SBT Toán 9 KNTT Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng
Giải SBT Toán 9 KNTT hệ thức lượng trong tam giác vuông
SBT Toán 9 KNTT: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng tổng hợp lời giải các bài tập về mối liên hệ giữa cạnh và góc của tam giác vuông. Nội dung Giải sách bài tập Toán 9 KNTT tập 1 giúp học sinh vận dụng hệ thức lượng, tỉ số lượng giác và kiến thức hình học vào giải bài tập.
Giải SBT Toán 9 trang 49 KNTT tập 1
Bài 4.18 trang 49. Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy tính cos C theo hai cách và suy ra AC2 = BC . HC.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: 
\(\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}\)
Xét tam giác HAC vuông tại H ta có: \(\cos C = \frac{{HC}}{{AC}}\)
Suy ra \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{HC}}{{AC}}\) hay \({\rm{ }}A{C^2}\; = BC.HC\) (đpcm).
Bài 4.19 trang 49. Gọi AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A. Tính \(\tan \widehat {ABH}\) và \(\tan \widehat {CAH}\), suy ra AH2 = BH . CH.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác vuông ABH có \(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}}\).
Xét tam giác vuông CAH có \(\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{CH}}\;\).
Vì hai góc BAH và CAH là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên ta có:
\(\tan \widehat {ABH} = \cot \widehat {ACH} = \frac{1}{{\tan \widehat {ACH}}}\;\) hay \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{CH}}{{AH}}\)
Suy ra AH2 = BH . CH (đpcm)
Bài 4.20 trang 49. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)
Ta có \(\sin {\rm{ }}B = \;\frac{{AH}}{{AB}},\sin C = \;\frac{{AH}}{{AC}},\cos {\rm{ }}B = \sin C\) và áp dụng công thức sin2α + cos2 α = 1 với mọi góc nhọn α).
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: \(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}}\)
Xét tam giác ACH vuông tại H ta có: \(\;\tan ACH = \frac{{AH}}{{HC}}\)
Vì \(\widehat {ABH}\) và \(\widehat {ACH}\) là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên:
\(\tan \widehat {ABH} = \cot \widehat {ACH} = \frac{1}{{\tan {{\widehat {ACH}}^\;}}}\) hay \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HC}}{{AH}}\)
Suy ra AH2 = BH . CH (đpcm).
Bài 4.21 trang 49. Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, \(\widehat {ABC} = {38^0};\widehat {ACB} = {30^0}\). Gọi H là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AH.
Hướng dẫn giải
Vì hai góc B và C của tam giác ABC đều nhọn nên đường cao AH có chân đường cao H nằm giữa B và C.
Gọi h (cm) là độ dài đường cao AH của tam giác ABC.
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
\(\tan \widehat {ABH} = \frac{{AH}}{{BH}}\)hay \(\tan {38^0} = \frac{h}{{BH}}\), suy ra \(BH = \frac{h}{{\tan {{38}^0}}}\)
Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:
\(\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{CH}}\) hay \(\tan {30^0} = \frac{h}{{CH}}\), suy ra \(CH = \frac{h}{{\tan {{30}^0}}}\)
Ta có: BC=BH+CH
Hay \(11 = \frac{h}{{tan38^\circ }} + \frac{h}{{tan30^\circ }} = h\left( {\frac{1}{{tan38^\circ }} + \frac{1}{{tan30^\circ }}} \right)\)
Do đó \(h = \frac{{11}}{{\frac{1}{{tan38^\circ }} + \frac{1}{{tan30^\circ }}}} \approx 3,652\left( {cm} \right)\)
Vậy AH ≈ 3,652 cm.
Bài 4.22 trang 49. Giải tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, BC = a, CA = b trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):
a) \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}5,\widehat {\;B\;} = {\rm{ }}50^\circ\)
b) \(b{\rm{ }} = {\rm{ }}5,\;\widehat B\; = {\rm{ }}40^\circ\)
c) \(b{\rm{ }} = {\rm{ }}5,\;\widehat C\; = {\rm{ }}55^\circ\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\)
\(b = a.\sin B = 5.\sin 50^\circ \approx 3,830\)
\(c = a.\sin C = 5.\sin 40^\circ \approx 3,214\)
Vậy tam giác ABC có: \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}5,{\rm{ }}b{\rm{ }} \approx {\rm{ }}3,830,{\rm{ }}c{\rm{ }} \approx {\rm{ }}3,214,\;\widehat A = 90^\circ ,\widehat B = 50^\circ ,\widehat C = 40^\circ\)
b) Ta có:
\(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\)
\(a = b\sin B = 5\sin 40^\circ \approx 7,779\)
\(c = b.\cot 40^\circ = 5.\cot 40^\circ \approx 5,959\)
c) Ta có: \(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ\)
\(\begin{array}{l}
a = b\cos C = 5\cos 55^\circ \approx 8,717\\
c = b.\tan C = 5.\tan 55^\circ \approx 7,141
\end{array}\)
Bài 4.23 trang 49. Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, MN = n (mét), MP = p (mét), p > n và \(\widehat {MPA} = \alpha\) (H.4.12). Chứng minh rằng: \(AB = \frac{{p\tan \alpha - n}}{{\sin \alpha }}\).
Hướng dẫn giải
Vì AN và PM cùng vuông góc với MN nên AN // PM.
Vì AN // PM nên \(\widehat {BAN} = \widehat {BPM} = \alpha\)
+ Xét tam giác BAN vuông tại N ta có:
\(BN = AB\sin \widehat {BAN} = AB.\sin \alpha\)
+ Xét tam giác BPM vuông tại M ta có:
\(BN = AB\sin \widehat {BAN} = AB.\sin \alpha\)
Ta có: BM – BN = MN
p . tan α – AB . sinα = n
AB . sinα = p . tanα – n
\(AB = \frac{{p\tan \alpha - n}}{{\sin \alpha }}\) (đpcm).
Bài 4.24 trang 49. Một người đứng xa toà nhà 100 m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn 15° (so với phương nằm ngang) (H.4.13). Hỏi toà nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là 1,7 m?
Hướng dẫn giải
Gọi C là chân tòa nhà, D là điểm trên nóc tòa nhà, A là điểm đặt mắt giác kế.
Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, ta có:
CH = 1,7 m, AH = 100 m, \(\widehat {DAH} = {15^0}\)
Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có:
\(HD = AH.\tan \widehat {DAH} = 100.\tan {15^0}\)
Do đó CD = CH + HD = 1,7 + 100 . tan 15° ≈ 28,5 (m)
Vậy tòa nhà cao xấp xỉ 28,5 m.
Giải SBT Toán 9 trang 50 KNTT tập 1
Bài 4.25 trang 50. Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa với \(\widehat {CAB} = {50^o},\widehat {CBA} = {45^o}\)(H.4.14). Hỏi tàu còn cách đường thẳng AB bao nhiêu mét
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC thì H nằm giữa A và B vì hai góc A, B đều nhọn.
Tam giác ACH vuông tại H \(\Rightarrow AH = HC.\cot A\)
Tam giác BCH vuông tại H \(\Rightarrow BH = HC.\cot B\)
\(\Rightarrow AB = AH + BH = HC.\cot A + HC.\cot B\)
\(\Rightarrow HC = \frac{{AB}}{{\cot A + \cot B}} = \frac{2}{{\cot {{50}^0} + \cot {{45}^0}}}\)\(\approx 1,087\left( {km} \right) = 1807\left( m \right)\)
Bài 4.26 trang 50. Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao 1 800 m. Khẩu pháo cao xạ ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc 35° so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Gọi vị trí của khẩu pháo cao xạ là A, vị trí máy bay là B, C là vị trí hình chiếu của máy bay với mặt đất.
Khi đó ta có: \(BC{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}800{\rm{ }}m,{\rm{ }}\widehat {B{\rm{ }}A{\rm{ }}C{\rm{ }}} = {35^0}\)
=> Khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay là độ dài đoạn AB
Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:
\(AB = BC.\sin {\rm{ }}A = 1800.\sin {35^0} \approx 3138\left( m \right.)\)
Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay xấp xỉ bằng 3 138 m.
Bài 4.27 trang 50. Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300 m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc 25° (so với phương nằm ngang của mực nước biển).
Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Gọi vị trí đài quan sát là A, vị trí chân đài quan sát là H, vị trí con tàu là B.
Khi đó ta có: \(AH = 300{\rm{ }}m,\widehat {ABH} = {25^0}\)
=> Khhoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát là đoạn BH.
Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:
\(BH = AH.\cot \widehat {{\rm{ }}ABH} = 300.\cot {25^0} \approx {\rm{ }}643{\rm{ }}\left( m \right)\)
Vậy khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát xấp xỉ 643 m.
