SBT Toán 9 KNTT Bài 11 Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Giải SBT Toán 9 KNTT tập 1 Bài 11 Tỉ số lượng giác của góc nhọn
SBT Toán 9 KNTT Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn cung cấp lời giải các bài tập về sin, cos, tan và mối liên hệ giữa các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Phần Giải sách bài tập Toán 9 KNTT tập 1 được trình bày súc tích, dễ hiểu, giúp học sinh ôn kiến thức và rèn kỹ năng vận dụng công thức.
Giải SBT Toán 9 trang 45 KNTT tập 1
Bài 4.1 trang 45 a) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, 
\(AB = 3 cm, AC = 4 cm\). Tính BC, sin B, cos B.
b) Vẽ tam giác MNP vuông tại M, \(MN = 6 cm, MP = 8 cm\). Hỏi hai tam giác ABC, MNP có đồng dạng không? Tính sin N, cos N.
Hướng dẫn giải
a) Hình vẽ minh họa:
Theo định lý Pythagore, ta có:
\(\begin{array}{l}
B{C^2} = {\rm{ }}A{B^2} + {\rm{ }}A{C^2} = {\rm{ }}{3^2} + {\rm{ }}{4^2} = {\rm{ }}25\\
\Rightarrow BC = \sqrt {25} = 5\left( {cm} \right)
\end{array}\)
Từ đó ta có: \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5},\;\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}\)
Vậy \(BC = 5cm;\sin B = \frac{4}{5},\;\cos B = \frac{3}{5}\).
b) Hình vẽ minh họa:
Ta thấy: \(\frac{{MN}}{{MP}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Suy ra hai tam giác vuông MNP và ABC đồng dạng vì có hai cặp cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ.
Từ đó suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin N = \sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}\\
\cos P = \cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}
\end{array} \right.\)
Vậy hai tam giác MNP và ABC đồng dạng \(sinN = \frac{4}{5},\;cosP = \frac{3}{5}\)
Bài 4.2 trang 45. a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn α < 45°, ta có
\(sin{\rm{ }}\left( {45^\circ --{\rm{ }}\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}cos{\rm{ }}\left( {45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}\alpha } \right),{\rm{ }}cos{\rm{ }}\left( {45^\circ {\rm{ }}--{\rm{ }}\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}sin{\rm{ }}\left( {45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}\alpha } \right).\)
b) Không dùng MTCT, tính
\(sin{\rm{ }}25^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}sin{\rm{ }}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}sin{\rm{ }}45^\circ {\rm{ }}-{\rm{ }}cos{\rm{ }}45^\circ {\rm{ }}-{\rm{ }}cos{\rm{ }}55^\circ {\rm{ }}-{\rm{ }}cos{\rm{ }}65^\circ .\)
Hướng dẫn giải:
a) Ta thấy \(\left( {45^\circ {\rm{ }}-{\rm{ }}\alpha } \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}90^\circ\), suy ra đây là hai góc phụ nhau.
\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sin {\rm{ }}\left( {45^\circ {\rm{ }} - {\rm{ }}\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\cos {\rm{ }}\left( {45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}\alpha } \right)\\
{\rm{ }}\cos {\rm{ }}\left( {45^\circ - {\rm{ }}\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\sin {\rm{ }}\left( {45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}\alpha } \right)
\end{array} \right.\)
b) Ta có: .
\(\begin{array}{l}
\sin {\rm{ }}25^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}\sin {\rm{ }}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}\sin {\rm{ }}45^\circ {\rm{ }} - {\rm{ }}\cos {\rm{ }}45^\circ {\rm{ }} - {\rm{ }}\cos {\rm{ }}55^\circ {\rm{ }} - {\rm{ }}\cos {\rm{ }}65\\
= {\rm{ }}\left( {\sin {\rm{ }}25^\circ - {\rm{ }}\cos {\rm{ }}65^\circ } \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {\sin {\rm{ }}35^\circ {\rm{ }} - {\rm{ }}\cos {\rm{ }}55^\circ } \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {\sin {\rm{ }}45^\circ {\rm{ }} - {\rm{ }}\cos {\rm{ }}45^\circ } \right){\rm{ }}\\
= {\rm{ }}0
\end{array}\)
Bài 4.3 trang 45. Khi góc α lần lượt bằng 10°, 20°, 30°, 40°, hãy dùng MTCT tính sin α trong mỗi trường hợp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Hướng dẫn giải:
+ Để tính sin 10°, ta sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được sin 10° ≈ 0,174.
