{2} + x + b = 0$ có hai nghiệm $x = 1$ và $x = a$

Ta thay $x = 1$ vào phương trình $x^{2} + x + b = 0$ có $1^{2} + 1 + b = 0 \Rightarrow b = - 2$ .

Với $b = - 2$ có phương trình $x^{2} + x + b = 0$ $\Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Vì $x = a$ cũng là nghiệm của phương trình nên $a = - 2$ .

Trong trường hợp 1: $\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b \geq \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow ab \geq \frac{1}{4}$ suy ra tích $ab$ nhỏ nhất khi $ab = \frac{1}{4}$

Và với $a = 1,b = \frac{1}{4}$ , tích $ab = \frac{1}{4}$ thì bất phương trình đã cho tương đương với $(x - 1)(x - 1)\left( x^{2} + x + \frac{1}{4} ight) \geq 0$ $\Leftrightarrow (x - 1)^{2}\left( x + \frac{1}{2} ight)^{2} \geq 0$ thỏa mãn với mọi $x\mathbb{\in R}$ (nhận)

Trong trường hợp 2: Tích $ab = 4 > \frac{1}{4}$

Vậy tích $ab$ nhỏ nhất khi $ab = \frac{1}{4}$ .
Câu 16: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình $\left| f\left( x^{4} - 2x^{2} \right) \right| = 2$ $| f (x^{4} - 2 x^{2}) | = 2$ là
- A.
  7.
- B.
  10.
- C.
  9.
- D.
  8.
Hướng dẫn:
Phương trình $\left| f\left( x^{4} - 2x^{2} ight) ight| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f\left( x^{4} - 2x^{2} ight) = 2 \\ f\left( x^{4} - 2x^{2} ight) = - 2 \\ \end{matrix}. ight.$

* Phương trình $f\left( x^{4} - 2x^{2} ight) = 2$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} = b,( - 1 < b < 0) \\ \begin{matrix} x^{4} - 2x^{2} = c,(0 < c < 1) \\ x^{4} - 2x^{2} = d,(2 < d < 3) \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} ight.$ .

* Phương trình $f\left( x^{4} - 2x^{2} ight) = - 2 \Leftrightarrow x^{4} - 2x^{2} = a,( - 2 < a < - 1)$ .

Đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2}$ như hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có:

- Phương trình $x^{4} - 2x^{2} = a,( - 2 < a < - 1)$ không có nghiệm thực.

- Phương trình $x^{4} - 2x^{2} = b,( - 1 < b < 0)$ có 4 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình $x^{4} - 2x^{2} = c,(0 < c < 1)$ có 2 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình $x^{4} - 2x^{2} = d,(2 < d < 3)$ có 2 nghiệm thực phân biệt.

Vậy phương trình $\left| f\left( x^{4} - 2x^{2} ight) ight| = 2$ có 8 nghiệm thực phân biệt.

Nhận xét: Khi bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối ta đi phá dấu giá trị tuyệt đối bằng phép biến đổi tương đương $\left| f(x) ight| = A \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = A \\ f(x) = - A \\ \end{matrix} ight.$ .
Câu 17: Vận dụng cao
Chọn đáp án chính xác
Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ và có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} \right| + 2 \right) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \right)$ $f (| \frac{3 s i n x - \cos x - 1}{2 c o s x - \sin x + 4} | + 2) = f (\sqrt{(m + 2)^{2} + 4})$ có nghiệm?
- A.
  $3$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $- 1 \leq \sin x \leq 1,\ \ - 1 \leq \cos x \leq 1$ nên suy ra $2cosx - \sin x + 4 > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .

Đặt $t = \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4}$ $\Rightarrow t(2cosx - \sin x + 4) = 3sinx - \cos x - 1$

$\Leftrightarrow (2t + 1)cosx - (t + 3)sinx = - (4t + 1)$ .

Phương trình trên có nghiệm khi

$(2t + 1)^{2} + (t + 3)^{2} \geq (4t + 1)^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{- 9}{11} \leq t \leq 1 \Rightarrow 2 \leq |t| + 2 \leq 3$ .

