VnDoc.com

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski)

Chuyên đề Bất đẳng thức có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Bất đẳng thức Toán 9 Nâng cao - Có đáp án

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski) là một trong những bất đẳng thức nổi bật và quan trọng trong giải tích và đại số tuyến tính. Đây được xem là sự mở rộng của bất đẳng thức tam giác vào không gian nhiều chiều, đồng thời là nền tảng trong việc nghiên cứu các không gian vector, chuẩn và tích phân. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ bất đẳng thức Minkowski là gì, cách chứng minh, ứng dụng cụ thể và các ví dụ minh họa thực tiễn — đặc biệt hữu ích với học sinh chuyên toán, sinh viên và người đam mê toán học nâng cao.

A. Công thức bất đẳng thức Minkowski

1. Dạng tổng quát

Cho hai dãy số thực $\left( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)$ $(a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n})$ và $\left( b_{1},b_{2},...,b_{n} \right)$ $(b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n})$ thì ta luôn có:

$\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} +\sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}} + ... + \sqrt{{a_{n}}^{2} +{b_{n}}^{2}}$ $\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} + \sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}} + . . . + \sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}}$ $\geq \sqrt{\left( a_{1} + a_{2} + ... + {a_{n}}^{2} \right)+ \left( b_{1} + b_{2} + ... + {b_{n}}^{2} \right)}$ $\geq \sqrt{(a_{1} + a_{2} + . . . + {a_{n}}^{2}) + (b_{1} + b_{2} + . . . + {b_{n}}^{2})}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = . . . = \frac{a_{n}}{b_{n}}$

Quy ước: Nếu $b_{1} = 0$ $b_{1} = 0$ thì $a_{1} = 0$ $a_{1} = 0$ , tương tự áp dụng với $b_{2},b_{3},...,b_{n}$ $b_{2}, b_{3}, . . ., b_{n}$ .

2. Dạng cụ thể

Dạng 1: Cho $a,b,c,d \in R,$ $a, b, c, d \in R,$ ta có: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$ . Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .

Chứng minh

Biến đổi tương đương, ta có:

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq (ac + bd)$ $\Leftrightarrow \sqrt{(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})} \geq (a c + b d)$

$\Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}$ $\Leftrightarrow (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \geq (a c + b d)^{2}$ $\Leftrightarrow (ad - bc)^{2} \geq 0,\forall a,b,c,d$ $\Leftrightarrow (a d - b c)^{2} \geq 0, \forall a, b, c, d$

Đẳng thức xảy ra khi: $ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ $a d = b c \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Dạng 2: Cho $a,b,c,d,e,f \in R,$ $a, b, c, d, e, f \in R,$ ta có:

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$ . Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}.$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} .$

Chứng minh

Sử dụng kết quả trên, ta có được:

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$

Chú ý: Bất đẳng thức Minkowski cũng là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

B. Bài tập minh họa bất đẳng thức Minkowski

Bài 1. Cho $a, b, c > 0$ và $a b + b c + c a = a b c$ . Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2 a^{2}}}{a b} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2 b^{2}}}{b c} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2 c^{2}}}{c a} \geq \sqrt{3}$ .

Hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết: $ab + bc + ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ $a b + b c + c a = a b c \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ .

Ta có:

$\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2 a^{2}}}{a b} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2 b^{2}}}{b c} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2 c^{2}}}{c a}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có được:

$\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{b} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{c} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{b})}^{2}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{c})}^{2}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + {(\frac{\sqrt{2}}{a})}^{2}}$ $\geq \sqrt{\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2} + 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2}}$ $\geq \sqrt{{(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} + 2 {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2}}$

Mặt khác $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$

Vậy: $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2 a^{2}}}{a b} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2 c^{2}}}{b c} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2 c^{2}}}{c a} \geq \sqrt{3}$

Bài 2. Cho $a, b, c > 0$ và $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \geq \frac{1}{2}$ $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \geq \frac{1}{2}$ . Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2 a^{2}}}{a b} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2 c^{2}}}{b c} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2 c^{2}}}{c a} \geq \sqrt{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2 a^{2}}}{a b} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2 c^{2}}}{b c} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2 c^{2}}}{c a}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$

Mặt khác ta có :

$\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $\geq \sqrt{3\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2}} = \sqrt{3}.\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ $\geq \sqrt{3 {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2}} = \sqrt{3} . (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Mặt khác: $\frac{1}{a + b} \leq \frac{1}{4}.\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$ $\frac{1}{a + b} \leq \frac{1}{4} . (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ $\Rightarrow \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ $\Rightarrow \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Từ đó, ta có được: $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 1$ $\frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 1$

Vậy: $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2 a^{2}}}{a b} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2 c^{2}}}{b c} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2 c^{2}}}{c a} \geq \sqrt{3}$

Bài 3. Cho $a, b$ là hai số thực thỏa mãn $(a + 2)(b + 2) = \frac{25}{4}$ $(a + 2) (b + 2) = \frac{25}{4}$ . Tìm GTNN của biểu thức $F = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}$ $F = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}$ .

Hướng dẫn giải

Do tính đối xứng của $a$ và $b$ nên đẳng thức xẩy ra tại $a = b$ .

Khi đó : $(a + 2)^{2} = \left( \dfrac{5}{2}\right)^{2}$ $(a + 2)^{2} = {(\frac{5}{2})}^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{17}}{2} \\a = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow b = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{6577}}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = \frac{1}{2} \Rightarrow b = \frac{1}{2} \Rightarrow F = \frac{\sqrt{17}}{2} \\ a = \frac{- 9}{2} \Rightarrow b = \frac{- 9}{2} \Rightarrow F = \frac{\sqrt{6577}}{2} \end{matrix}$

Vậy ta dự đoán : $MinF = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ $M i n F = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có:

$\sqrt{1^{2} + \left( a^{2} \right)^{2}} + \sqrt{1^{2} + \left( b^{2} \right)^{2}} \geq \sqrt{(1 + 1)^{2} + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} + 4.}$ $\sqrt{1^{2} + {(a^{2})}^{2}} + \sqrt{1^{2} + {(b^{2})}^{2}} \geq \sqrt{(1 + 1)^{2} + {(a^{2} + b^{2})}^{2}} = \sqrt{{(a^{2} + b^{2})}^{2} + 4.}$

Theo giả thiết : $(a + 2)(b + 2) = \frac{25}{4} \Leftrightarrow 2(a + b) + ab = \frac{9}{4}$ $(a + 2) (b + 2) = \frac{25}{4} \Leftrightarrow 2 (a + b) + a b = \frac{9}{4}$

Từ đó xét : $\left\{ \begin{matrix}2\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} + 2\left( b - \frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} 2 {(a - \frac{1}{2})}^{2} + 2 {(b - \frac{1}{2})}^{2} \geq 0 \\ a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2(a + b) \leq 2\left( a^{2} + b^{2} \right) \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 (a + b) \leq 2 (a^{2} + b^{2}) \\ a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \end{matrix}$

Thực hiện cộng các vế với nhau, ta được:

$\frac{9}{4} = 2(a + b) + ab \leq \frac{5}{2}\left( a^{2} + b^{2} \right) + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ $\frac{9}{4} = 2 (a + b) + a b \leq \frac{5}{2} (a^{2} + b^{2}) + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$ $\Rightarrow \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

Vậy: $MinF = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ $M i n F = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

-------------------------------------------

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski) không chỉ là một bất đẳng thức lý thuyết mà còn là công cụ thiết yếu trong giải tích hiện đại, toán học không gian và các bài toán liên quan đến chuẩn vector. Việc nắm chắc định nghĩa, chứng minh và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức này sẽ giúp bạn làm chủ nhiều bài toán khó trong chương trình toán nâng cao và các kỳ thi học sinh giỏi. Hãy tiếp tục khám phá thêm các bất đẳng thức quan trọng khác để mở rộng tư duy toán học và phát triển kỹ năng giải toán chuyên sâu.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

26

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski)

321,2 KB

File word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Trắc nghiệm

Bài tập Cuối tuần

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Chuyên mục HOT

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Ôn thi