Giải SBT Toán 9 kết nối tri thức trang 72 tập 1
Giải SBT Toán 9 KNTT trang 72 Bài tập cuối chương 5
Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức trang 72 tập 1 cung cấp lời giải các bài tập thuộc phần Bài tập cuối chương 5, giúp học sinh ôn lại kiến thức và rèn luyện phương pháp giải. Nội dung Giải Toán 9 KNTT tập 1 được trình bày rõ ràng, thuận tiện cho việc học, kiểm tra và đối chiếu kết quả.
Giải bài 5.32 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa
a) Ta có: BC ⊥ AH tại H
=> BC là tiếp tuyến với đường tròn (A; AH) tại H.
Mặt khác: BD là tiếp tuyến của (A; AH) nên AB là đường phân giác của góc DAH, hay 
\(\widehat {DAH} = 2.\widehat {BAH}\)
Tương tự với BC và CE, ta có: \(\widehat {HAE} = 2.\widehat {HAC}\)
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\(\begin{array}{l}
\widehat {BAH} + \widehat {HAC} = \widehat {BAC} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = 2\widehat {BAH} + 2\widehat {HAC} = 2\left( {\widehat {BAH} + \widehat {HAC}} \right) = {2.90^0} = {180^0}
\end{array}\)
=> Ba điểm D, A, E thẳng hàng.
Mà D và E đều nằm trên (A; AH) nên DE là đường kính của (A; AH) hay D và E đối xứng với nhau qua A. (đpcm)
b) Gọi O là trung điểm của BC.
Xét tam giác vuông ABC, ta có:
AO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC.
=> Đường tròn đường kính BC là đường tròn (O; OA).
Xét tam giác ABC và tam giác HBA có:
\(\widehat {ABC} = \widehat {HBA}\) (góc chung)
\(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = {90^0}\)
=> ∆ABC ᔕ ∆HBA (g.g)
Chứng minh tương tự ta có: ∆ABC ᔕ ∆HAC suy ra ∆HBA ᔕ ∆HAC
Xét tam giác HAC và tam giác EAC có:
Chung cạnh AC
\(\widehat {AHC} = \widehat {AEC} = {90^0}\)
AH = AE (bán kính đường tròn (A; AH))
=> ∆HAC = ∆EAC (c.g.c).
=> ∆HBA ᔕ ∆EAC
\(\Rightarrow \widehat {HAB} = \widehat {EAC}\) hay \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_2}}\) (1)
Ta có:
OA = OC
=> Tam giác OAC cân tại A
\(\Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC};\left( {\widehat {{C_1}} = \widehat {{A_1}}} \right)\) (2)
Mà tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{B_1}} = {90^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {OAE} = {90^0}\) hay OA ⊥ AE.
Vậy DE tiếp xúc với đường tròn (O; OA) tại A. (đpcm)
Giải bài 5.33 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a // b. Gọi C là một điểm tuỳ ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh AB là một đường kính của (O).
b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng D∈(O), P∈b và Q∈a
c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D.
d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Ta có:
MA, MN và BN là các tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {OCM} = \widehat {OBN} = \widehat {OCN} = {90^0}\)
Xét tứ giác ABMN có
\(\widehat {OAM} = \widehat {OBN} = {90^0}\)
\(\Rightarrow \widehat {AMN} + \widehat {BNM} = {180^0}\) (1)
Xét tứ giác AOCM có:
\(\begin{array}{l}
\widehat {OAM} = \widehat {OCM} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {AMC} = {180^0}(2)
\end{array}\)
Xét tứ giác OBNC có :
\(\begin{array}{l}
\widehat {OBN} = \widehat {OCN} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {COB} + \widehat {CNB} = {180^0}\left( 3 \right)
\end{array}\)
Từ (1), (2) và (3), suy ra \(\widehat {AOC} + \widehat {COB} = {180^0}\) hay A, O, B thẳng hàng.
Mà A và O nằm trên (O) nên AB là đường kính của (O). (đpcm)
b) Vì C∈(O) và D đối xứng với C qua O nên D∈(O). (đpcm)
Xét tứ giác AMBP có:
OA = OB (bán kính của (O))
OM = OP (P đối xứng với M qua O)
=> Hai đường chéo của tứ giác AMBP cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
=> AMBP là hình bình hành, vì vậy BP // AM hay BP // a.
Mà b // a nên BP trùng với b hay P∈b. (đpcm)
Xét tứ giác AQBN có:
OA = OB (bán kính của (O))
ON = OQ (Q đối xứng với N qua O)
=> Hai đường chéo của tứ giác AQBN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
=> AQBN là hình bình hành, vì vậy AQ // BN hay AQ // b.
Mà b // a nên AQ trùng với a hay Q∈a. (đpcm)
c) Xét ∆COM và ∆DOP có:
OM = OP (M và PO đối xứng qua O)
OC = OD (C và D đối xứng qua O)
\(\widehat {MOC} = \widehat {POD}\)(hai góc đối đỉnh)
=> ∆COM = ∆DOP (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {PDO} = \widehat {MCO} = {90^0}\)
Tương tự, ta có ∆CON = ∆DOQ (c.g.c)
\(\Rightarrow \widehat {PDO} + \widehat {QDO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) hay P, D, Q thẳng hàng.
Mà nên PQ là tiếp tuyến của (O) tại D.
d) Tứ giác MNPQ có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (do M và P, N và Q đối xứng với nhau qua O) nên MNPQ là hình bình hành.
Hai tiếp tuyến AM và CM của (O) cắt nhau tại M nên ˆAOM=ˆCOM
Hai tiếp tuyến BN và CN của (O) cắt nhau tại N nên ˆCON=ˆBON
Từ đó ta có:
\(\begin{array}{l}
\widehat {AOM} + \widehat {COM} + \widehat {CON} + \widehat {BON} = {180^0}\\
2\left( {\widehat {COM} + \widehat {CON}} \right) = {180^0}\\
\widehat {COM} + \widehat {CON} = {90^0}
\end{array}\)
=> MP ⊥ NQ. Mà MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo của hình bình hành MNPQ vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
=> MNPQ là hình thoi. (đpcm)
Giải bài 5.34 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm B∈(O) và C∈(O) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO' và OB // O'C.
a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.
b) Cho biết R = 3 cm, R' = 1 cm và BC cắt OO' tại D. Tính độ dài đoạn OD.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Ta có:
OA = OB => Tam giác OAB cân tại O \(\Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{O_1}} = {180^0} = 2\widehat {{A_1}} + \widehat {{O_1}}\\
\Rightarrow 2\widehat {{A_1}} = {180^0} - \widehat {{O_1}}{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array}\)
Lại có:
O'C = O'A => Tam giác O'AC cân tại O'.\(\Rightarrow 2\widehat {{A_2}} = {180^0} - \widehat {O{'_1}}\) (2)
Từ (1) và (2), ta có: \(2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^0} - \left( {\widehat {{O_1}} + \widehat {O{'_1}}} \right)\) (3)
Mà OB // O'C nên (hai góc đồng vị).
Do \(\widehat {{O_2}} + \widehat {{O_1}} = {180^0} \Rightarrow \widehat {O{'_1}} + \widehat {{O_1}} = {180^0}\)
Thay vào (3) ta được:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {360^0} - {180^0} = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^0}\\
\Rightarrow \widehat {BAC} = {180^0} - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = {180^0} - {90^0} = {90^0}
\end{array}\)
=> Góc BAC là góc vuông. (đpcm).
b) Vì O'C // OB nên ∆DOB ᔕ ∆DO'C
\(\Rightarrow \frac{{DO}}{{DO'}} = \frac{{OB}}{{O'C}} = \frac{3}{1} = 3\)
=> Mà DO' = DO – OO' = DO – (OA + O'A) = DO – (3 + 1) = DO – 4 (cm).
\(\frac{{DO}}{{DO - 4}} = 3 \Rightarrow DO = 3\left( {DO - 4} \right) \Rightarrow DO = 6\left( {cm} \right)\)
Vậy độ dài đoạn OD là 6 cm.
Giải bài 5.35 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 1 KNTT
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B.
a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N).
b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC.
c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Hình vẽ minh họa:
a) Vì MN là đường kính của (O), A là một điểm nằm trên (O) nên tam giác MAN vuông tại A hay MA ⊥ AN.
Mà A nằm trên (N) nên MA là tiếp tuyến tại A của (N). (đpcm)
Mặt khác, MN là đường kính của (O), B là một điểm nằm trên (O) nên tam giác MBN vuông tại A hay MB ⊥ BN.
Mà B nằm trên (N) nên MB là tiếp tuyến tại B của (N). (đpcm)
b) Vì AM ⊥ AN và CN ⊥ AN nên AM // CM, suy ra ˆM1=ˆN1 (hai góc so le trong).
Mà MA và MN là hai tiếp tuyến của (N) nên MN là đường phân giác của góc AMB hay \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)
=> Tam giác CMN cân tại C.
Tam giác CMN cân tại C có OM = ON nên OC là trung tuyến của CO và đồng thời là trung trực của MN.
Vậy M và N đối xứng với nhau qua OC. (đpcm)
c) Do MD ⊥ MA và AN ⊥ AM nên MD // AN \(\Rightarrow \widehat {DMN} = \widehat {ANM}\)
Mà MA và MN là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên MN là đường phân giác của góc ANB.
\(\Rightarrow \widehat {DMN} = \widehat {DNM} = \widehat {ANM}\)
=> Tam giác DMN cân tại D.
Tam giác DMN cân tại D nên D nằm trên đường trung trực CO của MN hay ba điểm O, C, D thẳng hàng. (đpcm).
---------------------------------
Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức trang 72 tập 1 giúp học sinh củng cố kiến thức qua các bài tập cuối chương 5, đồng thời rèn khả năng vận dụng công thức và phương pháp giải vào từng dạng bài. Với Giải Toán 9 KNTT tập 1, học sinh có thể đối chiếu đáp án, phát hiện lỗi sai và chủ động hoàn thiện kỹ năng làm bài.
