Ứng dụng bất đẳng thức vào giải toán rút gọn biểu thức

 Cách giải bài toán Ứng dụng bất đẳng thức vào dạng toán rút gọn

Ứng dụng bất đẳng thức vào giải toán rút gọn biểu thức là một dạng toán phổ biến trong chương trình Toán THCS và THPT, đặc biệt thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 và thi THPT Quốc gia. Việc vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức quen thuộc như Cauchy–Schwarz, AM–GM,... giúp học sinh không chỉ rút gọn biểu thức một cách tối ưu mà còn rèn luyện tư duy toán học logic và sắc bén. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách áp dụng bất đẳng thức để giải hiệu quả các bài toán rút gọn biểu thức, đi kèm với các ví dụ minh họa và hướng dẫn chi tiết.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức $P$.

$P=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}$

$P=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}-\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}+\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$

$P=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19-2x-6\sqrt{x}+x-4\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$

$P=\frac{x\sqrt{x}-x+16\sqrt{x}-16}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$

$P=\frac{(\sqrt{x}-1)(x+16)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}$

b) Tìm GTNN của biểu thức $P$ thì ta có thể làm theo hai cách sau:

Cách 1: Thêm, bớt ứng dụng bất đẳng thức.

$P=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}=\frac{x-9+25}{\sqrt{x}+3}$ $=\sqrt{x}-3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}-6$

$\Rightarrow P\ge 2\sqrt{(\sqrt{x}+3)\left(\frac{25}{\sqrt{x}+3}\right)}-6=2.5-6=4.$

$MinP=4\iff \sqrt{x}+3=\frac{25}{\sqrt{x}+3}\iff x=4(TM).$

Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị.

$P=\frac{x+16}{\sqrt{x}+3}\iff {\left(\sqrt{x}\right)}^2-P\sqrt{x}+16-3P=0.$

Phương trình có nghiệm:

$\mathrm{\Delta }=P^2-4(16-3P)\ge 0$ $\iff P^2+12P-64\ge 0\iff (P-4)(P+16)\ge 0$

$\iff [\begin{array}{c}P\ge 4\\ P\le -16\end{array}\Rightarrow MinP=4$ $\iff \sqrt{x}=\frac{P}{2}=2\iff x=4(TM)$

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức $P$.

$P=\frac{x-2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}+\frac{1+2x-2\sqrt{x}}{x^2-\sqrt{x}}$

$P=\frac{x-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}+1)}+\frac{2x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}$

$P=\frac{\sqrt{x}(x-2\sqrt{x})+(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)+2x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}$

$P=\frac{\sqrt{x}(x+\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}$

b) Ta có thể làm theo hai cách sau:

Cách 1: Đánh giá

Với $x>0,x\ne 1\Rightarrow x+\sqrt{x}+1>\sqrt{x}+1>1.$

Vậy $0<P=\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}<\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+1}<2.$

Vì $P$ nguyên nên $P=1\iff \frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}=1\iff x=1(KTM).$

Vậy không có giá trị nào của $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.

Cách 2: Dùng phương pháp miền giá trị.

$P=\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\iff P{\left(\sqrt{x}\right)}^2+(P-1)\sqrt{x}+P-2=0$.

TH 1:$P=0\Rightarrow \sqrt{x}=-2\iff x\in \varnothing$.

TH 2: $P\ne 0\Rightarrow \mathrm{\Delta }=(P-1{)}^2-4P(P-2)$ $=3P^2+6P+1\ge 0\iff P^2-2P-\frac{1}{2}\le 0$.

$\iff P^2-2P+1\le \frac{4}{3}\iff (P-1{)}^2\le \frac{4}{3}$ $\Rightarrow P\in \{1;2\}$ (do $P\in Z,P>0$)

$p=1\iff \frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x+1}}=1\iff x=1(KTM)$.

$P=2\iff \frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}=2\iff 2x+\sqrt{x}=0$ $\iff \sqrt{x}\left(2\sqrt{x+1}\right)=0\iff x=0(KTM)$.

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho $P=A.B$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức B.

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$

$B=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(x-3)(\sqrt{x}+3)}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$

$B=\frac{x+5\sqrt{x-24}}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}$

$B=\frac{(\sqrt{x}+8)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)\left(\sqrt{x-3}\right)}=\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x+3}}$.

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho $P=A.B$ nhận giá trị nguyên.

$P=A.B=\frac{7}{\sqrt{x}+8}.\frac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}+3}=\frac{7}{\sqrt{x}+3}$.

Vì: $x\ge 0,x\ne 9\Rightarrow \sqrt{x}+3\ge 3$ $\Rightarrow 0<p=\frac{7}{\sqrt{x}+3}\le \frac{7}{3}\Rightarrow P\in \{1;2\}$.

Với: $P=1\iff \frac{7}{\sqrt{x}+3}=1\iff \sqrt{x}+3=7$ $\iff \sqrt{x}=4\iff x=16$ (TM).

Với:$P=2\iff \frac{7}{\sqrt{x}+3}=2\iff \sqrt{x}+3=\frac{7}{2}$ $\iff \sqrt{x}=\frac{1}{2}\iff x=\frac{1}{4}$ (TM).

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức M.

Ta để ý: $\frac{a\sqrt{a-1}}{a-\sqrt{a}}=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^3-1^3}{\sqrt{a\left(\sqrt{a-1}\right)}}=\frac{\left(\sqrt{a-1}\right)(a+\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a\left(\sqrt{a-1}\right)}}=\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}$.

Thêm nữa:

$\frac{a^2-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-a\sqrt{a}}=\frac{(a^2-1)-\sqrt{a}(a-1)}{\sqrt{a}(1-a)}$

$=\frac{(a-1)(a-\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}(1-a)}=\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}$.

$\Rightarrow M=\frac{a+1}{\sqrt{a}}+\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}-\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}=\frac{{(\sqrt{a}+1)}^2}{\sqrt{a}}$.

b) Chứng minh rằng $m>4$.

Xét hiệu:

$M-4=\frac{a+2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}-4=\frac{a-2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}=\frac{{(\sqrt{a}-1)}^2}{\sqrt{a}}>0(doa>0,a\ne 1)\Rightarrow M>4$.

c) Tìm a để biểu thức $N=\frac{6}{M}$ nhận giá trị nguyên.

Cách 1: Vì: $M>4\Rightarrow 0<N=\frac{6}{M}<\frac{3}{2}\Rightarrow N=1(doN\in Z)$.

Với: $N=1\iff \frac{6\sqrt{a}}{a+2\sqrt{a}+1}=1\iff a-4\sqrt{a}+1=0$

$\iff {(\sqrt{a}-2)}^2=3\iff \sqrt{a}=2\pm \sqrt{3}$.

$\iff a={(2\pm \sqrt{3})}^2(TM)$.

Cách 2: Ta đánh giá như sau:

${(\sqrt{a}+1)}^2>3\sqrt{a}(doa-\sqrt{a}+1>0)$

$\Rightarrow M=\frac{{(\sqrt{a}+1)}^2}{\sqrt{a}}>3\iff 0<N=\frac{6}{M}<2$.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn biểu thức P.

$P=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x^2+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+x}$

$P=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}-\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{x(\sqrt{x}+1)}$

$P=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}-\frac{(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}$

$P=\frac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=2(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)$

b) Tìm x để biểu thức $M=\frac{7}{P}$ nhận giá trị nguyên.

$0<x\ne 1\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1>3\iff 2(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)>6$

$\Rightarrow M=\frac{7}{P}=\frac{7}{2(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)}<\frac{7}{6}$.

Do M nhận giá trị nguyên nên $M=1$

$\iff \frac{7}{2(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1)}=1$

$\iff \sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{5}{2}\iff 2x-5\sqrt{x}+2=0\iff x\in \{\frac{1}{4};4\}$.

------------------------------------------------------

Rút gọn biểu thức bằng cách ứng dụng bất đẳng thức không chỉ là một kỹ thuật giải toán hiệu quả mà còn giúp học sinh phát triển tư duy phân tích và khả năng vận dụng kiến thức tổng hợp. Việc luyện tập thường xuyên các dạng bài này sẽ giúp bạn làm chủ các bất đẳng thức quan trọng như AM–GM, Cauchy, Bunyakovsky và nâng cao kỹ năng giải quyết bài toán nhanh chóng, chính xác. Đừng quên lưu lại các ví dụ điển hình và mẹo giải nhanh để áp dụng linh hoạt trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng!