Giải và biện luận hệ phương trình

Chuyên đề toán 9: Biện luận hệ phương trình

Giải và biện luận hệ phương trình là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

I. Cách giải biện luận hệ phương trình

Bài 1: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} mx - y = 1 \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 334 \\ \end{matrix} \right.\) (I)

a, Giải hệ khi m=1

b, Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) Thay m = 1 vào hệ phương trình (I) ta được:

\(\left\{ \begin{matrix} mx - y = 1 \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 334 \\ \end{matrix} \right.\)

Thực hiện giải hệ như sau:

\(\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 334 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x - y = 1 \\ 3x - 2y = 2004 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2x - 2y = 2 \\ 3x - 2y = 2004 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2002 \\ x - y = 1 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2002 \\ y = 2001 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy với m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2002; 2001)

b) \((I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = mx - 1 \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{mx - 1}{3} = 334(1) \\ \end{matrix} \right.\)

Để hệ phương trình vô nghiệm thì (1) vô nghiệm hay

\((1) \Leftrightarrow (3 - 2m)x = 2004 \Leftrightarrow 3 - 2m = 0 = > m = \frac{3}{2}\)

Vậy để hệ phương trình vô nghiệm thì m = 3/2

Bài 2: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} ax + ay = a^{2} \\ x + ay = 2 \\ \end{matrix} \right.\) ( I )

a, Giải hệ khi a = 2

b, Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải

a) Thay a = 2 vào hệ phương trình ta được: \(\left\{ \begin{matrix} 2x + 2y = 2^{2} \\ x + 2y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ x + 2y = 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Thực hiện giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ x + 2y = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 0 \\ x = 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy với a = 2 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 0)

b, \((I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 2 - ay \\ a(2 - ay) + ay = a^{2}(1) \\ \end{matrix} \right.\)

Để (I) có nghiệm duy nhất thì (1) phải có nghiệm duy nhất

Hay \((1) \Leftrightarrow a(1 - a)y = a(a - 2)\), có nghiệm duy nhất khi \(a(1 - a) \neq 0 = > a \neq 0,a \neq 1\)

Vậy để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện của tham số a là \(a \neq 0,a \neq 1\).

Bài 3: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} 2x + my = m + 2 \\ (m + 1)x + 2my = 2m + 4 \\ \end{matrix} \right.\) (I)

a, Giải hệ khi m = 1

b, Tìm giá trị của m để (I) có vô số nghiệm

Hướng dẫn giải

a) Thay m = 1 vào hệ phương trình ta được:

\(\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \\ \end{matrix} \right.\)

Thực hiện giải hệ phương trình ta được:

\(\left\{ \begin{matrix} 2x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = 3 \\ x = 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy với m = 1 hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (0; 3).

b, \((I) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = \dfrac{m + 2 - my}{2} \\ (m + 1).\dfrac{m + 2 - my}{2} + 2my = 2m + 4(2) \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có: \((2) \Leftrightarrow m(3 - m)y = - m^{2} + m + 6\)

Để hệ (I) có vô số nghiệm thì phương trình (2) vô số nghiệm,

Nếu m = 0 => hệ vô nghiệm

Nếu m = 3 => hệ vô số nghiệm

Nếu m\(\neq\)0, m\(\neq\)3 thì hệ có nghiệm duy nhất

Vậy để hệ phương trinh đã cho có vô số nghiệm thì m = 3.

II. Bài tập giải biện luận hệ phương trình

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của a để các hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất

a, \(\left\{ \begin{matrix} 3x - 2y = 6 \\ ax + y = - 3 \\ \end{matrix} \right.\)                                     b, \(\left\{ \begin{matrix} x - (a - 2)y = a + 2 \\ ax + y = a + 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị của a để các hệ phương trình sau có vô số nghiệm:

a, \(\left\{ \begin{matrix} 3x + ay = 3 \\ ax + 3y = 3 \\ \end{matrix} \right.\)                                       b, \(\left\{ \begin{matrix} (a + 1)x + 8y = 4a \\ ax + (a + 3)y = 3a - 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn

b, Nếu a = 0 => Hệ có 1 nghiệm (loại)

Nếu a = -1 hệ \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a(a + 1)x + 8ay = 4a^{2} \\ a(a + 1)x + (a + 1)(a + 3)y = (3a - 1)(a + 1) \\ \end{matrix} \right.\)

=>\(- (a - 1)(a - 3)y = (a - 1)^{2}\)

Với a = -1 thì hệ vô số nghiệm

Với a \(\neq\)-1 thì hệ có nghiệm duy nhất

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của b để các hệ phương trình sau vô nghiệm:

a, \(\left\{ \begin{matrix} - 4x + by = 1 + b \\ (6 + b)x + 2y = 3 + b \\ \end{matrix} \right.\)                    b, \(\left\{ \begin{matrix} x + by = 1 \\ bx - 3by = 2b + 3 \\ \end{matrix} \right.\)

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị của m để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a, \(\left\{ \begin{matrix} 2x + 3y = 5 \\ x - y = 2 \\ x + 4y = m \\ \end{matrix} \right.\)                                 b, \(\left\{ \begin{matrix} x + 2y = 3 \\ mx - 4y = - 6 \\ x + y = 1 \\ \end{matrix} \right.\)

-------------------------------------

Mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!