VnDoc.com

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Giải SBT Toán lớp 12

Bài trước

Bài sau

Toán 12 - Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

VnDoc xin giới thiệu tới thầy cô và các bạn học sinh tài liệu Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit, hy vọng qua bộ tài liệu các bạn học sinh sẽ có kết quả cao hơn trong học tập. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo.

Giải SBT Toán 12 bài 3: Logarit

Giải SBT Toán 12 bài 4: Hàm số mũ. Hàm số logarit

Giải SBT Toán 12 bài 5: Phương trình mũ và phương trình logarit

Giải SBT Toán 12 bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Bài 2.43 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = {x^{\sqrt 3 }}$ $y = {x^{\sqrt 3 }}$

b) $y = {x^{\frac{1}{\pi }}}$ $y = {x^{\frac{1}{\pi }}}$

c) $y = {x^{ - e}}$ $y = {x^{ - e}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = {x^{\sqrt 3 }}$ $y = {x^{\sqrt 3 }}$

Tập xác định: $D = (0; + \infty )$ $D = (0; + \infty )$

$y' = \sqrt 3 {x^{\sqrt 3 - 1}}$

$y' > 0,\forall x \in D$ nên hàm số luôn đồng biến.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Đồ thị:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = {x^{\frac{1}{\pi }}}$ $y = {x^{\frac{1}{\pi }}}$

Tập xác định: $D = (0; + \infty )$ $D = (0; + \infty )$

$y' = \frac{1}{\pi }{x^{\frac{1}{\pi } - 1}}$

$y' > 0,\forall x \in D$ nên hàm số luôn đồng biến.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$

Đồ thị không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Đồ thị

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = {x^{ - e}}$ $y = {x^{ - e}}$

Tập xác định: $D = (0; + \infty )$ $D = (0; + \infty )$

$y' = - e{x^{ - e - 1}}$

$y' < 0,\forall x \in D$ nên hàm số luôn nghịch biến

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0$

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Đồ thị:

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2

Bài 2.44 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}$ $y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}$

b) $y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}$ $y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}$

c) $y = \sqrt {\log x + \log (x + 2)} $$ $y = \sqrt {\log x + \log (x + 2)} $$

d) $y = \sqrt {\log (x - 1) + \log (x + 1)}$ $y = \sqrt {\log (x - 1) + \log (x + 1)}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số xác định khi:

${4^x} - 2 > 0\Leftrightarrow {2^{2x}} > 2\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$ ${4^x} - 2 > 0\Leftrightarrow {2^{2x}} > 2\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}$

Vậy tập xác định là $D = (\frac{1}{2}; + \infty )$ $D = (\frac{1}{2}; + \infty )$

b) $D = ( - \frac{2}{3};1)$ $D = ( - \frac{2}{3};1)$

c)

$\eqalign{& \log x + \log (x + 2) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\log [x(x + 2){\rm{]}} \ge \log 1} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x - 1 \ge 0} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 1 - \sqrt 2 } \cr {x \ge - 1 + \sqrt 2 } \cr} } \right.} \cr {x > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \ge - 1 + \sqrt 2 \cr}$ $\eqalign{& \log x + \log (x + 2) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\log [x(x + 2){\rm{]}} \ge \log 1} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x - 1 \ge 0} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 1 - \sqrt 2 } \cr {x \ge - 1 + \sqrt 2 } \cr} } \right.} \cr {x > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \ge - 1 + \sqrt 2 \cr}$

Vậy tập xác định là $D = {\rm{[}} - 1 + \sqrt 2 ; + \infty )$ $D = {\rm{[}} - 1 + \sqrt 2 ; + \infty )$

d) Tương tự câu c, $D = {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )$ $D = {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )$

Bài 2.45 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hai hàm số:

$f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2},g(x) = \frac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}$ $f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2},g(x) = \frac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}$

a) Chứng minh rằng f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Tìm giá trị bé nhất của f(x) trên tập xác định.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có tập xác định của cả hai hàm số f(x), g(x) đều là R. Mặt khác:

$f( - x) = \frac{{{a^{ - x}} + {a^x}}}{2} = f(x),g( - x) = \frac{{{a^{ - x}} - {a^x}}}{2} = - g(x)$ $f( - x) = \frac{{{a^{ - x}} + {a^x}}}{2} = f(x),g( - x) = \frac{{{a^{ - x}} - {a^x}}}{2} = - g(x)$

Vậy f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Ta có: $f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2} \ge \sqrt {{a^x}{a^{ - x}}} = 1,\forall x \in R$ $f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2} \ge \sqrt {{a^x}{a^{ - x}}} = 1,\forall x \in R$ và $f(0) = \frac{{{a^0} + {a^0}}}{2} = 1$ $f(0) = \frac{{{a^0} + {a^0}}}{2} = 1$

Vậy min f(x) = f(0) = 1.

Bài 2.46 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho a + b = c với a > 0, b > 0.

a) Chứng minh rằng ${a^m} + {b^m} < {c^m}$ ${a^m} + {b^m} < {c^m}$, nếu m > 1.

b) Chứng minh rằng ${a^m} + {b^m} < {c^m}$ ${a^m} + {b^m} < {c^m}$, nếu 0 < m < 1

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: ${a^m} + {b^m} < {c^m} \Leftrightarrow {(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < 1 (1)$ ${a^m} + {b^m} < {c^m} \Leftrightarrow {(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < 1 (1)$

Theo đề bài a + b = c, a > 0, b > 0 nên $0 < \frac{a}{c} < 1,0 < \frac{b}{c} < 1$ $0 < \frac{a}{c} < 1,0 < \frac{b}{c} < 1$

Suy ra với m > 1 thì ${(\frac{a}{c})^m} < {(\frac{a}{c})^1};{(\frac{b}{c})^m} < {(\frac{b}{c})^1}$ ${(\frac{a}{c})^m} < {(\frac{a}{c})^1};{(\frac{b}{c})^m} < {(\frac{b}{c})^1}$

Từ đó ta có: ${(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1$ ${(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1$

Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tương tự.

Bài 2.47 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = {(\frac{1}{2})^x} + 3$ $y = {(\frac{1}{2})^x} + 3$

b) $y = {2^{x + 1}}$ $y = {2^{x + 1}}$

c) $y = {3^{x - 2}}$ $y = {3^{x - 2}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị của hàm số $y = {(\frac{1}{2})^x} + 3$ $y = {(\frac{1}{2})^x} + 3$ nhận được từ đồ thị của hàm số $y = {(\frac{1}{2})^x}$ $y = {(\frac{1}{2})^x}$ bằng phép tịnh tiến song song với trục tung lên trên 3 đơn vị.

b) Đồ thị của hàm số $y = {2^{x + 1}}$ $y = {2^{x + 1}}$ nhận được từ đồ thị của hàm số $y = {2^x}$ $y = {2^x}$bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang trái 1 đơn vị.

c) Đồ thị của hàm số $y = {3^{x - 2}}$ $y = {3^{x - 2}}$ nhận được từ đồ thị của hàm số $y = {3^x}$ $y = {3^x}$ bằng phép tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 2 đơn vị.

Bài 2.48 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = {\log _3}(x - 1)$ $y = {\log _3}(x - 1)$

b) $y = {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1)$ $y = {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1)$

c) $y = 1 + {\log _3}x$ $y = 1 + {\log _3}x$

Hướng dẫn làm bài:

a) Đồ thị của hàm số $y = {\log _3}(x - 1)$$ $y = {\log _3}(x - 1)$$ nhận được từ đồ thị của hàm số $y = {\log _3}x$ $y = {\log _3}x$ bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên phải 1 đơn vị.

b) Đồ thị của hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1)$ $y = {\log _{\frac{1}{3}}}(x + 1)$ nhận được từ đồ thị của hàm số $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ $y = {\log _{\frac{1}{3}}}x$ bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang bên trái 1 đơn vị.

c) Đồ thị của hàm số $y = 1 + {\log _3}x$ $y = 1 + {\log _3}x$ nhận được từ đồ thị của hàm số $y = {\log _3}x$ $y = {\log _3}x$ bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên trên 1 đơn vị.

