Tổng hợp kiến thức Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10
Công thức tích vô hướng của hai vectơ Toán 10
Bài viết Tổng hợp kiến thức Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10 giúp học sinh nắm vững định nghĩa, công thức và các tính chất quan trọng của phép nhân vô hướng giữa hai vectơ. Đây là nội dung trọng tâm trong chương Vectơ của chương trình Toán 10, giúp bạn hiểu rõ mối liên hệ giữa vectơ và góc tạo bởi chúng, đồng thời biết vận dụng công thức Toán 10 vào giải các bài tập hình học và đại số.
A. Cách tính góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ 
\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) đều khác \(\overrightarrow{0}\). Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ \(\overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}\). Số đo góc \(AOB\) được gọi là số đo góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
- Quy ước: Nếu \(\overrightarrow{a} =
\overrightarrow{0}\) hoặc \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}\) thì ta xem góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là tùy ý (từ \(0^{0}\) đến \(180^{0}\)).
- Kí hiệu: \(\left(
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)\)
B. Tích vô hướng của hai vectơ
Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số thực được xác định bởi: \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \left|
\overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b}
\right|.cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\).
C. Tính chất
Với ba véc tơ bất kì \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) và mọi số thực k ta luôn có:
\(\begin{matrix}1)\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} =\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a} \hfill\\2)\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b} \pm \overrightarrow{c}) =\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \pm\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\hfill \\3)(k\overrightarrow{a})\overrightarrow{b} =k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}) =\overrightarrow{a}(k\overrightarrow{b})\hfill \\4){\overrightarrow{a}}^{2} \geq 0,{\overrightarrow{a}}^{2} = 0\Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\end{matrix}\)
Chú ý: Ta có kết quả sau:
+ Nếu hai véc tơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) thì \(\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}
\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0\)
+ \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} =
{\overrightarrow{a}}^{2} = \left| \overrightarrow{a}
\right|^{2}\) gọi là bình phương vô hướng của véc tơ \(\overrightarrow{a}\).
+ \((\overrightarrow{a} \pm
\overrightarrow{b})^{2} = {\overrightarrow{a}}^{2} \pm
2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + {\overrightarrow{b}}^{2},\
(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})(\overrightarrow{a} -
\overrightarrow{b}) = {\overrightarrow{a}}^{2} -
{\overrightarrow{b}}^{2}\)
D. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn.
a) Công thức hình chiếu
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{AB},\ \
\overrightarrow{CD}\). Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} =
\overrightarrow{A'B'}.\overrightarrow{CD}\)
b) Phương tích của một điểm với đường tròn
Cho đường tròn \((O;R)\) và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\) được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn \((O;R)\). Kí hiệu là \(P_{M/(O)}\).
Chú ý: Ta có \(P_{M/(O)} =
\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = MO^{2} - R^{2} =
MT^{2}\) với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M
E. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a} =
(x_{1};y_{1})\) và \(\overrightarrow{b}
= (x_{2};y_{2})\). Khi đó
1) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}
= x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}\)
2) \(\overrightarrow{a} = (x;y) \Rightarrow
|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)
3)\(\cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}) =\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a}\right|\left| \overrightarrow{b} \right|} = \frac{x_{1}x_{2} +y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2} +y_{2}^{2}}}\)
Hệ quả:
+ \(\overrightarrow{a}\bot\overrightarrow{b}
\Leftrightarrow x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} = 0\)
+ Nếu \(A(x_{A};y_{A})\) và \(B(x_{B};y_{B})\) thì \(AB = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} -
y_{A})^{2}}\)
F. Các dạng toán thường gặp
Chủ đề 1. Tìm góc giữa hai vectơ
Chủ đề 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ
Chủ đề 3. Chứng minh đẳng thức vectơ về tích vô hướng
Chủ đề 4. Xác định tập hợp điểm thỏa mãn biểu thức tích vô hướng
Chủ đề 5. Ứng dụng thực tế tích vô hướng
Chủ đề 6. Bài toán biểu thức tọa độ tích vô hướng trong mặt phẳng Oxy
--------------------------------------------------
Qua bài viết Tổng hợp kiến thức Tích vô hướng của hai vectơ Toán 10, bạn đã nắm vững định nghĩa, công thức và các tính chất quan trọng của phép nhân vô hướng. Việc hiểu rõ mối liên hệ giữa vectơ và góc tạo bởi chúng sẽ giúp bạn vận dụng linh hoạt trong các bài toán hình học và phương pháp tọa độ. Hãy tiếp tục ôn tập các công thức Toán 10 khác để củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập cũng như kỳ thi THPT Quốc gia.
