Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân

Toán 12 - Tích phân

Để giúp các bạn học sinh đạt kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân, với nội dung được cập nhật chi tiết và chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 12 bài 2

Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \int\limits_0^1 {({y^3} + 3{y^2} - 2)dy}01(y3+3y22)dy

b) \int\limits_1^4 {(t + {1 \over {\sqrt t }}} - {1 \over {{t^2}}})dt14(t+1t1t2)dt

c) \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(2\cos x - \sin 2x)dx}0π2(2cosxsin2x)dx

d) \int\limits_0^1 {{{({3^s} - {2^s})}^2}ds}01(3s2s)2ds

e) \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{{\pi \over 3}}^{{{3\pi } \over 2}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{{{5\pi } \over 2}} {\cos 3xdx}0π3cos3xdx+π33π2cos3xdx+3π25π2cos3xdx

g) \int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx}03|x2x2|dx

h) \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dxπ5π4sinxcosx1+sin2xdx

i) \int\limits_0^4 {{{4x - 1} \over {\sqrt {2x + 1} + 2}}} dx044x12x+1+2dx

Hướng dẫn làm bài

a) - {3 \over 4}34

b) {{35} \over 4}354

c) 1

d) {4 \over {\ln 3}} - {{10} \over {\ln 6}} + {3 \over {2\ln 2}}4ln310ln6+32ln2

e) - {1 \over 3}13

g) {{31} \over 6}316

HD: \int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx }03|x2x2|dx

{= \int\limits_0^2 { - ({x^2} - x - 2)dx + \int\limits_2^3 {({x^2} - x - 2)dx} } }=02(x2x2)dx+23(x2x2)dx

h) {1 \over 2}\ln 212ln2

HD: \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dxπ5π4sinxcosx1+sin2xdx

= \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {|\sin x + \cos x|}}} dx = \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{d(\sin x + \cos x)} \over {\sin x + \cos x}}}=π5π4sinxcosx|sinx+cosx|dx=π5π4d(sinx+cosx)sinx+cosx

i) {{34} \over 3} + 10\ln {3 \over 5}343+10ln35

HD: Đặt t = \sqrt {2x + 1}t=2x+1

Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) \int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx}12x(1x)5dx (đặt t = 1 – x)

b) \int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx}0ln2ex1dx (đặt t = \sqrt {{e^x} - 1}t=ex1)

c) \int\limits_1^9 {x\root 3 \of {1 - x} dx}19x1x3dx (đặt t = \root 3 \of {1 - x}t=1x3)

d) \int\limits_{ - 1}^1 {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} dx112x+1x2+x+1dx(đặt u = \sqrt {{x^2} + x + 1}u=x2+x+1)

e) \int\limits_1^2 {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^4}}}} dx121+x2x4dx (đặt t = {1 \over x}t=1x)

g) \int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx}0πxsinx1+cos2xdx (đặt x = \pi - tx=πt)

h) \int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx}11x2(1x3)4dx

i) \int\limits_0^1 {{{dx} \over {1 + {x^2}}}}01dx1+x2 (đặt x = \tan ux=tanu)

Hướng dẫn làm bài

a) - {{13} \over {42}}1342

b) 2 - {\pi \over 2}2π2

c) - {{468} \over 7}4687

d) 2(\sqrt 3 - 1)2(31)

e) - {1 \over 3}({{5\sqrt 5 } \over 8} - 2\sqrt 2 )13(55822)

g) {{{\pi ^2}} \over 4}π24

HD: Đặt x = \pi - tx=πt, ta suy ra:

\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} dx = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{ - d(\cos x)} \over {1 + {{\cos }^2}x}}}0πxsinx1+cos2xdx=π20πsinx1+cos2xdx=π20πd(cosx)1+cos2x

Vậy \int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_{ - 1}^1 {{{dt} \over {1 + {t^2}}}}0πxsinx1+cos2xdx=π211dt1+t2

Đặt tiếp t = tan u

h) {{{2^5}} \over {15}}2515

HD: Đặt t = 1 – x3

i) {\pi \over 4}π4

Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a) \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos 2xdx}0π2xcos2xdx

b) \int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx}0ln2xe2xdx

c) \int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx}01ln(2x+1)dx

d) \int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx}23[ln(x1)ln(x+1)]dx

e) \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx}122(1+x1x)ex+1xdx

g) \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx}0π2xcosxsin2xdx

h) \int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx01xex(1+x)2dx

i) \int\limits_1^e {{{1 + x\ln x} \over x}} {e^x}dx1e1+xlnxxexdx

Hướng dẫn làm bài

a) - {1 \over 2}12

b) {1 \over 4}({3 \over 4} - {{\ln 2} \over 2})14(34ln22)

c) {3 \over 2}\ln 3 - 132ln31

d) 3\ln 3 - 6\ln 23ln36ln2

e) {3 \over 2}{e^{{5 \over 2}}}32e52

HD: \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx = } \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}} dx + \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx}122(1+x1x)ex+1xdx=122ex+1xdx+122(x1x)ex+1xdx

Tính tích phân từng phần: \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}dx = x{e^{x + {1 \over x}}}\left| {\matrix{2 \cr {{1 \over 2}} \cr} } \right.} - \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx}122ex+1xdx=xex+1x|212122(x1x)ex+1xdx

g) {\pi \over 6} - {2 \over 9}π629

HD: Đặt u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdxu=x,dv=cosxsin2xdx

h) {e \over 2} - 1e21. HD: \int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} - \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}dx}01xex(1+x)2dx=01ex1+xdx01ex(1+x)2dx và tính tích phân từng phần:

\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = {{ - {e^x}} \over {1 + x}}\left| {\matrix{
1 \cr 0 \cr} + } \right.\int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx}01xex(1+x)2dx=ex1+x|10+01ex1+xdx

i) ee . HD: Tương tự câu g)

Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau đây:

a) \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(x + 1)\cos (x + {\pi \over 2}} )dx0π2(x+1)cos(x+π2)dx

b) \int\limits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{{\log }_2}(x + 1)dx}01x2+x+1x+1log2(x+1)dx

c) \int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{x^2} - 1} \over {{x^4} + 1}}} dx121x21x4+1dx (đặt t = x + {1 \over x}t=x+1x)

d) \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}}}0π2sin2xdx3+4sinxcos2x

Hướng dẫn làm bài

a) - 2

b) {1 \over {2\ln 2}}({1 \over 2} + {\ln ^2}2)12ln2(12+ln22). HD: {{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{\log _2}(x + 1) = {1 \over {\ln 2}}{\rm{[}}x\ln (x + 1) + {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}}{\rm{]}}x2+x+1x+1log2(x+1)=1ln2[xln(x+1)+ln(x+1)x+1]

c) {1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}122ln626+2. HD: Đặt t = x + {1 \over x}t=x+1x, ta nhận được:

\int\limits_{{5 \over 2}}^2 {{{dt} \over {{t^2} - 2}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}} \ln |{{t - \sqrt 2 } \over {t + \sqrt 2 }}|\left| {\matrix{2 \cr {{5 \over 2}} \cr} } \right. = {1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}522dtt22=122ln|t2t+2||252=122ln626+2

d) \ln 2 - {1 \over 2}ln212. HD: \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}} = } \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin x.{{d(\sin x + 1)} \over {{{(\sin x + 1)}^2}}}} = \ln 2 - {1 \over 2}0π2sin2xdx3+4sinxcos2x=0π2sinx.d(sinx+1)(sinx+1)2=ln212

Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0}limx+01xnsinπxdx=0

Hướng dẫn làm bài

Với x \in {\rm{[}}0;1]x[0;1], ta có 0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}0xnsinπxxn. Do đó:

0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx} \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}}001xnsinπxdx01xndx=1n+1

Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.

Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x) = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in Rf(x)=0xt1+t4dt,xR là hàm số chẵn.

Hướng dẫn làm bài

Đặt t = - s trong tích phân: f( - x) = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dtf(x)=0xt1+t4dt, ta được: f( - x) = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt = \int\limits_0^x {{s \over {\sqrt {1 + {s^4}} }}} ds = f(x)f(x)=0xt1+t4dt=0xs1+s4ds=f(x)

Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.aaf(x)dx={20af(x)dx,(1)0,(2)

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \int\limits_{ - 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx22ln(x+1+x2)dx

Hướng dẫn làm bài

Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:

\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } }aaf(x)dx=a0f(x)dx+0af(x)dx

Đổi biến x = - t đối với tích phân \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}a0f(x)dx, ta được:

\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx = - \int\limits_a^0 {f( - t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } }a0f(x)dx=a0f(t)dt=0af(t)dt=0af(x)dx

Vậy \int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} }aaf(x)dx=20af(x)dx

Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:

g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )g(x)=ln(x+1+x2) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên \int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0}22g(x)dx=0

Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos x)dx} }0π2f(sinx)dx=0π2f(cosx)dx

Hướng dẫn làm bài

Đổi biến số: x = {\pi \over 2} - tx=π2t, ta được: \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = - \int\limits_{{\pi \over 2}}^0 {f(\sin ({\pi \over 2} - t))dt = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos t)dt} } }0π2f(sinx)dx=π20f(sin(π2t))dt=0π2f(cost)dt

Hay \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos x)dx} }0π2f(sinx)dx=0π2f(cosx)dx

Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Đặt {I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}In=0π2sinnxdx,nN

a) Chứng minh rằng {I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}},n > 2In=n1nIn2,n>2

b) Tính I3 và I5.

Hướng dẫn làm bài

a) Xét với n > 2, ta có: {I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx}In=0π2sinn1x.sinxdx

Dùng tích phân từng phần với và , ta có:

{I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}In=0π2sinn1xsinxdx

{= - } \cos x{\sin ^{n - 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx}=cosxsinn1x|π20+(n1)0π2sinn2xcos2xdx

= (n - 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x)dx}=(n1)0π2(sinn2xsinnx)dx

= (n - 1){I_{n - 2}} - (n - 1){I_n}=(n1)In2(n1)In

Vậy {I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}In=n1nIn2

b) {I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}I3=23,I5=815

Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Đặt {I_{m,n}} = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 - x)}^n}} dx,m,n \in {N^*}Im,n=01xm(1x)ndx,m,nNChứng minh rằng: {I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},m > 0,n > 1Im,n=nm+1Im+1,n1,m>0,n>1

Từ đó tính I1,2 và I1,3.

Hướng dẫn làm bài

Dùng tích phân từng phần với u = {(1 - x)^n},dv = {x^m}dxu=(1x)n,dv=xmdx, ta được:

{I_{m,n}} = {{{x^{m + 1}}} \over {m + 1}}{(1 - x)^n}\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} } \right. + {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}{{(1 - x)}^{n - 1}}dx}Im,n=xm+1m+1(1x)n|10+nm+101xm+1(1x)n1dx

Vậy {I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}} {(1 - x)^{n - 1}}dxIm,n=nm+101xm+1(1x)n1dx

= {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n - 1}},n > 1,m > 0=nm+1Im+1,n1,n>1,m>0

{I_{1,2}} = {1 \over {12}}I1,2=112{I_{1,3}} = {1 \over {20}}I1,3=120

Bài 3.20 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:

a) \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0}0π2sinxdx+π23π2sinxdx+3π22πsinxdx=0

b) \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(\root 3 \of {\sin x} - \root 3 \of {\cos x} } )dx = 00π2(sinx3cosx3)dx=0

c) \int\limits_{ - {1 \over 2}}^{{1 \over 2}} {\ln {{1 - x} \over {1 + x}}} dx = 01212ln1x1+xdx=0

d) \int\limits_0^2 {({1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1)dx = 0}02(11+x+x2+x3+1)dx=0

Hướng dẫn làm bài:

a) Đúng (vì vế trái bằng \int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx = 0}02πsinxdx=0)

b) Đúng (theo bài 3.17)

c) Đúng (theo bài 3.16)

d) Sai: Vì 1 + {1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} > 1,x \in {\rm{[}}0;2]1+11+x+x2+x3>1,x[0;2]

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Sắp xếp theo
    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Giải Vở BT Toán 12

    Xem thêm
    Chia sẻ
    Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
    Mã QR Code
    Đóng