Bài 2.49 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}$ $y = \frac{1}{{{{(2 + 3x)}^2}}}$

b) $y = \sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}(x \ne \frac{2}{3})$ $y = \sqrt[3]{{{{(3x - 2)}^2}}}(x \ne \frac{2}{3})$

c) $y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}$ $y = \frac{1}{{\sqrt[3]{{3x - 7}}}}$

d) $y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x$ $y = 3{x^{ - 3}} - {\log _3}x$

e) $y = (3{x^2} - 2){\log _2}x$ $y = (3{x^2} - 2){\log _2}x$

g) $y = \ln (\cos x)$ $y = \ln (\cos x)$

h) $y = {e^x}\sin x$ $y = {e^x}\sin x$

i) $y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}$ $y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x}$

Hướng dẫn làm bài:

a) $y' = - 6{(2 + 3x)^{ - 3}}$

b)

$y' = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{{(3x - 2)}^{ - \frac{1}{3}}},\forall x > \frac{2}{3}}\\ { - 2{{(2 - 3x)}^{ - \frac{1}{3}}},\forall x < \frac{2}{3}} \end{array}} \right. = \frac{2}{{\sqrt[3]{{3x - 2}}}}(x \ne \frac{2}{3})$

c) $y' = - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{(3x - 7)}^4}}}}}$

d) $y' = - 9{x^{ - 4}} - \frac{1}{{x\ln 3}}$

e) $y' = 6x{\log _2}x + \frac{{3{x^2} - 2}}{{x\ln 2}}$

g) $y' = - \tan x$

h) $y' = {e^x}(\sin x + \cos x)$

i) $y' = \frac{{x({e^x} + {e^{ - x}}) - {e^x} + {e^{ - x}}}}{{{x^2}}}$

Bài 2.50 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) ${9^x} - {3^x} - 6 = 0$ ${9^x} - {3^x} - 6 = 0$

b) ${e^{2x}} - 3{e^x} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0$ ${e^{2x}} - 3{e^x} - 4 + 12{e^{ - x}} = 0$

c) ${3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}$ ${3.4^x} + \frac{1}{3}{.9^{x + 2}} = {6.4^{x + 1}} - \frac{1}{2}{.9^{x + 1}}$

d) ${2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}$ ${2^{{x^2} - 1}} - {3^{{x^2}}} = {3^{{x^2} - 1}} - {2^{{x^2} + 2}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) x = 1

b) Đặt $t = {e^x}(t > 0)$ $t = {e^x}(t > 0)$, ta có phương trình ${t^2} - 3t - 4 + \frac{{12}}{t} = 0$ ${t^2} - 3t - 4 + \frac{{12}}{t} = 0$ hay

$\eqalign{ & {t^3} - 3{t^2} - 4t + 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow (t - 2)(t + 2)(t - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 2} \cr {t = - 2(loại)} \cr {t = 3} \cr} } \right. \cr}$ $\eqalign{ & {t^3} - 3{t^2} - 4t + 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow (t - 2)(t + 2)(t - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 2} \cr {t = - 2(loại)} \cr {t = 3} \cr} } \right. \cr}$

Do đó

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^x} = 2}\\a {{e^x} = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \ln 2}\\ {x = \ln 3} \end{array}} \right.$ $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e^x} = 2}\\a {{e^x} = 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \ln 2}\\ {x = \ln 3} \end{array}} \right.$

c)

$\eqalign{ & {3.4^x} + {27.9^x} = {24.4^x} - {9 \over 2}{.9^x} \cr & \Leftrightarrow {63.9^x} = {42.4^x} \Leftrightarrow {\left( {{9 \over 4}} \right)^x} = {2 \over 3} \cr}$ $\eqalign{ & {3.4^x} + {27.9^x} = {24.4^x} - {9 \over 2}{.9^x} \cr & \Leftrightarrow {63.9^x} = {42.4^x} \Leftrightarrow {\left( {{9 \over 4}} \right)^x} = {2 \over 3} \cr}$

$\Leftrightarrow {({3 \over 2})^{2x}} = {({3 \over 2})^{ - 1}} \Leftrightarrow 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 2}$ $\Leftrightarrow {({3 \over 2})^{2x}} = {({3 \over 2})^{ - 1}} \Leftrightarrow 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 2}$

d)

${1 \over 2}{.2^{{x^2}}} - {3^{{x^2}}} = {1 \over 3}{.3^{{x^2}}} - {4.2^{{x^2}}}$ ${1 \over 2}{.2^{{x^2}}} - {3^{{x^2}}} = {1 \over 3}{.3^{{x^2}}} - {4.2^{{x^2}}}$
$\Leftrightarrow {9 \over 2}{.2^{{x^2}}} = {4 \over 3}{.3^{{x^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{2 \over 3}} \right)^{{x^2}}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^3}$ $\Leftrightarrow {9 \over 2}{.2^{{x^2}}} = {4 \over 3}{.3^{{x^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{2 \over 3}} \right)^{{x^2}}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^3}$
$\Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \sqrt 3 } \cr {x = - \sqrt 3 } \cr} } \right.$ $\Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \sqrt 3 } \cr {x = - \sqrt 3 } \cr} } \right.$

Bài 2.51 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Giải phương trình: ${7^{2x + 1}} - {8.7^x} + 1 = 0$ ${7^{2x + 1}} - {8.7^x} + 1 = 0$

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)

b) Giải phương trình: ${3^{2x + 1}} - {9.3^x} + 6 = 0$ ${3^{2x + 1}} - {9.3^x} + 6 = 0$

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)

Hướng dẫn làm bài:

a) Đáp số: x = 0; x = -1

b) Đáp số: $x = 0;x = {\log _3}2$ $x = 0;x = {\log _3}2$

Bài 2.52 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) $\ln (4x + 2) - \ln (x - 1) = \ln x$ $\ln (4x + 2) - \ln (x - 1) = \ln x$

b) ${\log _2}(3x + 1){\log _3}x = 2{\log _2}(3x + 1)$ ${\log _2}(3x + 1){\log _3}x = 2{\log _2}(3x + 1)$

c) ${2^{{{\log }_3}{x^2}}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400$ ${2^{{{\log }_3}{x^2}}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400$

d) ${\ln ^3}x - 3{\ln ^2}x - 4\ln x + 12 = 0$ ${\ln ^3}x - 3{\ln ^2}x - 4\ln x + 12 = 0$

Hướng dẫn làm bài:

a) Với điều kiện x > 1 ta có phương trình:

$\ln (4x + 2) = \ln [x(x - 1){\rm{]}}$ $\ln (4x + 2) = \ln [x(x - 1){\rm{]}}$

$⇔ 4x + 2 = {x^2} – x ⇔ {x^2} – 5x – 2 = 0$ $⇔ 4x + 2 = {x^2} – x ⇔ {x^2} – 5x – 2 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}}\\ {x = \frac{{5 - \sqrt {33} }}{2}(l)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}}\\ {x = \frac{{5 - \sqrt {33} }}{2}(l)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}$

b) Với điều kiện x > 0, ta có phương trình

$\eqalign{& {\log _2}(3x + 1){\rm{[}}{\log _3}x - 2] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_2}(3x + 1) = 0} \cr {{{\log }_3}x = 2} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0(loại)} \cr {x = 9} \cr} \Leftrightarrow x = 9} \right.} \right. \cr}$ $\eqalign{& {\log _2}(3x + 1){\rm{[}}{\log _3}x - 2] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_2}(3x + 1) = 0} \cr {{{\log }_3}x = 2} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0(loại)} \cr {x = 9} \cr} \Leftrightarrow x = 9} \right.} \right. \cr}$

c) Với điều kiện x > 0, ta có phương trình:

${4^{{{\log }_3}x}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400$ ${4^{{{\log }_3}x}}{.5^{{{\log }_3}x}} = 400$

$\Leftrightarrow {20^{{{\log }_3}x}} = {20^2} \Leftrightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9$ $\Leftrightarrow {20^{{{\log }_3}x}} = {20^2} \Leftrightarrow {\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9$ (thỏa mãn điều kiện)

d) Đặt $t = lnx (x > 0)$, ta có phương trình:

${t^3} – 3{t^2} – 4t + 12 = 0 ⇔ (t – 2)(t + 2)(t – 3) = 0$ ${t^3} – 3{t^2} – 4t + 12 = 0 ⇔ (t – 2)(t + 2)(t – 3) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 2} \cr {t = - 2} \cr {t = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\ln x = 2} \cr {\ln x = - 2} \cr {\ln x = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {e^2}} \cr {x = {e^{ - 2}}} \cr {x = {e^3}} \cr} } \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 2} \cr {t = - 2} \cr {t = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\ln x = 2} \cr {\ln x = - 2} \cr {\ln x = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {e^2}} \cr {x = {e^{ - 2}}} \cr {x = {e^3}} \cr} } \right.$

Bài 2.53 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải phương trình: $2\log _2^2x - 14{\log _4}x + 3 = 0$ $2\log _2^2x - 14{\log _4}x + 3 = 0$

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)

Hướng dẫn làm bài:

Đáp số: $x = 8;x = \sqrt 2$ $x = 8;x = \sqrt 2$

Bài 2.54 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) ${e^{2 + \ln x}} = x + 3$ ${e^{2 + \ln x}} = x + 3$

b) ${e^{4 - \ln x}} = x$ ${e^{4 - \ln x}} = x$

c) $(5 - x)\log (x - 3) = 0$ $(5 - x)\log (x - 3) = 0$

Hướng dẫn làm bài:

a) Với điều kiện x >0, ta có phương trình

$\eqalign{ & {e^2}.{e^{\ln x}} = x + 3 \Leftrightarrow {e^2}.x = x + 3 \cr & \Leftrightarrow x({e^2} - 1) = 3 \Leftrightarrow x = {3 \over {{e^2} - 1}} \cr}$ $\eqalign{ & {e^2}.{e^{\ln x}} = x + 3 \Leftrightarrow {e^2}.x = x + 3 \cr & \Leftrightarrow x({e^2} - 1) = 3 \Leftrightarrow x = {3 \over {{e^2} - 1}} \cr}$

(thỏa mãn điều kiện)

b) Tương tự câu a), x = e²

c) Với điều kiện x > 3 ta có:

$\left[ {\matrix{{5 - x = 0} \cr {\log (x - 3) = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 5} \cr {x = 4} \cr} } \right.$ $\left[ {\matrix{{5 - x = 0} \cr {\log (x - 3) = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 5} \cr {x = 4} \cr} } \right.$

Bài 2.55 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) ${(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1$ ${(8,4)^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 1$

b) ${2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}$ ${2^{|x - 2|}} > {4^{|x + 1|}}$

c) $\frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}$ $\frac{{{4^x} - {2^{x + 1}} + 8}}{{{2^{1 - x}}}} < {8^x}$

d) $\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}$ $\frac{1}{{{3^x} + 5}} \le \frac{1}{{{3^{x + 1}} - 1}}$

Hướng dẫn làm bài:

a) $8,{4^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 \Leftrightarrow x < 3$ $8,{4^{\frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}}}} < 8,{4^0} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{{x^2} + 1}} < 0 \Leftrightarrow x < 3$

b)

$\eqalign{ & {2^{|x - 2|}} > {2^{2|x + 1|}} \Leftrightarrow |x - 2| > 2|x + 1| \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1) \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 \cr & \Leftrightarrow - 4 < x < 0 \cr}$ $\eqalign{ & {2^{|x - 2|}} > {2^{2|x + 1|}} \Leftrightarrow |x - 2| > 2|x + 1| \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 > 4({x^2} + 2x + 1) \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x < 0 \cr & \Leftrightarrow - 4 < x < 0 \cr}$

c)

$\eqalign{ & {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}} \cr & \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {{t^2} + 2t - 8 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {\left[ {\matrix{{t < - 4} \cr {t > 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x}} \cr {t > 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1 \cr}$ $\eqalign{ & {2^{2x}} - {2.2^x} + 8 < {2^{3x}}{.2^{1 - x}} \cr & \Leftrightarrow {2^{2x}} + {2.2^x} - 8 > 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {{t^2} + 2t - 8 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x},t > 0} \cr {\left[ {\matrix{{t < - 4} \cr {t > 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{t = {2^x}} \cr {t > 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow x > 1 \cr}$

d) Đặt t = 3^x (t > 0), ta có bất phương trình $\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}}$ $\frac{1}{{t + 5}} \le \frac{1}{{3t - 1}}$

Vì vế trái dương nên vế phải cũng phải dương, tức là $3t – 1 > 0$

Từ đó ta có hệ:

$\left\{ {\matrix{{3t - 1 \le t + 5} \cr {3t - 1 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {1 \over 3} < t \le 3$ $\left\{ {\matrix{{3t - 1 \le t + 5} \cr {3t - 1 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow {1 \over 3} < t \le 3$

Do đó $\frac{1}{3} < {3^x} \le 3$ $\frac{1}{3} < {3^x} \le 3$. Vậy $- 1 < x \le 1$ $- 1 < x \le 1$

Bài 2.56 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình logarit sau:

a) $\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0$ $\frac{{\ln x + 2}}{{\ln x - 1}} < 0$

b) $\log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0$ $\log _{0,2}^2x - {\log _{0,2}}x - 6 \le 0$

c) $\log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)$ $\log ({x^2} - x - 2) < 2\log (3 - x)$

d) $\ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2$ $\ln |x - 2| + \ln |x + 4| \le 3\ln 2$

Hướng dẫn làm bài:

a) $\frac{1}{{{e^2}}} < x < e$ $\frac{1}{{{e^2}}} < x < e$

b) ${(0,2)^3} \le x \le 25$ ${(0,2)^3} \le x \le 25$

c) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

$\left\{ {\matrix{{{x^2} - x - 2 > 0} \cr {3 - x > 0} \cr {{x^2} - x - 2 < {{(3 - x)}^2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {x > 2} \cr} } \right.} \cr {x < 3} \cr {x < {{11} \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {2 < x < {{11} \over 5}} \cr} } \right.$ $\left\{ {\matrix{{{x^2} - x - 2 > 0} \cr {3 - x > 0} \cr {{x^2} - x - 2 < {{(3 - x)}^2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {x > 2} \cr} } \right.} \cr {x < 3} \cr {x < {{11} \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x < - 1} \cr {2 < x < {{11} \over 5}} \cr} } \right.$

Vậy tập nghiệm là $( - \infty ; - 1) \cup (2;\frac{{11}}{5})$ $( - \infty ; - 1) \cup (2;\frac{{11}}{5})$

d)

$\eqalign{& \ln |(x - 2)(x + 4)| \le \ln 8 \cr & \Leftrightarrow |{x^2} + 2x - 8| \le 8 \cr & \Leftrightarrow - 8 \le {x^2} + 2x - 8 \le 8 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x \ge 0} \cr {{x^2} + 2x - 16 \le 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 2} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.} \cr { - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 2} \cr {0 \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr}$ $\eqalign{& \ln |(x - 2)(x + 4)| \le \ln 8 \cr & \Leftrightarrow |{x^2} + 2x - 8| \le 8 \cr & \Leftrightarrow - 8 \le {x^2} + 2x - 8 \le 8 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x \ge 0} \cr {{x^2} + 2x - 16 \le 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 2} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.} \cr { - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 1 - \sqrt {17} \le x \le - 2} \cr {0 \le x \le - 1 + \sqrt {17} } \cr} } \right. \cr}$

Vậy tập nghiệm là ${\rm{[}} - 1 - \sqrt {17} ; - 2] \cup {\rm{[}}0; - 1 + \sqrt {17} {\rm{]}}$ ${\rm{[}} - 1 - \sqrt {17} ; - 2] \cup {\rm{[}}0; - 1 + \sqrt {17} {\rm{]}}$

Bài 2.57 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau:

a) $(2x - 7)\ln (x + 1) > 0$ $(2x - 7)\ln (x + 1) > 0$

b) $(2x - 7)\ln (x + 1) > 0$ $(2x - 7)\ln (x + 1) > 0$

c) $2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0$ $2\log _2^3x + 5\log _2^2x + {\log _2}x - 2 \ge 0$

d) $\ln (3{e^x} - 2) \le 2x$ $\ln (3{e^x} - 2) \le 2x$

Trả lời:

a) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

$\eqalign{& \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{2x - 7 > 0} \cr {\ln (x + 1) > 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{2x - 7 < 0} \cr {\ln (x + 1) < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {x + 1 > 1} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr {0 < x + 1 < 1} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right. \cr}$ $\eqalign{& \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{2x - 7 > 0} \cr {\ln (x + 1) > 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{2x - 7 < 0} \cr {\ln (x + 1) < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {x + 1 > 1} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr {0 < x + 1 < 1} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr {\left\{ {\matrix{{x < {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > {7 \over 2}} \cr { - 1 < x < 0} \cr} } \right. \cr}$

Vậy tập nghiệm là $( - 1;0) \cup (\frac{7}{2}; + \infty )$ $( - 1;0) \cup (\frac{7}{2}; + \infty )$

b) Tươngg tự câu a), tập nghiệm là $(\frac{1}{{10}};5)$ $(\frac{1}{{10}};5)$

c) Đặt $t = {\log _2}x$ $t = {\log _2}x$, ta có bất phương trình $2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 \ge 0$ $2{t^3} + 5{t^2} + t - 2 \ge 0$

hay $(t + 2)(2{t^2} + t - 1) \ge 0$ $(t + 2)(2{t^2} + t - 1) \ge 0$ có nghiệm $- 2 \le t \le - 1$ $- 2 \le t \le - 1$ hoặc $t \ge \frac{1}{2}$ $t \ge \frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}$ $\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}$ hoặc $x \ge \sqrt 2$ $x \ge \sqrt 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: ${\rm{[}}\frac{1}{4};\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )$ ${\rm{[}}\frac{1}{4};\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )$

d) Bất phương trình đã cho tương đương với hệ:

$\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3{e^x} - 2 > 0} \cr {\ln (3{e^x} - 2) \le \ln {e^{2x}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {{e^{2x}} - 3{e^x} + 2 \ge 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {\left[ {\matrix{{{e^x} \le 1} \cr {{e^x} \ge 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{e^x} \ge 2} \cr {{2 \over 3} < {e^x} \le 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x \ge \ln 2} \cr {\ln {2 \over 3} < x \le 0} \cr} } \right. \cr}$ $\eqalign{& \left\{ {\matrix{{3{e^x} - 2 > 0} \cr {\ln (3{e^x} - 2) \le \ln {e^{2x}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {{e^{2x}} - 3{e^x} + 2 \ge 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{e^x} > {2 \over 3}} \cr {\left[ {\matrix{{{e^x} \le 1} \cr {{e^x} \ge 2} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{e^x} \ge 2} \cr {{2 \over 3} < {e^x} \le 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x \ge \ln 2} \cr {\ln {2 \over 3} < x \le 0} \cr} } \right. \cr}$

Vậy tập nghiệm là $(\ln \frac{2}{3};0] \cup {\rm{[}}\ln 2; + \infty )$ $(\ln \frac{2}{3};0] \cup {\rm{[}}\ln 2; + \infty )$

Bài 2.58 trang 134 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm số tự nhiên n bé nhất sao cho:

a) ${(\frac{1}{2})^n} \le {10^{ - 9}}$ ${(\frac{1}{2})^n} \le {10^{ - 9}}$

b) $3 - {(\frac{7}{5})^n} \le 0$ $3 - {(\frac{7}{5})^n} \le 0$

c) $1 - {(\frac{4}{5})^n} \ge 0,97$ $1 - {(\frac{4}{5})^n} \ge 0,97$

d) ${(1 + \frac{5}{{100}})^n} \ge 2$ ${(1 + \frac{5}{{100}})^n} \ge 2$

Hướng dẫn làm bài:

a) $n \ge {\log _{\frac{1}{2}}}{10^{ - 9}} \Leftrightarrow n \ge 9{\log _2}10 \approx 29,897$ $n \ge {\log _{\frac{1}{2}}}{10^{ - 9}} \Leftrightarrow n \ge 9{\log _2}10 \approx 29,897$

Vì n là số tự nhiên bé nhất nên n = 30.

b) n = 4

c) n = 16

d) n = 15

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.