Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

Giải SBT Toán lớp 12

Toán 12 - Ứng dụng hình học của tích phân

Để giúp các bạn học sinh có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc mời các bạn học sinh tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân, chắc chắn nội dung tài liệu sẽ là nguồn thông tin hữu ích để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

Giải SBT Toán 12 bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

Giải SBT Toán 12 ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

Giải SBT Toán 12 bài 1: Nguyên hàm

Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân

Giải SBT Toán 12 bài 3

Bài 3.21 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = 2x – x² , x + y = 2 ;

b) y = x³ – 12x , y = x²

c) x + y = 1 ; x + y = -1 ; x – y = 1 ; x – y = -1 ;

d) $y = {1 \over {1 + {x^2}}},y = {1 \over 2}$ $y = {1 \over {1 + {x^2}}},y = {1 \over 2}$

e) y = x³ – 1 và tiếp tuyến với y = x³ – 1 tại điểm (-1; -2).

Hướng dẫn làm bài

a) ${1 \over 6}$ ${1 \over 6}$

b) $78{1 \over {12}}$ $78{1 \over {12}}$ .HD: $S = \int\limits_{ - 3}^0 {({x^3} - 12x - {x^2})dx + } \int\limits_0^4 {({x^2} - {x^3} + 12x)dx}$ $S = \int\limits_{ - 3}^0 {({x^3} - 12x - {x^2})dx + } \int\limits_0^4 {({x^2} - {x^3} + 12x)dx}$

Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

c) 2 ; HD: $S = 4\int\limits_0^1 {(1 - x)dx}$ $S = 4\int\limits_0^1 {(1 - x)dx}$

d) ${\pi \over 2} - 1$ ${\pi \over 2} - 1$

HD: $S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over {1 + {x^2}}} - {1 \over 2})dx = 2\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}dx} - 1}$ $S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over {1 + {x^2}}} - {1 \over 2})dx = 2\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}dx} - 1}$

Đặt $x = \tan t$ $x = \tan t$ để tính $\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}} dx$ $\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}} dx$

e) ${{27} \over 4}$ ${{27} \over 4}$.HD: Phương trình tiếp tuyến tại (-1; -2) là y = 3x + 1. Do đó, diện tích: $S = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 1 - {x^3} + 1)dx = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 2 - {x^3})dx} }$ $S = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 1 - {x^3} + 1)dx = \int\limits_{ - 1}^2 {(3x + 2 - {x^3})dx} }$

Bài 3.22 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích vật thể:

a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x, y = 0, và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x² + y² = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

a) ${1 \over 3}$ ${1 \over 3}$

HD: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại $x \in {\rm{[}}0;1]$ $x \in {\rm{[}}0;1]$ là hình vuông cạnh bằng x, S(x) = x² .

Vậy $V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx = {1 \over 3}} }$ $V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx = {1 \over 3}} }$

b) ${{16} \over 3}$ ${{16} \over 3}$.

HD: (H.83) Thiết diện tại $x \in {\rm{[}} - 1;1]$ $x \in {\rm{[}} - 1;1]$ là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y) với $y = \sqrt {1 - {x^2}}$ $y = \sqrt {1 - {x^2}}$. Khi đó, $AB = 2\sqrt {1 - {x^2}}$ $AB = 2\sqrt {1 - {x^2}}$. Diện tích thiết diện là: $S(x) = 4(1 - {x^2})$ $S(x) = 4(1 - {x^2})$

Vậy $V = 4\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})dx = 8\int\limits_0^1 {(1 - {x^2})dx = {{16} \over 3}} }$ $V = 4\int\limits_{ - 1}^1 {(1 - {x^2})dx = 8\int\limits_0^1 {(1 - {x^2})dx = {{16} \over 3}} }$

Bài 3.23 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a) y = 2 – x², y = 1, quanh trục Ox.

b) y = 2x – x², y = x, quanh trục Ox.

c) $y = {(2x + 1)^{{1 \over 3}}},x = 0,y = 3$ $y = {(2x + 1)^{{1 \over 3}}},x = 0,y = 3$, quanh trục Oy.

d) y = x² + 1, x = 0 và tiếp tuyến với y = x² + 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox.

e) y = ln x, y = 0, x = e, quanh trục Oy.

Hướng dẫn làm bài

a) ${{56} \over {15}}\pi$ ${{56} \over {15}}\pi$

b) ${\pi \over 5}$ ${\pi \over 5}$

c) ${{480} \over 7}\pi$ ${{480} \over 7}\pi$. HD: Xem hình

Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

d) ${8 \over {15}}\pi$ ${8 \over {15}}\pi$

e) ${{{e^2} + 1} \over 2}\pi$ ${{{e^2} + 1} \over 2}\pi$

Bài 3.24 trang 184 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {1 \over x}$ $y = {1 \over x}$, y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi $a \to + \infty$ $a \to + \infty$ (tức là $\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a)$ $\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a)$

Hướng dẫn làm bài

$V(a) = \pi (1 - {1 \over a})$ $V(a) = \pi (1 - {1 \over a})$ và $\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a) = \pi$ $\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } V(a) = \pi$

Câu 3.25 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Một hình phẳng được giới hạn bởi $y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1$ $y = {e^{ - x}},y = 0,x = 0,x = 1$. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

a) Tính diện tích S_n của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

b) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}$ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n}$ và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tích phân.

Hướng dẫn làm bài

Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân

a) ${S_n} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n} - 1}}}}$ ${S_n} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n} - 1}}}}$. HD: Theo hình 80 ta có:

${S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ - {1 \over n}}} + {e^{ - 2{1 \over n}}} + ... + {e^{ - {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ - {1 \over n}}}{{1 - {e^{ - 1}}} \over {1 - {e^{ - {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n}}} - 1}}$ ${S_n} = {1 \over n}{\rm{[}}{e^{ - {1 \over n}}} + {e^{ - 2{1 \over n}}} + ... + {e^{ - {n \over n}}}{\rm{]}} = {1 \over n}{e^{ - {1 \over n}}}{{1 - {e^{ - 1}}} \over {1 - {e^{ - {1 \over n}}}}} = {{{1 \over n}(1 - {e^{ - 1}})} \over {{e^{{1 \over n}}} - 1}}$

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}$ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {S_n} = 1 - {e^{ - 1}}$

Mặt khác $\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx = 1 - {e^{ - 1}}}$ $\int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx = 1 - {e^{ - 1}}}$

Câu 3.26 trang 185 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a) ${\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x$ ${\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x$ với $0 \le x \le \pi {\rm{\} }}$ $0 \le x \le \pi {\rm{\} }}$ và ${\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x$ ${\rm{\{ }}y = x + \sin x,y = x$ với $\pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}$ $\pi \le x \le 2\pi {\rm{\} }}$

b) $\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0$ $\;{\rm{\{ }}y = \sin x,y = 0$ với $0 \le x \le \pi {\rm{\} }}$ $0 \le x \le \pi {\rm{\} }}$ và ${\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0$ ${\rm{\{ }}y = \cos x,y = 0$ với $0 \le x \le \pi {\rm{\} }}$ $0 \le x \le \pi {\rm{\} }}$;

c) {y = 2x – x² , y = x} và {y = 2x – x² , y = 2 – x };

d) ${\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\}$ ${\rm{\{ }}y = \log x,y = 0,x = 10\}$ và ${\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\};$ ${\rm{\{ }}y = {10^x},x = 0,y = 10\};$

e) ${\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}$ ${\rm{\{ }}y = \sqrt x ,y = {x^2}{\rm{\} }}$ và ${\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}$ ${\rm{\{ }}y = \sqrt {1 - {x^2}} ,y = 1 - x{\rm{\} }}$

Hướng dẫn làm bài:

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

e) Sai

---------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải SBT Toán 12 bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Giải bài tập Hóa học lớp 12, Giải bài tập Vật Lí 12 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.