Bài 4.4 trang 45. Hãy dùng MTCT, tìm số đo của góc nhọn α (làm tròn đến độ) trong mỗi trường hợp
a) Khi sin α lần lượt bằng \(\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3}\)
b) Khi cos α lần lượt bằng \(\frac{1}{4};\frac{1}{3};\frac{1}{2};\frac{2}{3}\)
Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được thì α ≈ 14°.
Tương tự, ta tính được:
\(\sin \alpha = \frac{1}{4}\)\(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) thì α ≈ 19°.
\(\sin \alpha = \frac{1}{2}\) thì α =30°.
\(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) thì α ≈ 42°.
b) Sử dụng MTCT bấm liên tiếp các phím:
Ta được \(\cos \alpha = \frac{1}{4}\) thì α ≈ 76°.
Tương tự, ta tính được:
\(\cos \alpha = \frac{1}{3}\) thì α ≈ 71°.
\(\cos \alpha = \frac{1}{2}\) thì α ≈ 60°.
\(\cos \alpha = \frac{2}{3}\) thì α ≈ 48°.
Bài 4.5 trang 45. Biết rằng với mỗi góc nhọn α, ta có \({\sin ^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}{\cos ^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}1\), không dùng MTCT, hãy tính:
\({\sin ^2}25^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}55^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}65^\circ\)
Hướng dẫn giải:
Do các góc phụ nhau có \(\sin {\rm{ }}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}\cos {\rm{ }}\left( {90^\circ - {\rm{ }}\alpha } \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\sin {\rm{ }}65^\circ {\rm{ }} = {\rm{ }}\cos {\rm{ }}25^\circ \\
\sin {\rm{ }}55^\circ {\rm{ }} = {\rm{ }}\cos {\rm{ }}35^\circ
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\sin }^2}25^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\sin }^2}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\sin }^2}45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\sin }^2}55^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\sin }^2}65^\circ }\\
{ = {{\sin }^2}25^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\sin }^2}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\sin }^2}45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\cos }^2}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\cos }^2}25^\circ }\\
{ = \left( {{{\sin }^2}25^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\cos }^2}25^\circ } \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{{\sin }^2}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{{\cos }^2}35^\circ } \right){\rm{ }} + {\rm{ }}{{\sin }^2}45^\circ }\\
{ = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,5}\\
{ = {\rm{ }}2,5}
\end{array}\)
Vậy \({\sin ^2}25^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}35^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}45^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}55^\circ {\rm{ }} + {\rm{ }}{\sin ^2}65^\circ {\rm{ }} = {\rm{ }}2,5\).
Bài 4.6 trang 45. Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được 5 cm, 12 cm. Hỏi sin của góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Xét tam giác vuông ABC có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Góc nhọn cần tính là góc C.
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:
\(\begin{array}{l}
BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\left( {cm} \right)\\
\Rightarrow \sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}
\end{array}\)
Vậy sin của góc nhọn nhỏ nhất trong tam giác đó bằng \(\frac{5}{{13}}\).
Bài 4.7 trang 45. Xét tam giác ABC vuông tại B, có \(\widehat A = {30^0}\). Tia Bt sao cho cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng \(\frac{{AB}}{4}\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\widehat {BCA} = {90^0} - \widehat {BAC} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)
\(\widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {BCD} - \widehat {CBD} = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ\)
Do đó tam giác BDC và tam giác ABD vuông tại D.
+ Xét tam giác vuông ABD, ta có:
\(\frac{{BD}}{{AB}} = \sin \widehat {BAD} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D tới BC.
Khi đó ta có DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.
+ Xét tam giác vuông BDE, ta có:
\(\frac{{BD}}{{AB}} = \sin \widehat {BAD} = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Ta có: \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BD}}.\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow DE = \frac{{AB}}{4}\) (dpcm).
Bài 4.8 trang 45. Vẽ góc α trong mỗi trường hợp:
a) cos α = 0,4; b) \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) c) \(\cot \alpha = \frac{3}{4}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy: \(\cos \alpha = 0,4 = \frac{2}{5}\)
Suy ra góc α tương ứng với góc B của tam giác ABC vuông tại A với độ dài AB = 2 cm, BC = 5 cm.
Vẽ góc vuông Axy, lấy B trên tia Ax sao cho AB = 3 cm.
Vẽ đường tròn tâm B bán kính 5 cm. Lấy C là giao điểm của đường tròn này với tia Ay.
Góc B của tam giác ABC chính là góc α.
b) Ta có:
Góc α tương ứng với góc B của tam giác ABC vuông tại A với độ dài AC = 2 cm, AB = 3 cm.
Vẽ góc vuông Axy, lấy B trên tia Ax sao cho AB = 3 cm. Lấy C trên tia Ay sao cho AC = 2 cm.
Góc B của tam giác ABC chính là góc α.
c) Góc α tương ứng với góc C của tam giác ABC vuông tại A với độ dài AB = 3 cm, AC = 4 cm.
Vẽ góc vuông Axy, lấy B trên tia Ax sao cho AB = 3 cm.
Lấy C trên tia Ay sao cho AC = 4 cm.
Góc C của tam giác ABC chính là góc α.
Bài 4.9 trang 45. Một cái thang dài 3,2 m đặt tựa bức tường, đầu thang đạt đến độ cao 3 m thì thang tạo với mặt đất góc α xấp xỉ bằng bao nhiêu độ (H.4.6)?
Hướng dẫn giải
Kí hiệu hình vẽ như sau:
Gọi vị trí chân thang là điểm A, đầu thang là điểm B và hình chiếu vuông góc của đầu thang với mặt đất là điểm C.
Ta thấy AB = 3,2 m, BC = 3 m và tam giác ACB vuông tại C.
Ta có: \(\sin \alpha = \frac{{BC}}{{BA}} = \frac{3}{{3,2}} = \frac{{15}}{{16}}\)
Dùng MTCT tính được α ≈ 70°.
Vậy thang tạo với mặt đất góc α xấp xỉ bằng 70°.
Giải SBT Toán 9 trang 46 KNTT tập 1
Bài 4.10 trang 46. Một cái diều có dây diều dài 8 m, khi dây diều căng thì diều bay ở độ cao 6 m. Hỏi khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng bao nhiêu độ (H.4.7)?
Hướng dẫn giải
Kí hiệu hình vẽ:
Gọi vị trí của điều là B, đầu dây diều là C, hình chiếu vuông góc của diều tới phương ngang của đầu dây điều là A.
Ta thấy BC = 8 m, AB = 6 m và tam giác BAC vuông tại A.
Ta có: \(\;sin\alpha = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)
Dùng MTCT tính được α ≈ 49°.
Vậy khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn α xấp xỉ bằng 49°.
Bài 4.11 trang 46. Chứng minh tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng 1 là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A có tan B = 1.
Khi đó ta có: \(\tan B = \frac{{AB}}{{AC}} = 1\) hay AB = AC.
Suy ra tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng 1 là tam giác vuông cân.
Bài 4.12 trang 46. a) Tính các góc của tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
b) Một hình chữ nhật có kích thước 3 và \(\sqrt 3\). Tính các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật đó.
Hướng dẫn giải
a) Gọi \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Suy ra α = 30°.
Góc nhọn còn lại là 90° – 30° = 60° .
Vậy hai góc nhọn của tam giác vuông đó có độ lớn là 30° và 60°.
b) Đường chéo hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành 2 hình tam giác với độ dài 2 cạnh là 3 và \(\sqrt 3\).
Gọi hai góc tạo bởi đường chéo hình chữ nhật và hai cạnh hình chữ nhật là α và 90° – α.
Đặt \(\tan \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Theo câu a, ta có α = 30° và 90° – α = 60° .
Vậy hai góc tạo bởi đường chéo hình chữ nhật với cạnh của hình chữ nhật đó có độ lớn là 30° và 60°.
Bài 4.13 trang 46. Dùng MTCT, hãy tìm tang và côtang của góc nhọn α khi α lần lượt bằng 10°, 20°, 30°, 40° (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).
Hướng dẫn giải
Sử dụng MTCT, ta tìm được tang và côtang của góc nhọn α, sau đó làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba.
Ta có bảng giá trị như sau:
Bài 4.14 trang 46. Tính tang, côtang của góc kề đáy của tam giác cân biết cạnh đáy dài 8 cm, đường cao ứng với đáy dài 5 cm.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Xét tam giác ADB cân tại D có AB = 8 cm, C là trung điểm AB.
Suy ra DC vuông góc với AB hay tam giác ACD vuông tại C và DC = 5 cm.
\(AC = \frac{{AB}}{2} = \frac{8}{2} = 4\;\) (cm).
Xét tam giác vuông ACD, ta có: \(\tan A = \frac{{CD}}{{AC}} = \frac{5}{4},\;\cot A = \frac{{AC}}{{CD}} = \frac{4}{5}\)
Vậy tan và cotan của góc kề đáy của tam giác đó có giá trị lần lượt là \(\frac{5}{4}\) và \(\frac{4}{5}\).
Bài 4.15 trang 46. Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin α, cos α, tan α, cot α hãy chứng minh rằng:
a) \(\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)
b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
a) Xét tam giác ABC vuông tại A với góc B là góc α, ta có:
\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}},\;\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}\)
Khi đó:
\(\frac{{\sin B}}{{\cos C}} = \frac{{AC}}{{BC}}:\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AC}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \tan B\)
\(\frac{{\cos B}}{{\cos C}} = \frac{{AB}}{{BC}}:\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AB}}{{BC}} \cdot \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \cot B\)
Vậy \(\;\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\;\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) (đpcm).
b) Ta có:
\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = 1\) (định vì AB2 + AC2 = BC2).
Suy ra sin2 α + cos2 α = 1.
Do đó \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) (dpcm).
Bài 4.16 trang 46. Cho góc α có \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\). Tính sin α, cos α.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\)
Suy ra \({\cos ^2}\alpha = \frac{{16}}{{25}}\;\) hay \(\;\cos \alpha = \frac{4}{5}\)
Vì \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) suy ra \(\sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = \frac{3}{4}.\frac{4}{5} = \frac{3}{5}\)
Vậy \(\cos \alpha = \frac{4}{5};\;\sin \alpha = \frac{3}{5}\).
Bài 4.17 trang 46. Với α < β < 90°, chứng minh rằng:
a) cos α > cos β (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4.15);
b) sin α < sin β (HD. Sử dụng công thức sin2α + cos2 α = 1).
Hướng dẫn giải
Theo Ví dụ 5, khi số đo góc nhọn α tăng lên thì tan α tăng nên, suy ra với α < β < 90° thì tan α > tan β.
a) Ta có:
\(\tan \alpha < \tan \beta\)
\({\tan ^2}\alpha < {\tan ^2}\beta\)
\(1 + {\tan ^2}\alpha < 1 + {\tan ^2}\beta\)
\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} < \frac{1}{{{{\cos }^2}\beta }}\)
\({\cos ^2}\alpha > {\cos ^2}\beta\)
cos α > cos β (đpcm).
b) Theo câu a ta có: cos α > cos β
\({\cos ^2}\alpha > {\cos ^2}\beta\)
\(\begin{array}{l}
1 - {\cos ^2}\alpha < 1 - {\cos ^2}\beta \\
{\sin ^2}\alpha < {\sin ^2}\beta
\end{array}\)
sin α < sin β (đpcm).
