Giải thích tích của vectơ với một số: Công thức và ứng dụng
Công thức Toán 10: Tích của vectơ với một số
Trong chương trình Toán 10, kiến thức về tích của vectơ với một số là phần quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về hướng, độ dài và mối liên hệ giữa các vectơ trong mặt phẳng. Bài viết Giải thích tích của vectơ với một số: Công thức và ứng dụng sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa, công thức tính và các ví dụ minh họa thực tế, giúp nắm vững bản chất phép nhân vectơ với một số và vận dụng linh hoạt trong giải toán hình học.
1. Định nghĩa
Cho vectơ 
\(\overrightarrow{a}\) và số \(k\mathbb{\in R}\). \(k\overrightarrow{a}\) là một vectơ được xác định như sau:
- \(k\overrightarrow{a}\) cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k \geq 0\)
- \(k\overrightarrow{a}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\) nếu \(k < 0\) .
- \(\left| k\overrightarrow{a} \right| =
|k|.\left| \overrightarrow{a} \right|\).
2. Tính chất
- \(k\left( \overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} \right) = k\overrightarrow{a} +
k\overrightarrow{b}\)
- \((k + l)\overrightarrow{a} =
k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}\)
- \(k\left( l\overrightarrow{a} \right) =
(kl)\overrightarrow{a}\)
- \(k\overrightarrow{a} =
\overrightarrow{0}\) ⇔ k = 0 hoặc \(\overrightarrow{a} =
\overrightarrow{0}\).
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
\(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b};\left( \overrightarrow{a} \neq
\overrightarrow{0} \right)\) cùng phương \(\Leftrightarrow \exists k \in R:\overrightarrow{b}
= k\overrightarrow{a}\)
4. Điều kiện ba điểm thẳng hàng
A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0: \(\overrightarrow{AB} =
k\overrightarrow{AC}\).
5. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{x}\) tuỳ ý.
Khi đó ∃! m, n ∈ R: \(\overrightarrow{x} = m\overrightarrow{a} +
n\overrightarrow{b}\).
Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm AB ⇔ \(\overrightarrow{MA}
+ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\)
⇔ \(\overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM}\) (O tuỳ ý).
Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm ∆ABC ⇔ \(\overrightarrow{GA}
+ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} =
\overrightarrow{0}\)
⇔ \(\overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} =
3\overrightarrow{OG}\) (O tuỳ ý).
6. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Xác định vectơ \(k\overrightarrow{a}\)
Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ có chứa tích của vectơ với một số
Dạng 3: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
Dạng 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Dạng 5: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức vectơ
Dạng 6: Bài tập vận dụng cao về tích của vectơ với một số
------------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã được giải thích chi tiết tích của vectơ với một số, nắm vững công thức, tính chất và ứng dụng thực tế của phép nhân này trong chuyên đề Vectơ Toán 10. Việc hiểu rõ cách nhân vectơ với một số không chỉ giúp bạn học tốt phần hình học tọa độ, mà còn là nền tảng cho các nội dung mở rộng như hướng của vectơ và phép chiếu.
