Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2: Cực trị của hàm số

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Mời các bạn học sinh tham khảo tài liệu: Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2: Cực trị của hàm số, tài liệu đã được VnDoc.com cập nhật và kèm theo cách giải bài tập Toán 12 chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 12. Mời các bạn học sinh và thầy cô cùng tham khảo.

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2: Cực trị của hàm số

Bài 1.11 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) y = - 2{x^2} + 7x - 5y=2x2+7x5

b) y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7y=x33x224x+7

c) y = {x^4} - 5{x^2} + 4y=x45x2+4

d) y = {(x + 1)^3}(5 - x)y=(x+1)3(5x)

e) y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}y=(x+2)2(x3)3

Hướng dẫn làm bài:

a) y = - 2{x^2} + 7x - 5y=2x2+7x5. TXĐ: R

yy=4x+7,y=0<=>x=74
yy=4=>y(74)=4<0

Vậy x = {7 \over 4}x=74 là điểm cực đại của hàm số và {y_{CD}} = {9 \over 8}yCD=98

b) y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7y=x33x224x+7 . TXĐ: R

yy=3x26x24=3(x22x8)

yy=0[x=2x=4

yy(2)=18<0,y(4)=18>0 nên hàm số đạt cực đại tại x = - 2 ; đạt cực tiểu tại x = 4 và y = y(-2) = 35 ; yCT = y(4) = -73.

c) y = {x^4} - 5{x^2} + 4y=x45x2+4

TXĐ: R

= {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}}=2x22m2x22mx+3(xm)2=x22mx2m2+3(xm)2
yy=4x310x=2x(2x25)

yy=0[x=0x=52x=52

yy(±52)=20>0,y(0)=10<0

Nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = \pm \sqrt {{5 \over 2}}x=±52 và ta có:

yCĐ = y(0) = 4 , {y_{_{CT}}} = y( \pm \sqrt {{5 \over 2}} ) = - {9 \over 4}yCĐ=y(0)=4,yCT=y(±52)=94

d) TXĐ: R

yy=(x+1)3+3(x+1)2(5x)=2(x+1)2(72x)

yy=0[x=1x=72

Bảng biến thiên:

Cực trị của hàm số

Hàm số đạt cực đại tại x = {7 \over 2};{y_{CD}} = y({7 \over 2}) = {{2187} \over {16}}x=72;yCD=y(72)=218716

e) TXĐ: R

yy=2(x+2)(x3)3+3(x+2)2(x3)2=5x(x+2)(x3)2

yy=0[x=2x=0x=3

Bảng biến thiên:

Cực trị của hàm số

Từ đó suy ra y = y(-2) = 0 ; yCT = y(0) = -108.

Bài 1.12 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}y=x+1x2+8

b) y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}y=x22x+3x1

c) y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}y=x2+x5x+1

d) y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}y=(x4)2x22x+5

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ: R

yy=x2+82x(x+1)(x2+8)2=x22x+8(x2+8)2

yy=0[x=4x=2

Bảng biến thiên:

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = - 4 và {y_{CD}} = y(2) = {1 \over 4};{y_{CT}} = y( - 4) =  - {1 \over 8}yCD=y(2)=14;yCT=y(4)=18

b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x ≠ 1.

yy=x22x1(x1)2

yy=0[x=12x=1+2

Bảng biến thiên:

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 - \sqrt 2x=12 và đạt cực tiểu tại x = 1 + \sqrt 2x=1+2, ta có:

{y_{CD}} = y(1 - \sqrt 2 ) = - 2\sqrt 2 ;{y_{CT}} = y(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2yCD=y(12)=22;yCT=y(1+2)=22

c) TXĐ: R\{-1}

yy=x2+2x+6(x+1)2>0,x1

Hàm số đồng biến trên các khoảng và do đó không có cực trị.

d) y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}y=(x4)2x22x+5

Vì x2 – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên ( - \infty ; + \infty )(;+)

yy=2(x4)(x22x+5)(x4)2(2x2)(x22x+5)2=2(x4)(3x+1)(x22x+5)2

yy=0[x=13x=4

Bảng biến thiên:

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Hàm số đạt cực đại tại x = - {1 \over 3}x=13, đạt cực tiểu tại x = 4 và {y_{CD}} = y( - {1 \over 3}) = {{13} \over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0yCD=y(13)=134;yCT=y(4)=0

Bài 1.13 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x - 6\root 3 \of {{x^2}}y=x6x23

b) y = (7 - x)\root 3 \of {x + 5}y=(7x)x+53

c) y = {x \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}y=x10x2

d) y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}y=x3x26

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ: R

yy=14x3=x34x3

yy=0<=>x=64

Bảng biến thiên:

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Vậy ta có y = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.

b) Hàm số xác định trên khoảng (−∞;+∞)(−∞;+∞).(;+)(;+).

yy=x+53+7x3(x+5)23=4(x+2)3(x+5)23

Bảng biến thiên:

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Vậy {y_{CD}} = y( - 2) = 9\root 3 \of 3yCD=y(2)=933

c) Hàm số xác định trên khoảng ( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )(10;10)

yy=10x2+x210x210x2=10(10x2)10x2

Vì y’ > 0 với mọi ( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )(10;10) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

d) TXĐ: D = ( - \infty ; - \sqrt 6 ) \cup (\sqrt 6 ; + \infty )D=(;6)(6;+)

yy=3x2x26x4x26x26
= {{3{x^2}({x^2} - 6) - {x^4}} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }}=3x2(x26)x4(x26)3
= {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }}=2x2(x29)(x26)3

Bảng biến thiên:

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x =- 3 và {y_{CT}} = y(3) = 9\sqrt 3 ;{y_{CD}} = y( - 3) =  - 9\sqrt 3yCT=y(3)=93;yCD=y(3)=93

Bài 1.14 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) y = \sin 2xy=sin2x

b) y = \cos x - \sin xy=cosxsinx

c) y = {\sin ^2}xy=sin2x

Hướng dẫn làm bài:

a) y = \sin 2xy=sin2x

Hàm số có chu kỳ T = \piT=π

Xét hàm số y = \sin 2xy=sin2x trên đoạn {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}[0;π], ta có:

yy=2cos2x

y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr 
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.y=0[x=π4x=3π4

Bảng biến thiên:

Cực trị của hàm số

Do đó trên đoạn {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}[0;π], hàm số đạt cực đại tại {\pi \over 4}π4, đạt cực tiểu tại {{3\pi } \over 4}3π4{y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1;\,\,{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = - 1yCD=y(π4)=1;yCT=y(3π4)=1

Vậy trên R ta có:

{y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1;yCĐ=y(π4+kπ)=1;

{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = - 1,k \in ZyCT=y(3π4+kπ)=1,kZ

b)

Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn {\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}[π;π]

yy=sinxcosx
yy=0<=>tanx=1<=>x=π4+kπ,kZ

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Cực trị của hàm số

Hàm số đạt cực đại tại x = - {\pi \over 4} + k2\pix=π4+k2π, đạt cực tiểu tại x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi (k \in Z)x=3π4+k2π(kZ)

{y_{CĐ}} = y( - {\pi \over 4} + k2\pi ) = \sqrt 2 ;yCĐ=y(π4+k2π)=2;

{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k2\pi ) = - \sqrt 2 (k \in Z)yCT=y(3π4+k2π)=2(kZ)

c) Ta có: y = {\sin ^2}x = {{1 - \cos 2x} \over 2}y=sin2x=1cos2x2

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \piπ. Ta xét hàm số y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2xy=1212cos2x trên đoạn {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}[0;π].

yy=sin2x
yy=0<=>sin2x=0<=>x=k.π2(kZ)

Lập bảng biến thiên trên đoạn \left[ {0,\pi } \right][0,π]

Cực trị của hàm số

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = k.{\pi \over 2}x=k.π2 với k chẵn, đạt cực đại tại x = k.{\pi \over 2}x=k.π2 với k lẻ, và

{y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0;yCT=y(2mπ)=0;

{y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)yCĐ=y((2m+1)π2)=1(mZ)

Bài 1.15 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định giá trị của m để hàm số sau có cực trị:

a) y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 5y=x33x2+mx5

b) y = {x^3} + 2m{x^2} + mx - 1y=x3+2mx2+mx1

c) y = {{{x^2} - 2mx + 5} \over {x - m}}y=x22mx+5xm

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ: D = R

yy=3x26x+m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x2 – 6x + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = 9 – 3m > 0 ⇔ 3m < 9 ⇔ m < 3.

Vậy hàm số đã cho có cực trị khi m < 3.

b) TXĐ: D = R

y’ = 3x2 + 4mx + m

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

⇔ 3x2 + 4mx + m có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = 4m2 -3m > 0 ó m(4m – 3) > 0

\Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < 0 \hfill \cr 
m > {3 \over 4} \hfill \cr} \right.[m<0m>34

Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc m > {3 \over 4}m>34.

c) TXĐ: D = R\{m}

yy=x22mx+2m25(xm)2

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên D

⇔ x2 – 2mx + 2m2 – 5 có hai nghiệm phân biệt.

⇔ ∆’ = - m2 + 5 > 0 ⇔ - \sqrt 5 < m < \sqrt 55<m<5

Bài 1.16 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.

Hướng dẫn làm bài:

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 – 4x + m ; y’ = 0 ⇔ 3x2 – 4x + m = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi:

∆’ = 4 – 3m > 0 ⇔ m<\frac{4}{3}43(*)

Hàm số có cực trị tại x = 1 thì:

y’(1) = 3 – 4 + m = 0 => m = 1 (thỏa mãn điều kiện (*))

Mặt khác, vì:

y’’ = 6x – 4 => y’’(1) = 6 – 4 = 2 > 0

cho nên tại x = 1, hàm số đạt cực tiểu.

Vậy với m = 1, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định m để hàm số: y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5y=x3mx2+(m23)x+5 có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Hướng dẫn làm bài:

y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5y=x3mx2+(m23)x+5

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có:

yy=3x22mx+(m23)

∆’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (*)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

yy(1)=32m+m23=0<=>m=73, thỏa mãn điều kiện (*)

Với m = {7 \over 3}m=73 thì hàm số đã cho trở thành:

y = {x^3} - {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5y=x373x2+53x+5

Ta có:

yy=3x2143x+53
yy=6x143

yy(1)=6143>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và {y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}yCT=y(1)=163

Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số:

f(x) = \left\{ \matrix{
- 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr 
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.f(x)={2x,x0sinx2,x<0

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số:

f(x) = \left\{ \matrix{
- 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr 
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.f(x)={2x,x0sinx2,x<0

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2limx0+f(x)f(0)x=limx0+2xx=2
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2limx0+f(x)f(0)x=limx0+2xx=2

Mặt khác, với x < 0 thì yy=12cosx2, với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Giải vở bài tập Đại số lớp 12 bài 2

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y = y(0) = 0.

Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.

y=x2+2mx−3x−m

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}.

Ta có:

y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}}y=x2+2mx3xm
yy=(2x+2m)(xm)(x2+2mx3)(xm)2
= {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}}=2x22m2x22mx+3(xm)2=x22mx2m2+3(xm)2

Xét g(x) = x2 – 2mx – 2m2 + 3

∆’g = m2 + 2m2 – 3 = 3(m2 – 1);

∆’g ≤ 0 khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’ > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Giải Vở BT Toán 12

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng