Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Giải SBT Toán 12 bài 1: Nguyên hàm

Toán 12 - Nguyên hàm

VnDoc xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 1: Nguyên hàm, nội dung tài liệu được cập nhật chi tiết và chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập.

Giải SBT Toán 12 bài 1

Bài 3.1 Trang 170 sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Bài 3.1. Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

a) f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )f(x)=ln(x+1+x2)g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}g(x)=11+x2

b) f(x) = {e^{\sin x}}\cos xf(x)=esinxcosxg(x) = {e^{\sin x}}g(x)=esinx

c) f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}f(x)=sin21xg(x) = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}g(x)=1x2sin2x

d) f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}f(x)=x1x22x+2g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}g(x)=x22x+2

e) f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}f(x)=x2e1xg(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}g(x)=(2x1)e1x

Hướng dẫn làm bài

a) Hàm số f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )f(x)=ln(x+1+x2) là một nguyên hàm của g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}g(x)=11+x2

b) Hàm số g(x) = {e^{\sin x}}g(x)=esinx là một nguyên hàm của hàm số f(x) = {e^{\sin x}}\cos xf(x)=esinxcosx

c) Hàm số f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}f(x)=sin21x là một nguyên hàm của hàm số g(x) = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}g(x)=1x2sin2x

d) Hàm số g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2}g(x)=x22x+2 là một ng uyên hàm của hàm số f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}f(x)=x1x22x+2

e) Hàm số f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}f(x)=x2e1x là một nguyên hàm của hàm số g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}g(x)=(2x1)e1x

Bài 3.2 trang 170 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a) F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}}F(x)=x2+6x+12x3G(x) = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}G(x)=x2+102x3

b) F(x) = {1 \over {{{\sin }^2}x}}F(x)=1sin2xG(x) = 10 + {\cot ^2}xG(x)=10+cot2x

c) F(x) = 5 + 2{\sin ^2}xF(x)=5+2sin2xG(x) = 1 - \cos 2xG(x)=1cos2x

Hướng dẫn làm bài

a) Vì F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}} + 3 = G(x) + 3F(x)=x2+6x+12x3=x2+102x3+3=G(x)+3 nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của f(x) = {{2{x^2} - 6x - 20} \over {{{(2x - 3)}^2}}}f(x)=2x26x20(2x3)2

b) Vì G(x) = 10 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9G(x)=10+cot2x=1sin2x+9=F(x)+9, nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của f(x) = - {{2\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}f(x)=2cosxsin3x

c) Vì FF(x)=(5+2sin2x)=2sin2xGG(x)=(1cos2x)=2sin2x, nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x

Bài 3.3 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = {(x - 9)^4}f(x)=(x9)4

b) f(x) = {1 \over {{{(2 - x)}^2}}}f(x)=1(2x)2

c) f(x) = {x \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}f(x)=x1x2

d) f(x) = {1 \over {\sqrt {2x + 1} }}f(x)=12x+1

e) f(x) = {{1 - \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}f(x)=1cos2xcos2x

g) f(x) = {{2x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}f(x)=2x+1x2+x+1

Hướng dẫn làm bài

a) F(x) = {{{{(x - 9)}^5}} \over 5} + CF(x)=(x9)55+C

b) F(x) = {1 \over {2 - x}} + CF(x)=12x+C

c) F(x) = - \sqrt {1 - {x^2}} + CF(x)=1x2+C

d) F(x) = \sqrt {2x + 1} + CF(x)=2x+1+C

e) F(x) = 2(\tan x - x) + CF(x)=2(tanxx)+C

HD: Vì f(x) = 2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = 2({1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1)f(x)=2sin2xcos2x=2(1cos2x1)

g) F(x) = \ln ({x^2} + x + 1) + CF(x)=ln(x2+x+1)+C. HD: Đặt u = x2 + x + 1, ta có u’ = 2x + 1

Bài 3.4 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \int {{x^2}\root 3 \of {1 + {x^3}} } dxx21+x33dx với x > - 1 (đặt t = 1 + x3)

b) \int {x{e^{ - {x^2}}}} dxxex2dx (đặt t = x2)

c) \int {{x \over {{{(1 + {x^2})}^2}}}} dxx(1+x2)2dx (đặt t = 1 + x2)

d) \int {{1 \over {(1 - x)\sqrt x }}} dx1(1x)xdx (đặt t = \sqrt xt=x)

e) \int {\sin {1 \over x}.{1 \over {{x^2}}}} dxsin1x.1x2dx (Đặt t = {1 \over x}t=1x)

g) \int {{{{{(\ln x)}^2}} \over x}} dx(lnx)2xdx (đặt t = \ln xt=lnx)

h) \int {{{\sin x} \over {\root 3 \of {{{\cos }^2}x} }}} dxsinxcos2x3dx (đặt t = cos x)

i) \int {\cos x} {\sin ^3}xdxcosxsin3xdx (đặt t = sin x)

k) \int {{1 \over {{e^x} - {e^{ - x}}}}} dx1exexdx (đặt t = {e^x}t=ex)

l) \int {{{\cos x + \sin x} \over {\sqrt {\sin x - \cos x} }}} dxcosx+sinxsinxcosxdx (đặt t = \sin x - \cos xt=sinxcosx)

Hướng dẫn làm bài

a) {1 \over 4}{(1 + {x^3})^{{4 \over 3}}} + C14(1+x3)43+C

b) - {1 \over 2}{e^{ - {x^2}}} + C12ex2+C

c) - {1 \over {2(1 + {x^2})}} + C12(1+x2)+C

d) \ln |{{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}| + Cln|1+x1x|+C

e) \cos {1 \over x} + Ccos1x+C

g) {1 \over 3}{(\ln x)^3} + C13(lnx)3+C

h) - 3\root 3 \of {\cos x} + C3cosx3+C

i) {1 \over 4}{\sin ^4}x + C14sin4x+C

k) {1 \over 2}\ln |{{{e^x} - 1} \over {{e^x} + 1}}| + C12ln|ex1ex+1|+C

l) 2\sqrt {\sin x - \cos x} + C2sinxcosx+C

Bài 3.5 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \int {(1 - 2x){e^x}} dx(12x)exdx

b) \int {x{e^{ - x}}dx}xexdx

c) \int {x\ln (1 - x)dx}xln(1x)dx

d) \int {x{{\sin }^2}xdx}xsin2xdx

e) \int {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dxln(x+1+x2)dx

g) \int {\sqrt x {{\ln }^2}xdx}xln2xdx

h) \int {x\ln {{1 + x} \over {1 - x}}dx}xln1+x1xdx

Hướng dẫn làm bài

a) (3 - 2x){e^x} + C(32x)ex+C

b) - (1 + x){e^{ - x}} + C(1+x)ex+C

c) {{{x^2}} \over 2}\ln (1 - x) - {1 \over 2}\ln (1 - x) - {1 \over 4}{(1 + x)^2} + Cx22ln(1x)12ln(1x)14(1+x)2+C

d) {{{x^2}} \over 4} - {x \over 4}\sin 2x - {1 \over 8}\cos 2x + Cx24x4sin2x18cos2x+C

HD: Đặt u = x, dv = sin2xdx

e) x\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ) - \sqrt {1 + {x^2}} + Cxln(x+1+x2)1+x2+C

HD: Đặt u = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )u=ln(x+1+x2) và dv = dx

g) {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}({(\ln x)^2} - {4 \over 3}\ln x + {8 \over 9}) + C23x32((lnx)243lnx+89)+C

HD: Đặt u = {\ln ^2}x;dv = \sqrt x dxu=ln2x;dv=xdx

h) x - {{1 - {x^2}} \over 2}\ln {{1 + x} \over {1 - x}} + Cx1x22ln1+x1x+C

HD: u = \ln {{1 + x} \over {1 - x}},dv = xdxu=ln1+x1x,dv=xdx

Bài 3.6 trang 172 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau:

a) \int {x{{(3 - x)}^5}dx}x(3x)5dx

b) \int {{{({2^x} - {3^x})}^2}} dx(2x3x)2dx

c) \int {x\sqrt {2 - 5x} dx}x25xdx

d) \int {{{\ln (\cos x)} \over {{{\cos }^2}x}}} dxln(cosx)cos2xdx

e) \int {{x \over {{{\sin }^2}x}}} dxxsin2xdx

g) \int {{{x + 1} \over {(x - 2)(x + 3)}}dx}x+1(x2)(x+3)dx

h) \int {{1 \over {1 - \sqrt x }}} dx11xdx

i) \int {\sin 3x\cos 2xdx}sin3xcos2xdx

k) \int {{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^2}x}}} dxsin3xcos2xdx

l) \int {{{\sin x\cos x} \over {\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} }}} dx,({a^2} \ne {b^2})sinxcosxa2sin2x+b2cos2xdx,(a2b2)

HD: Đặt u = \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}u=a2sin2x+b2cos2x

Hướng dẫn làm bài

a) {(3 - x)^6}({{3 - x} \over 7} - {1 \over 2}) + C(3x)6(3x712)+C

HD: t = 3 – x

b) {{{4^x}} \over {\ln 4}} - 2{{{6^x}} \over {\ln 6}} + {{{9^x}} \over {\ln 9}} + C4xln426xln6+9xln9+C

c) - {{8 + 30x} \over {375}}{(2 - 5x)^{{3 \over 2}}} + C8+30x375(25x)32+C

HD: Dựa vào x = - {1 \over 5}(2 - 5x) + {2 \over 5}x=15(25x)+25

d) \tan x{\rm{[}}\ln (\cos x) + 1] - x + Ctanx[ln(cosx)+1]x+C. HD: Đặt u = \ln (\cos x),dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}u=ln(cosx),dv=dxcos2x

e) - x\cot x + \ln |\sin x| + Cxcotx+ln|sinx|+C. HD: Đặt u = x,dv = {{dx} \over {{{\sin }^2}x}}u=x,dv=dxsin2x

g) {1 \over 5}\ln [|x - 2{|^3}{(x + 3)^2}{\rm{]}} + C15ln[|x2|3(x+3)2]+C

HD: Ta có {{x + 1} \over {(x - 2)(x + 3)}} = {3 \over {5(x - 2)}} + {2 \over {5(x + 3)}}x+1(x2)(x+3)=35(x2)+25(x+3)

h) - 2(\sqrt x + \ln |1 - \sqrt x |) + C2(x+ln|1x|)+C

HD: Đặt t = \sqrt xt=x

i) - {1 \over 2}(\cos x + {1 \over 5}cos5x) + C12(cosx+15cos5x)+C

HD: \sin 3x.c\cos 2x = {1 \over 2}(\sin x + \sin 5x)sin3x.ccos2x=12(sinx+sin5x)

k) \cos x + {1 \over {\cos x}} + Ccosx+1cosx+C

HD: Đặt u = cos x

l) {1 \over {{a^2} - {b^2}}}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} + C1a2b2a2sin2x+b2cos2x+C

Bài 3.7 trang 172 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:

a) \int {{{\sin }^4}x} dxsin4xdx

b) \int {{1 \over {{{\sin }^3}x}}dx}1sin3xdx

c) \int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx}sin3xcos4xdx

d) \int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx}sin4xcos4xdx

e) \int {{1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}}} dx1cosxsin2xdx

g) \int {{{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}}} dx1+sinx1+cosxdx

Hướng dẫn làm bài

a) {3 \over 8}x - {{\sin 2x} \over 4} + {{\sin 4x} \over {32}} + C38xsin2x4+sin4x32+C

HD: {\sin ^4}x = {{{{(1 - \cos 2x)}^2}} \over 4} = {1 \over 4}({3 \over 2} - 2\cos 2x + {1 \over 2}\cos 4x)sin4x=(1cos2x)24=14(322cos2x+12cos4x)

b) {1 \over 2}\ln |\tan {x \over 2}| - {{\cos x} \over {2{{\sin }^2}x}} + C12ln|tanx2|cosx2sin2x+C

Hd: Đặt u = cot x

c) {\cos ^5}x({{{{\cos }^2}x} \over 7} - {1 \over 5}) + Ccos5x(cos2x715)+C. HD: Đặt u = cos x

d) {1 \over {128}}(3x - \sin 4x + {1 \over 8}\sin 8x) + C1128(3xsin4x+18sin8x)+C

HD: {\sin ^4}x{\cos ^4}x = {1 \over {{2^4}}}{({\sin ^2}2x)^2} = {1 \over {{2^6}}}{(1 - \cos 4x)^2}sin4xcos4x=124(sin22x)2=126(1cos4x)2

e) \ln |\tan ({x \over 2} + {\pi \over 4})| - {1 \over {\sin x}} + Cln|tan(x2+π4)|1sinx+C

HD: {1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}} = {{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \over {\cos x{{\sin }^2}x}}1cosxsin2x=sin2x+cos2xcosxsin2x

g) \tan {x \over 2} - 2\ln |\cos {x \over 2}| + Ctanx22ln|cosx2|+C. HD: {{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}} = {1 \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}} + {{\sin {x \over 2}} \over {\cos {x \over 2}}}1+sinx1+cosx=12cos2x2+sinx2cosx2

Bài 3.8 trang 172 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số f(x) = {1 \over {1 + \sin x}}?f(x)=11+sinx?

a) F(x) = 1 - \cot ({x \over 2} + {\pi \over 4})F(x)=1cot(x2+π4)

b) G(x) = 2\tan {x \over 2}G(x)=2tanx2

c) H(x) = \ln (1 + \sin x)H(x)=ln(1+sinx)

d) K(x) = 2(1 - {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}})K(x)=2(111+tanx2)

Hướng dẫn làm bài

a) F(x) = 1 - \cot ({x \over 2} + {\pi \over 4})F(x)=1cot(x2+π4)

d) K(x) = 2(1 - {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}})K(x)=2(111+tanx2)

Bài 3.9 trang 173 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau đây:

a) \int {(x + \ln x){x^2}dx}(x+lnx)x2dx

b) \int {(x + {{\sin }^2}x)\sin xdx}(x+sin2x)sinxdx

c) \int {(x + {e^x}){e^{2x}}dx}(x+ex)e2xdx

d) \int {(x + \sin x){{dx} \over {{{\cos }^2}x}}}(x+sinx)dxcos2x

e) \int {{{{e^x}\cos x + ({e^x} + 1)\sin x} \over {{e^x}\sin x}}} dxexcosx+(ex+1)sinxexsinxdx

Hướng dẫn làm bài

a) {{{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}(\ln x - {1 \over 3}) + Cx44+x33(lnx13)+C. HD: Đặt u = x + \ln x;dv = {x^2}dxu=x+lnx;dv=x2dx

b) \sin x - (x + 1)\cos x + {1 \over 3}{\cos ^3}x + Csinx(x+1)cosx+13cos3x+C HD: Đặt u = x + {\sin ^2}x,dv = \sin xdxu=x+sin2x,dv=sinxdx

c) {{{e^{2x}}} \over {12}}(4{e^x} + 6x - 3) + Ce2x12(4ex+6x3)+C. HD: Đặt u = x + {e^x},dv = {e^{2x}}dxu=x+ex,dv=e2xdx

d) x\tan x + \ln |\cos x| + {1 \over {\cos x}} + Cxtanx+ln|cosx|+1cosx+C. HD: Đặt u = x + \sin x,dv = d(\tan x)u=x+sinx,dv=d(tanx)

e) \ln |{e^x}\sin x| - {e^{ - x}} + Cln|exsinx|ex+C. HD: d({e^x}\sin x) = ({e^x}\sin x + {e^x}\cos x)dxd(exsinx)=(exsinx+excosx)dx

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 1: Nguyên hàm. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
2
Chọn file muốn tải về:
Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Giải Vở BT Toán 12

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng