SBT Toán 9 KNTT Bài 8 Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia
Giải SBT Toán 9 KNTT tập 1 Bài 8
SBT Toán 9 KNTT Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia giúp học sinh luyện tập quy tắc khai căn và vận dụng phép nhân, phép chia trong các biểu thức chứa căn bậc hai. Phần Giải sách bài tập Toán 9 KNTT tập 1 trình bày lời giải cô đọng, hỗ trợ học sinh kiểm tra cách làm và nâng cao kỹ năng biến đổi.
Giải SBT Toán 9 trang 34 KNTT tập 1
Bài 3.8 trang 34. So sánh:
a) 
\(\sqrt 5 .\sqrt {11}\) và \(\sqrt {56}\); b)\(\frac{{\sqrt {141} }}{{\sqrt 3 }}\) và 7.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\sqrt 5 .\sqrt {11} = \sqrt {5.11} = \sqrt {55} < \sqrt {56}\)
Vậy \(\sqrt 5 .\sqrt {11} < \sqrt {56}\)
b) Ta có: \(\frac{{\sqrt {141} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{141}}{3}} = \sqrt {47} < \sqrt {49} = 7\)
Vậy \(\frac{{\sqrt {141} }}{{\sqrt 3 }} < 7\)
Bài 3.9 trang 34. Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sqrt {1\frac{2}{3}} :\sqrt {\frac{1}{{15}}}\) b) \(\sqrt {4,9} .\sqrt {1000}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {1\frac{2}{3}} :\sqrt {\frac{1}{{15}}} = \sqrt {\frac{5}{3}} :\sqrt {\frac{1}{{15}}} = \sqrt {\frac{5}{3}:\frac{1}{{15}}} \\
= \sqrt {\frac{5}{3}.15} = \sqrt {\frac{5}{3}.5.3} = \sqrt {5.5} = 5
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {4,9} .\sqrt {1000} = \sqrt {4,9.1000} = \sqrt {4,9.10.100} \\
= \sqrt {49.100} = \sqrt {{7^2}{{.10}^2}} = 7.10 = 70
\end{array}\)
Bài 3.10 trang 34. Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:
a) \(\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} }\) b) \({\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {8 + \sqrt {15} } .\sqrt {8 - \sqrt {15} } = \sqrt {\left( {8 + \sqrt {15} } \right)\left( {8 - \sqrt {15} } \right)} \\
= \sqrt {{8^2} - {{\sqrt {15} }^2}} = \sqrt {64 - 15} = \sqrt {49} = 7
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } + \sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\\
= {\left( {\sqrt {6 - \sqrt {11} } } \right)^2} + 2.\sqrt {6 - \sqrt {11} } .\sqrt {6 + \sqrt {11} } + {\left( {\sqrt {6 + \sqrt {11} } } \right)^2}\\
= 6 - \sqrt {11} + 6 + \sqrt {11} + 2.\sqrt {{6^2} - {{\sqrt {11} }^2}} \\
= 12 + 2\sqrt {36 - 11} = 12 + 2\sqrt {25} = 12 + 2.5 = 22
\end{array}\)
Bài 3.11 trang 34. Không dùng MTCT, hãy tính giá trị của biểu thức sau:
\(P = \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 }\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
P = \sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } .\sqrt {4 + \sqrt 8 } \\
= \sqrt {\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \right)\left( {2 - \sqrt {2 + \sqrt 2 } } \right).\left( {4 + \sqrt 8 } \right)} \\
= \sqrt {\left[ {{2^2} - {{\left( {\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \right)}^2}} \right].\left( {4 + \sqrt 8 } \right)} \\
= \sqrt {\left[ {4 - \left( {2 + \sqrt 2 } \right)} \right].\left( {4 + \sqrt {4.2} } \right)} \\
= \sqrt {2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right)} = \sqrt {2\left( {{2^2} - {{\sqrt 2 }^2}} \right)} \\
= \sqrt {2\left( {4 - 2} \right)} = \sqrt {2.2} = 2
\end{array}\)
Bài 3.12 trang 34. Rút gọn biểu thức: \(P = \frac{{3\sqrt {10} + \sqrt {20} - 3\sqrt 6 - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
P = \frac{{3\sqrt {10} + \sqrt {20} - 3\sqrt 6 - \sqrt {12} }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \frac{{3\sqrt {10} + \sqrt {10.2} - 3\sqrt 6 - \sqrt {6.2} }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\\
= \frac{{3\sqrt {10} + \sqrt {10} .\sqrt 2 - 3\sqrt 6 - \sqrt 2 .\sqrt 6 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\\
= \frac{{\sqrt {10} \left( {3 + \sqrt 2 } \right) - \sqrt 6 .\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\\
= \frac{{\left( {\sqrt {10} - \sqrt 6 } \right).\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {\sqrt {5.2} - \sqrt {3.2} } \right).\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\\
= \frac{{\left( {\sqrt 5 .\sqrt 2 - \sqrt 3 .\sqrt 2 } \right).\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right).\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}\\
= \sqrt 2 \left( {3 + \sqrt 2 } \right) = 2 + 3\sqrt 2
\end{array}\)
Vậy \(P = 2 + 3\sqrt 2\).
Bài 3.13 trang 34. So sánh \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } }\) và \(\sqrt {\sqrt 6 + 1}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } } = \sqrt {\sqrt {5 + \sqrt {20} + 1} } = \sqrt {\sqrt {5 + \sqrt {5.4} + 1} } \\
= \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + 2\sqrt 5 .1 + {1^2}} } = \sqrt {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}^2}} } = \sqrt {\sqrt 5 + 1} < \sqrt {\sqrt 6 + 1}
\end{array}\)
Vậy \(\sqrt {\sqrt {6 + \sqrt {20} } } < \sqrt {\sqrt 6 + 1}\).
Bài 3.14 trang 34. Cho a, b là hai số dương khác nhau thoả mãn điều kiện \(a - b = \sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}}\). Chứng minh rằng a2 + b2 = 1.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{array}{l}
a - b = \sqrt {1 - {b^2}} - \sqrt {1 - {a^2}} \\
a + \sqrt {1 - {a^2}} = b + \sqrt {1 - {b^2}} \\
{\left( {a + \sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {b + \sqrt {1 - {b^2}} } \right)^2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
{a^2} + 2a.\sqrt {1 - {a^2}} + {\left( {\sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {b^2} + 2b.\sqrt {1 - {b^2}} + {\left( {\sqrt {1 - {b^2}} } \right)^2}\\
{a^2} + 2a.\sqrt {1 - {a^2}} + 1 - {a^2} = {b^2} + 2b.\sqrt {1 - {b^2}} + 1 - {b^2}\\
2a.\sqrt {1 - {a^2}} = 2b.\sqrt {1 - {b^2}} \\
a.\sqrt {1 - {a^2}} = b.\sqrt {1 - {b^2}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
{\left( {a.\sqrt {1 - {a^2}} } \right)^2} = {\left( {b.\sqrt {1 - {b^2}} } \right)^2}\\
{a^2} - {a^4} = {b^2} - {b^4}\\
{a^4} - {b^4} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\\
\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - \left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\\
\left( {{a^2} - {b^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0
\end{array}\)
Theo đề bài, a và b là hai số khác nhau nên a2 – b2 ≠ 0, nên để \(\left( {{a^2} - {b^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0\) thì a2 + b2 – 1 = 0 hay a2 + b2 = 1. (đpcm)
