Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 4: Số phức

Giải SBT Toán lớp 12

Toán 12 - Số phức

VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 4: Số phức, với nội dung được tổng hợp chi tiết và chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 12 bài 2: Phép cộng và phép nhân các số phức

Giải SBT Toán 12 bài 3: Phép chia số phức

Giải SBT Toán 12 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 4

Câu 4.33 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i)

b) ${{2 + i\sqrt 2 } \over {1 - i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 - i\sqrt 2 }}$ ${{2 + i\sqrt 2 } \over {1 - i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 - i\sqrt 2 }}$

c) ${{(1 + i)(2 + i)} \over {2 - i}} + {{(1 + i)(2 - i)} \over {2 + i}}$ ${{(1 + i)(2 + i)} \over {2 - i}} + {{(1 + i)(2 - i)} \over {2 + i}}$

Hướng dẫn làm bài

a) 18

b) ${3 \over 2}i\sqrt 2$ ${3 \over 2}i\sqrt 2$

c) ${6 \over 5}(1 + i)$ ${6 \over 5}(1 + i)$

Câu 4.34 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính:

a) ${(2 + i\sqrt 3 )^2}$ ${(2 + i\sqrt 3 )^2}$

b) ${(1 + 2i)^3}$ ${(1 + 2i)^3}$

c) ${(3 - i\sqrt 2 )^2}$ ${(3 - i\sqrt 2 )^2}$

d) ${(2 - i)^3}$ ${(2 - i)^3}$

Hướng dẫn làm bài

a) $1 + 4i\sqrt 3$ $1 + 4i\sqrt 3$

b) - 11 - 2i

c) $7 - 6i\sqrt 2$ $7 - 6i\sqrt 2$

d) 2 - 11i

Câu 4.35 trang 210 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Thực hiện các phép tính:

a) ${(2 + 3i)^2} - {(2 - 3i)^2}$ ${(2 + 3i)^2} - {(2 - 3i)^2}$

b) ${{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 - i)}^3}}}$ ${{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 - i)}^3}}}$

Hướng dẫn làm bài

a) 24i

b) 2

Câu 4.36 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = –7 + 3i

b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)]

Hướng dẫn làm bài

a) $(1 + 2i)x = - 3 - 2i$

$\Rightarrow x = - {{3 + 2i} \over {1 + 2i}} = - {{7 - 4i} \over 5} = - {7 \over 5} + {4 \over 5}i$ $\Rightarrow x = - {{3 + 2i} \over {1 + 2i}} = - {{7 - 4i} \over 5} = - {7 \over 5} + {4 \over 5}i$

b) $(2 - 2i)x = - (11 + 3i)$

$\Rightarrow x = - {{11 + 3i} \over {2(1 - i)}} = - 2 - {7 \over 2}i$ $\Rightarrow x = - {{11 + 3i} \over {2(1 - i)}} = - 2 - {7 \over 2}i$

Câu 4.37 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) $3{x^2} + (3 + 2i\sqrt 2 )x - {{{{(1 + i)}^3}} \over {1 - i}} = i\sqrt 8 x$ $3{x^2} + (3 + 2i\sqrt 2 )x - {{{{(1 + i)}^3}} \over {1 - i}} = i\sqrt 8 x$

b) ${(1 - ix)^2} + (3 + 2i)x - 5 = 0$ ${(1 - ix)^2} + (3 + 2i)x - 5 = 0$

Hướng dẫn làm bài

a) $3{x^2} + 3x + 2 = 0$ $3{x^2} + 3x + 2 = 0$

$\Rightarrow {x_{1,2}} = {{ - 3 \pm i\sqrt {15} } \over 6}$ $\Rightarrow {x_{1,2}} = {{ - 3 \pm i\sqrt {15} } \over 6}$

b) $- {x^2} + 3x - 4 = 0$ $- {x^2} + 3x - 4 = 0$

$\Rightarrow {x_{1,2}} = {{3 \pm i\sqrt 7 } \over 2}$ $\Rightarrow {x_{1,2}} = {{3 \pm i\sqrt 7 } \over 2}$

Câu 4.38 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm số phức z, biết:

a) $\bar z = {z^3}$ $\bar z = {z^3}$

b) $|z| + z = 3 + 4i$

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có $z\bar z = |z{|^2}$ $z\bar z = |z{|^2}$ nên từ $\bar z = {z^3} \Rightarrow |z{|^2} = {z^4}$ $\bar z = {z^3} \Rightarrow |z{|^2} = {z^4}$

Đặt z = a+ bi , suy ra:

${a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} - {b^2})i = {a^2} + {b^2} (*)$ ${a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} + 4ab({a^2} - {b^2})i = {a^2} + {b^2} (*)$

Do đó, ta có: $4ab({a^2} - {b^2}) = 0 (**)$ $4ab({a^2} - {b^2}) = 0 (**)$

Từ (**) suy ra các trường hợp sau:

+) a = b = 0 ⟹ z = 0

+) $a = 0,b \ne 0$ $a = 0,b \ne 0$: Thay vào (*), ta có ${b^4} = {b^2} \Rightarrow b = \pm 1 \Rightarrow z = \pm i$ ${b^4} = {b^2} \Rightarrow b = \pm 1 \Rightarrow z = \pm i$

+) $b = 0,a \ne 0$ $b = 0,a \ne 0$: Tương tự, ta có $a = \pm 1 \Rightarrow z = \pm 1$ $a = \pm 1 \Rightarrow z = \pm 1$

+) $a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Rightarrow {a^2} = {b^2}$ $a \ne 0,b \ne 0 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 0 \Rightarrow {a^2} = {b^2}$, thay vào (*), ta có:

2a²(2a² + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn vì $a \ne 0$ $a \ne 0$

b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra

$\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow b = 4$ $\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 3 + 4i \Rightarrow b = 4$ và $\sqrt {{a^2} + 16} + a = 3$ $\sqrt {{a^2} + 16} + a = 3$

$\Rightarrow {a^2} + 16 = {(3 - a)^2} = 9 - 6a + {a^2}$ $\Rightarrow {a^2} + 16 = {(3 - a)^2} = 9 - 6a + {a^2}$

$\Rightarrow 6a = - 7 \Rightarrow a = - {7 \over 6}$ $\Rightarrow 6a = - 7 \Rightarrow a = - {7 \over 6}$

Vậy $z = - {7 \over 6} + 4i$ $z = - {7 \over 6} + 4i$

Câu 4.39 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ {\matrix{{|z - 2i| = |z|} \cr {|z - i| = |z - 1|} \cr} } \right.$ $\left\{ {\matrix{{|z - 2i| = |z|} \cr {|z - i| = |z - 1|} \cr} } \right.$

Hướng dẫn làm bài

Đặt z = x + yi, ta được hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {(y - 2)^2} = {x^2} + {y^2} \hfill \cr {x^2} + {(y - 1)^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} \hfill \cr} \right.$ $\left\{ \matrix{ {x^2} + {(y - 2)^2} = {x^2} + {y^2} \hfill \cr {x^2} + {(y - 1)^2} = {(x - 1)^2} + {y^2} \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \left\{ {\matrix{{y = 1} \cr {x = y} \cr} } \right. \Rightarrow x = 1,y = 1$ $\Rightarrow \left\{ {\matrix{{y = 1} \cr {x = y} \cr} } \right. \Rightarrow x = 1,y = 1$

Vậy z = 1 + i.

Câu 4.40 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng tỏ rằng ${{z - 1} \over {z + 1}}$ ${{z - 1} \over {z + 1}}$ là số thực khi và chỉ khi z là một số thực khác – 1.

Hướng dẫn làm bài

Hiển nhiên nếu $z \in R,z \ne - 1$ $z \in R,z \ne - 1$ thì ${{z - 1} \over {z + 1}} \in R$ ${{z - 1} \over {z + 1}} \in R$

Ngược lại, nếu ${{z - 1} \over {z + 1}} = a \in R$ ${{z - 1} \over {z + 1}} = a \in R$ thì $z - 1 = az + a$ và $a \ne 1$ $a \ne 1$

Suy ra $(1 - a)z = a + 1\Rightarrow z = {{a + 1} \over {1 - a}} \in R$ $(1 - a)z = a + 1\Rightarrow z = {{a + 1} \over {1 - a}} \in R$ và hiển nhiên $z \ne - 1$ $z \ne - 1$

Câu 4.41 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm phần ảo của số phức z, biết $\bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 - i\sqrt 2 )$ $\bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 - i\sqrt 2 )$

(Đề thi đại học năm 2010, khối A)

Hướng dẫn làm bài

$\eqalign{ & \bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 - i\sqrt 2 ) \cr & = \left( {2 + 2\sqrt 2 i + {i^2}} \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \cr & = \left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \cr & = 1 - \sqrt 2 i + 2\sqrt 2 i - 4{i^2} \cr & = 5 + \sqrt 2 i \cr & \Rightarrow z = 5 - \sqrt 2 i \cr}$ $\eqalign{ & \bar z = {(\sqrt 2 + i)^2}(1 - i\sqrt 2 ) \cr & = \left( {2 + 2\sqrt 2 i + {i^2}} \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \cr & = \left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) \cr & = 1 - \sqrt 2 i + 2\sqrt 2 i - 4{i^2} \cr & = 5 + \sqrt 2 i \cr & \Rightarrow z = 5 - \sqrt 2 i \cr}$

Phân ảo của số phức $z = - \sqrt 2$ $z = - \sqrt 2$

Câu 4.42 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn $| z – (3 – 4i)| = 2$

(Đề thi Đại học năm 2009, khối D)

Hướng dẫn làm bài

Đặt $z = x + yi$. Từ $|z – (3 – 4i)| = 2$ suy ra:

${(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} = 4$ ${(x - 3)^2} + {(y + 4)^2} = 4$

Các điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm I(3; -4) bán kính 2.

Câu 4.43 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện $| z – i| = |(1 + i)z|$

(Đề thi Đại học năm 2010, khối B)

Hướng dẫn làm bài

Đặt $z = x + yi$. Từ $|z – i| = |(1 + i)z|$ suy ra:

${x^2} + {{(y +1)}^2} = 2$ ${x^2} + {{(y +1)}^2} = 2$

Các điểm biểu diễn z nằm trên đường tròn tâm I(0; -1) bán kính $\sqrt 2$ $\sqrt 2$.

Câu 4.44 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm số phức z thỏa mãn: $|z - (2 + i)| = \sqrt {10}$ $|z - (2 + i)| = \sqrt {10}$ và $z\bar z = 25$ $z\bar z = 25$

(Đề thi đại học năm 2009, khối B)

Hướng dẫn làm bài

Đặt $z = x + yi$. Từ điều kiện của đầu bài ta được:

${(x – 2)}^2 + {(y – 1)}^2 = 10$ ${(x – 2)}^2 + {(y – 1)}^2 = 10$ và $x^2 + y^2 = 25$

Đáp số: z = 5 và $z = 3 + 4i$

Câu 4.45 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm số phức z, biết: $z - (2 + 3i)\bar z = 1 - 9i$ $z - (2 + 3i)\bar z = 1 - 9i$

(Đề thi đại học năm 2011, khối D)

Hướng dẫn làm bài:

Đặt z = x + yi. Từ điều kiện của đầu bài ta được

$\left\{ {\matrix{{ - x - 3y = 1} \cr {3y - 3x = - 9} \cr} } \right.$ $\left\{ {\matrix{{ - x - 3y = 1} \cr {3y - 3x = - 9} \cr} } \right.$

Đáp số: z = 2 – i .

Câu 4.46 trang 211 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm số phức z thỏa mãn: $|z| = \sqrt 2$ $|z| = \sqrt 2$ và z² là số thuần ảo.

(Đề thi Đại học năm 2010, khối D).

Hướng dẫn làm bài

Đặt z = x + yi . Từ điều kiện của đầu bài ta có: $x = \pm y$ $x = \pm y$ và ${x^2} + {y^2} = 2$ ${x^2} + {y^2} = 2$

Vậy $z \in {\rm{\{ }}1 + i;1 - i; - 1 + i; - 1 - i\}$ $z \in {\rm{\{ }}1 + i;1 - i; - 1 + i; - 1 - i\}$

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 4: Số phức. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.