Nhìn vào hình trên ta thấy hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên $\lbrack 2\ ;\ 3brack$ nên phương trình $f\left( \left| \frac{3sinx - \cos x - 1}{2cosx - \sin x + 4} ight| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight)$ hay phương trình $f\left( |t| + 2 ight) = f\left( \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} ight)$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $|t| + 2 = \sqrt{(m + 2)^{2} + 4}$ có nghiệm $t$ thỏa mãn điều kiện $2 \leq |t| + 2 \leq 3$

$\Leftrightarrow 2 \leq \sqrt{(m + 2)^{2} + 4} \leq 3 \Rightarrow m^{2} + 4m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 - \sqrt{5} \leq m \leq - 2 + \sqrt{5}$

Mà $m\mathbb{\in Z}$ nên có tất cả 5 giá trị $m$ thỏa mãn.
Câu 18: Vận dụng cao
Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương trình
Cho hàm số bậc ba $y = f (x)$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình $f\left( \left| \sqrt{4 - x^{2}} - \left| x^{2} - 1 \right| \right| \right) = \frac{1}{2023}$ $f (| \sqrt{4 - x^{2}} - | x^{2} - 1 | |) = \frac{1}{2023}$ là
- A.
  $24$ .
- B.
  $12$ .
- C.
  $10$ .
- D.
  $14$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = g(x) = f\left( \left| \sqrt{4 - x^{2}} - \left| x^{2} - 1 ight| ight| ight)$ với $g(x) = \frac{1}{2023}$

Ta đặt: $t = \sqrt{4 - x^{2}},\forall x \in \lbrack - 2;2brack$ thì suy ra $y = g(t) = f\left( \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight| ight),\forall t \in \lbrack 0;2brack$

Suy ra: $h(t) = t - \left| t^{2} - 3 ight|$ $= \left\{ \begin{matrix} t^{2} + t - 3,t \in \left\lbrack 0;\sqrt{3} ightbrack \\ - t^{2} + t + 3,t \in \left\lbrack \sqrt{3};2 ightbrack \\ \end{matrix} ight.$ .

Từ đó ta có BBT của hàm số $h(t)$ như hình vẽ bên:

Đặt $u = \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight|$ thì ta cũng có BBT của $u$ như sau:

Nhìn vào đồ thị $y = f(x)$ trên ta có được:

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx,a eq 0 \\ f(1) = f(2) = 0,f$

Như vậy ta suy ra $f(x) = \frac{2}{3}x(x - 1)(x - 2)$ .

Mà hàm số đó có cực trị bằng $- \frac{4\sqrt{3}}{9}$ tại $x = x_{0}$

Suy ra $f\left( x_{0} ight) = \frac{- 4\sqrt{3}}{9} \Rightarrow x_{0} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$

Như vậy: $f(3) = 4,f\left( \sqrt{3} ight) = - 0,2,f\left( \frac{3 + \sqrt{3}}{3} ight) = \frac{- 4\sqrt{3}}{9}$

Từ đó, ta phác họa được đồ thị $y = f(u)$ với $u = \left| t - \left| t^{2} - 3 ight| ight|$ như sau:

Dựa vào hình vẽ trên, ta kết luận phương trình $g(x) = \frac{1}{2023}$ có tất cả 10 nghiệm phân biệt
Câu 19: Vận dụng cao
Tìm m để phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt
Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $6f\left( x^{2} - 4x \right) = m$ $6 f (x^{2} - 4 x) = m$ có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng $(0\ ;\ + \infty)$ $(0; + \infty)$ ?
- A.
  25.
- B.
  30.
- C.
  24.
- D.
  29.
Hướng dẫn:
Ta đặt: $g(x) = f\left( x^{2} - 4x ight)$ .

$g'(x) = (2x - 4)f'\left( x^{2} - 4x ight)$

$= 2(x - 2)\left( x^{2} - 4x + 4 ight)\left( x^{2} - 4x + 2 ight)\left( x^{2} - 4x ight)$ (dựa vào bảng biến thiên) $= 2(x - 2)^{3}\left( x^{2} - 4x + 2 ight)x(x - 4)$ .

Mặt khác:

$g(0) = f(0) = - 3$ ;

$g\left( 2 - \sqrt{2} ight) = g\left( 2 + \sqrt{2} ight) = f( - 2) = 2$ ;

$g(2) = f( - 4) = - 2$ ;

$g(4) = f(0) = - 3$ .

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta được: yêu cầu bài toán tương đương $- 3 < \frac{m}{6} \leq 2$

$\Leftrightarrow - 18 < m \leq 12$ . Vậy có tất cả 30 giá trị của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 20: Thông hiểu
Tính tổng các phần tử tập S
Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ $R$ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi $S$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sin x \right) - m + 2 = 2sinx$ $f (\sin x) - m + 2 = 2 s i n x$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ $(0; π)$ . Tổng các phần tử của $S$ bằng
- A.
  $4$ .
- B.
  $- 1$ .
- C.
  $2$ .
- D.
  $3$ .
Hướng dẫn:
Đặt $t = \sin x$ , với $\ \ x \in (0;\pi) \Rightarrow t \in (0;1brack$ .

Ta được phương trình: $f(t) - 2t = m - 2 \Leftrightarrow f(t) = 2t + m - 2$ (1)

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(t)$ và đường thẳng $y = 2t + m - 2\ \ \ \ (r)$ .

Gọi $(p):y = 2x + 1$ song song với đường thẳng $(\Delta):y = 2t$ và đi qua điểm $A(0;1)$ .

Gọi $q:y = 2x - 3$ song song với đường thẳng $(\Delta):y = 2t$ và đi qua điểm $B(1; - 1)$ .

Để phương trình $f\left( \sin x ight) - m + 2 = 2sinx$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$ thì phương trình (1) phải có nghiệm $t \in (0;1brack$ , suy ra đường thẳng $r$ nằm trong miền nằm giữa hai đường thẳng $q$ và $p$ ( có thể trùng lên $q$ và bỏ $p$ )

$\Rightarrow - 3 \leq m - 2 < 1 \Leftrightarrow - 1 \leq m < 3 \Rightarrow m \in \left\{ - 1;0;1;2 ight\} \Rightarrow S = \left\{ - 1;0;1;2 ight\}$ .

Do đó tổng các phần tử là: $- 1 + 0 + 1 + 2 = 2$ .
Câu 21: Vận dụng cao
Xác định tất cả giá trị nguyên tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $f(x) = x^{3} + x + 2$ $f (x) = x^{3} + x + 2$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} \right) = - x^{3} - x + 2$ $f (\sqrt[3]{f^{3} (x) + f (x) + m}) = - x^{3} - x + 2$ có nghiệm $x \in \lbrack - 1;2\rbrack$ $x \in [- 1; 2]$ ?
- A.
  $1747$ .
- B.
  $1748$ .
- C.
  $1746$ .
- D.
  $1750$ .
Hướng dẫn:
Xét hàm số $f(t) = t^{3} + t + 2$ , ta có $f'(t) = 3t^{2} + 1 > 0,\forall t\mathbb{\in R}$ .

Do đó hàm số $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Ta có $f\left( \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} ight) = f( - x)$

$\Leftrightarrow - x = \sqrt[3]{f^{3}(x) + f(x) + m} \Leftrightarrow f^{3}(x) + f(x) + x^{3} + m = 0\ \ \ \ \ \ (1)$

Xét $h(x) = f^{3}(x) + f(x) + x^{3} + m$ trên đoạn $\lbrack - 1;2brack$ .

Ta có $h'(x) = 3f'(x) \cdot f^{2}(x) + f'(x) + 3x^{2}$

$= f'(x)\left\lbrack 3f^{2}(x) + 1 ightbrack + 3x^{2}.$

Ta có $f'(x) = 3x^{2} + 1 > 0,\forall x \in \lbrack - 1;2brack \Rightarrow h'(x) > 0,\forall x \in \lbrack - 1;2brack$ .

Hàm số $h(x)$ đồng biến trên $\lbrack - 1;2brack$ nên $\min_{\lbrack - 1;2brack}h(x) = h( - 1) = m - 1,$ $\max_{\lbrack - 1;2brack}h(x) = h(2) = m +1748.$

Phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi

$\begin{matrix} \mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} h\left( x ight) \cdot \mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} h\left( x ight) \leqslant 0 \Leftrightarrow h\left( { - 1} ight) \cdot h\left( 2 ight) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} ight)\left( {1748 + m} ight) \leqslant 0 \hfill \\ \Leftrightarrow - 1748 \leqslant m \leqslant 1. \hfill \\ \end{matrix}$

Do $m$ nguyên nên tập các giá trị $m$ thỏa mãn là $S = \{ - 1748; - 1747;\ldots;0;1\}$ .

Vậy có tất cả 1750 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Câu 22: Vận dụng cao
Định m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Cho hàm số $f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình sau.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $2f\left( \sin x - 2 \right) - \frac{2sin^{3}x}{3} + \sin x > m + \frac{5cos2x}{4}$ $2 f (\sin x - 2) - \frac{2 s i n^{3} x}{3} + \sin x > m + \frac{5 c o s 2 x}{4}$ nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ .
- A.
  $m < 2f( - 1) + \frac{19}{12}.$ $m < 2 f (- 1) + \frac{19}{12} .$
- B.
  $m < 2f( - 3) + \frac{11}{12}.$ $m < 2 f (- 3) + \frac{11}{12} .$
- C.
  $m \leq 2f( - 1) + \frac{19}{12}.$ $m \leq 2 f (- 1) + \frac{19}{12} .$
- D.
  $m \leq 2f( - 3) + \frac{11}{12}.$ $m \leq 2 f (- 3) + \frac{11}{12} .$
Hướng dẫn:
Ta có

$2f\left( \sin x - 2 ight) - \frac{2sin^{3}x}{3} + \sin x > m + \frac{5cos2x}{4}$

$\Leftrightarrow m < 2f\left( \sin x - 2 ight) - \frac{2sin^{3}x}{3} + \sin x - \frac{5\left( 1 - 2sin^{2}x ight)}{4}$

Đặt $t = \sin x - 2$ (với $x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$ thì $t \in ( - 3; - 1)$

Khi đó bất phương trình được viết lại thành:

$m < 2f(t) - \frac{2(t + 2)^{3}}{3} + (t + 2) - \frac{5\left\lbrack 1 - 2(t + 2)^{2} ightbrack}{4}$ .

Hay $m < 2f(t) - \frac{2}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 3t + \frac{65}{12}(*)$ .

Xét hàm số $g(t) = 2f(t) - \frac{2}{3}t^{3} - \frac{3}{2}t^{2} + 3t + \frac{65}{12}$ trên đoạn $\lbrack - 3; - 1brack$ .

Ta có $g'(t) = 2f'(t) - 2t^{2} - 3t + 3$ .

Do đó $g'(t) = 0 \Leftrightarrow f'(t) = t^{2} + \frac{3}{2}t - \frac{3}{2}$ .

Dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số $y = f'(t)$ và parabol $y = t^{2} + \frac{3}{2}t - \frac{3}{2}$ trên đoạn $\lbrack - 3; - 1brack$ thì $g'(t) = 0 \Leftrightarrow t \in \left\{ - 3; - 1 ight\}$ .

Suy ra bảng biến thiên của hàm số $g(t)$ trên đoạn $\lbrack - 3; - 1brack$ như sau:

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x \in \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$ khi và chỉ khi bất phương trình $(*)$ nghiệm đúng với mọi $t \in ( - 3; - 1)$ . Điều đó tương đương với $m \leq g( - 1) = 2f( - 1) + \frac{19}{12}$ dựa vào tính liên tục của hàm số $g(t)$ .

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

3

Chia sẻ bởi:
Đen2017

Tham khảo thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Nhiều người đang xem

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán