SBT Toán 9 KNTT Bài 9 Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Giải SBT Toán 9 KNTT tập 1 Bài 9
SBT Toán 9 KNTT Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai hướng dẫn học sinh vận dụng các quy tắc biến đổi để xử lý và rút gọn biểu thức chứa căn. Nội dung Giải sách bài tập Toán 9 KNTT tập 1 được trình bày cô đọng, giúp học sinh dễ đối chiếu cách làm và củng cố kỹ năng tính toán.
Giải SBT Toán 9 trang 36 KNTT tập 1
Bài 3.15 trang 36. Tính giá trị biểu thức 
\(P = {\left( {\sqrt {20} + 2\sqrt {45} - 3\sqrt {80} } \right)^2}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(P = {\left( {\sqrt {20} + 2\sqrt {45} - 3\sqrt {80} } \right)^2}\)
\(P = {\left( {\sqrt {4.5} + 2\sqrt {9.5} - 3\sqrt {16.5} } \right)^2}\)
\(P = {\left( {\sqrt {{2^2}.5} + 2\sqrt {{3^2}.5} - 3\sqrt {{4^2}.5} } \right)^2}\)
\(P = {\left( {2\sqrt 5 + 2.3\sqrt 5 - 3.4\sqrt 5 } \right)^2}\)
\(P = {\left( {2\sqrt 5 + 6\sqrt 5 - 12\sqrt 5 } \right)^2}\)
\(P = {\left( { - 4\sqrt 5 } \right)^2} = 16.5 = 80\)
Vậy giá trị biểu thức P = 80.
Bài 3.16 trang 36. Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: \(9\sqrt 2 ;8\sqrt 3 ;5\sqrt 6 ;4\sqrt 7\).
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
9\sqrt 2 = \sqrt {{9^2}.2} = \sqrt {162} \\
8\sqrt 3 = \sqrt {{8^2}.3} = \sqrt {192} \\
5\sqrt 6 = \sqrt {{5^2}.6} = \sqrt {150} \\
4\sqrt 7 = \sqrt {{4^2}.7} = \sqrt {112}
\end{array}\)
Do \(\sqrt {112} < \sqrt {150} < \sqrt {162} < \sqrt {192}\) nên \(4\sqrt 7 < 5\sqrt 6 < 9\sqrt 2 < 8\sqrt 3\).
Bài 3.17 trang 36. Thực hiện phép tính: \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8 + \sqrt 7 }} + \sqrt {175} - 2\sqrt 2 } \right)^2}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8 + \sqrt 7 }} + \sqrt {175} - 2\sqrt 2 } \right)^2}\)
\(= {\left[ {\frac{{\sqrt 8 - \sqrt 7 }}{{\left( {\sqrt 8 + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 8 - \sqrt 7 } \right)}} + \sqrt {25.7} - \left( {\sqrt {{2^2}.2} } \right)} \right]^2}\)
\(= {\left[ {\frac{{\sqrt 8 - \sqrt 7 }}{{8 - 7}} + \sqrt {{5^2}.7} - \left( {\sqrt 8 } \right)} \right]^2}\)
\(= {\left[ {\sqrt 8 - \sqrt 7 + 5\sqrt 7 - \sqrt 8 } \right]^2}\)
\(= {\left( {4\sqrt 7 } \right)^2} = 16.7 = 112\)
Bài 3.18 trang 36. Thực hiện phép tính: \(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{17 - 12\sqrt 2 }}} - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{17 + 12\sqrt 2 }}}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{17 - 12\sqrt 2 }}} - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{17 + 12\sqrt 2 }}}\)
\(= \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{9 - 2.3.2\sqrt 2 + 8}}} - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{9 + 2.3.2\sqrt 2 + 8}}}\)
\(= \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}} - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}}\)
\(= \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{3^2} - 2.3.2\sqrt 2 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}} - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{3^2} + 2.3.2\sqrt 2 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}}\)
\(= \sqrt {\frac{1}{{3 - 2\sqrt 2 }}} - \sqrt {\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }}}\)
\(= \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}} - \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}}\)
\(= \sqrt {\frac{{2 + 2\sqrt 2 + 1}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}} - \sqrt {\frac{{2 - 2\sqrt 2 + 1}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}}\)
\(= \sqrt 2 + 1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right) = 2\)
Bài 3.19 trang 36. Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:
\(P = \left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}} \right).\left( {\sqrt 3 - \frac{4}{{\sqrt 3 }} + 2} \right).\sqrt {0,2}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\frac{{\sqrt 5 + 1}}{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}\)
\(= \frac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\(= \frac{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } \right) - \sqrt 5 } \right] + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + \sqrt 5 } \right]}}{{\left( {1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\(= \frac{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left[ {\left( {\sqrt 5 + 1} \right) + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)} \right] + \sqrt 5 \left[ { - \left( {\sqrt 5 + 1} \right) + \left( {\sqrt 5 - 1} \right)} \right]}}{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\)
\(= \frac{{2\sqrt 5 .\left( {1 + \sqrt 3 } \right) - 2\sqrt 5 }}{{4 + 2\sqrt 3 - 5}} = \frac{{2\sqrt 5 .\left( {1 + \sqrt 3 - 1} \right)}}{{2\sqrt 3 - 1}}\)
.\(= \frac{{2\sqrt 5 .\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 - 1}} = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3 - 1}}\)
Ta có:
\(\sqrt 3 - \frac{4}{{\sqrt 3 }} + 2 = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)
Do đó: \(P = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3 - 1}}.\frac{{2\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {0,2} = 2\sqrt {5.0,2} = 2\sqrt 1 = 2\)
Vậy P có giá trị là một số nguyên.
Bài 3.20 trang 36. a) Trục căn ở mẫu của biểu thức \(\frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\).
b) Tính giá trị biểu thức \(P = x\left( {{x^4} - 6{x^2} + 1} \right)\) tại \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}} = \frac{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\left( {2\sqrt 2 + 1} \right)}}\)
\(= \frac{{6\sqrt 2 + 4 + 3 + \sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - 1}} = \frac{{7\sqrt 2 + 7}}{{8 - 1}}\)
\(= \frac{{7\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{7} = \sqrt 2 + 1\)
b) Theo câu a ta có: \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}} = \sqrt 2 + 1\)
Khi đó: \({x^2} = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} = 3 + 2\sqrt 2\)
\(P = x\left( {{x^4} - 6{x^2} + 1} \right)\)
\(= x\left( {{x^4} - 2.3.{x^2} + 9 - 8} \right)\)
\(= x\left[ {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} - 8} \right]\)
\(= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {{{\left( {3 + 2\sqrt 2 - 3} \right)}^2} - 8} \right]\)
\(= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - 8} \right] = 0\)
Vậy với \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 - 1}}\) thì P = 0.
