VnDoc.com

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski)

Chuyên đề Bất đẳng thức có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 9

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bất đẳng thức Toán 9 Nâng cao - Có đáp án

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski) là một trong những bất đẳng thức nổi bật và quan trọng trong giải tích và đại số tuyến tính. Đây được xem là sự mở rộng của bất đẳng thức tam giác vào không gian nhiều chiều, đồng thời là nền tảng trong việc nghiên cứu các không gian vector, chuẩn và tích phân. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ bất đẳng thức Minkowski là gì, cách chứng minh, ứng dụng cụ thể và các ví dụ minh họa thực tiễn — đặc biệt hữu ích với học sinh chuyên toán, sinh viên và người đam mê toán học nâng cao.

A. Công thức bất đẳng thức Minkowski

1. Dạng tổng quát

Cho hai dãy số thực $\left( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)$ $\left( a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)$ và $\left( b_{1},b_{2},...,b_{n} \right)$ $\left( b_{1},b_{2},...,b_{n} \right)$ thì ta luôn có:

$\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} +\sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}} + ... + \sqrt{{a_{n}}^{2} +{b_{n}}^{2}}$ $\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} +\sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}} + ... + \sqrt{{a_{n}}^{2} +{b_{n}}^{2}}$ $\geq \sqrt{\left( a_{1} + a_{2} + ... + {a_{n}}^{2} \right)+ \left( b_{1} + b_{2} + ... + {b_{n}}^{2} \right)}$ $\geq \sqrt{\left( a_{1} + a_{2} + ... + {a_{n}}^{2} \right)+ \left( b_{1} + b_{2} + ... + {b_{n}}^{2} \right)}$

Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}$

Quy ước: Nếu $b_{1} = 0$ $b_{1} = 0$ thì $a_{1} = 0$ $a_{1} = 0$, tương tự áp dụng với $b_{2},b_{3},...,b_{n}$ $b_{2},b_{3},...,b_{n}$.

2. Dạng cụ thể

Dạng 1: Cho $a,b,c,d \in R,$ $a,b,c,d \in R,$ ta có: $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$. Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Chứng minh

Biến đổi tương đương, ta có:

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq (ac + bd)$ $\Leftrightarrow \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq (ac + bd)$

$\Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}$ $\Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( c^{2} + d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}$ $\Leftrightarrow (ad - bc)^{2} \geq 0,\forall a,b,c,d$ $\Leftrightarrow (ad - bc)^{2} \geq 0,\forall a,b,c,d$

Đẳng thức xảy ra khi: $ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ $ad = bc \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$

Dạng 2: Cho $a,b,c,d,e,f \in R,$ $a,b,c,d,e,f \in R,$ ta có:

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$. Đẳng thức xảy ra khi: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}.$ $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}.$

Chứng minh

Sử dụng kết quả trên, ta có được:

$\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$ $\geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}$

Chú ý: Bất đẳng thức Minkowski cũng là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

B. Bài tập minh họa bất đẳng thức Minkowski

Bài 1. Cho $a,b,c > 0$ và $ab + bc + ca = abc$. Chứng minh rằng:

$\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết: $ab + bc + ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ $ab + bc + ca = abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$.

Ta có:

$\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có được:

$\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{b} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{c} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^{2}}$ $\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{b} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{c} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \left( \frac{\sqrt{2}}{a} \right)^{2}}$ $\geq \sqrt{\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2} + 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2}}$ $\geq \sqrt{\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2} + 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2}}$

Mặt khác $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$

Vậy: $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$

Bài 2. Cho $a,b,c > 0$ và $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \geq \frac{1}{2}$ $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \geq \frac{1}{2}$. Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $= \sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$

Mặt khác ta có :

$\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}$ $\geq \sqrt{3\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2}} = \sqrt{3}.\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ $\geq \sqrt{3\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2}} = \sqrt{3}.\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$

Mặt khác: $\frac{1}{a + b} \leq \frac{1}{4}.\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$ $\frac{1}{a + b} \leq \frac{1}{4}.\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)$ $\Rightarrow \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ $\Rightarrow \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$

Từ đó, ta có được: $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 1$ $\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 1$

Vậy: $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$ $\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} + \frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq \sqrt{3}$

Bài 3. Cho $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $(a + 2)(b + 2) = \frac{25}{4}$ $(a + 2)(b + 2) = \frac{25}{4}$. Tìm GTNN của biểu thức $F = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}$ $F = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}$.

Hướng dẫn giải

Do tính đối xứng của $a$ và $b$ nên đẳng thức xẩy ra tại $a = b$ .

Khi đó : $(a + 2)^{2} = \left( \dfrac{5}{2}\right)^{2}$ $(a + 2)^{2} = \left( \dfrac{5}{2}\right)^{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{17}}{2} \\a = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow b = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{6577}}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{17}}{2} \\a = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow b = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{6577}}{2} \\\end{matrix} \right.$

Vậy ta dự đoán : $MinF = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ $MinF = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có:

$\sqrt{1^{2} + \left( a^{2} \right)^{2}} + \sqrt{1^{2} + \left( b^{2} \right)^{2}} \geq \sqrt{(1 + 1)^{2} + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} + 4.}$ $\sqrt{1^{2} + \left( a^{2} \right)^{2}} + \sqrt{1^{2} + \left( b^{2} \right)^{2}} \geq \sqrt{(1 + 1)^{2} + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} + 4.}$

Theo giả thiết : $(a + 2)(b + 2) = \frac{25}{4} \Leftrightarrow 2(a + b) + ab = \frac{9}{4}$ $(a + 2)(b + 2) = \frac{25}{4} \Leftrightarrow 2(a + b) + ab = \frac{9}{4}$

Từ đó xét : $\left\{ \begin{matrix}2\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} + 2\left( b - \frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix}2\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} + 2\left( b - \frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2(a + b) \leq 2\left( a^{2} + b^{2} \right) \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2(a + b) \leq 2\left( a^{2} + b^{2} \right) \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.$

Thực hiện cộng các vế với nhau, ta được:

$\frac{9}{4} = 2(a + b) + ab \leq \frac{5}{2}\left( a^{2} + b^{2} \right) + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ $\frac{9}{4} = 2(a + b) + ab \leq \frac{5}{2}\left( a^{2} + b^{2} \right) + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$ $\Rightarrow \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}$

Vậy: $MinF = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ $MinF = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

-------------------------------------------

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski) không chỉ là một bất đẳng thức lý thuyết mà còn là công cụ thiết yếu trong giải tích hiện đại, toán học không gian và các bài toán liên quan đến chuẩn vector. Việc nắm chắc định nghĩa, chứng minh và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức này sẽ giúp bạn làm chủ nhiều bài toán khó trong chương trình toán nâng cao và các kỳ thi học sinh giỏi. Hãy tiếp tục khám phá thêm các bất đẳng thức quan trọng khác để mở rộng tư duy toán học và phát triển kỹ năng giải toán chuyên sâu.

Tải về

Chọn file muốn tải về: