Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +10
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski)

Bất đẳng thức Toán 9 Nâng cao - Có đáp án

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski) là một trong những bất đẳng thức nổi bật và quan trọng trong giải tích và đại số tuyến tính. Đây được xem là sự mở rộng của bất đẳng thức tam giác vào không gian nhiều chiều, đồng thời là nền tảng trong việc nghiên cứu các không gian vector, chuẩn và tích phân. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ bất đẳng thức Minkowski là gì, cách chứng minh, ứng dụng cụ thể và các ví dụ minh họa thực tiễn — đặc biệt hữu ích với học sinh chuyên toán, sinh viên và người đam mê toán học nâng cao.

A. Công thức bất đẳng thức Minkowski

1. Dạng tổng quát

Cho hai dãy số thực \left(
a_{1},a_{2},...,a_{n} \right)(a1,a2,...,an)\left( b_{1},b_{2},...,b_{n} \right)(b1,b2,...,bn) thì ta luôn có:

\sqrt{{a_{1}}^{2} + {b_{1}}^{2}} +\sqrt{{a_{2}}^{2} + {b_{2}}^{2}} + ... + \sqrt{{a_{n}}^{2} +{b_{n}}^{2}}a12+b12+a22+b22+...+an2+bn2\geq \sqrt{\left( a_{1} + a_{2} + ... + {a_{n}}^{2} \right)+ \left( b_{1} + b_{2} + ... + {b_{n}}^{2} \right)}(a1+a2+...+an2)+(b1+b2+...+bn2)

Đẳng thức xảy ra khi: \frac{a_{1}}{b_{1}}
= \frac{a_{2}}{b_{2}} = ... = \frac{a_{n}}{b_{n}}a1b1=a2b2=...=anbn

Quy ước: Nếu b_{1} = 0b1=0 thì a_{1} = 0a1=0, tương tự áp dụng với b_{2},b_{3},...,b_{n}b2,b3,...,bn.

2. Dạng cụ thể

Dạng 1: Cho a,b,c,d \in R,a,b,c,dR, ta có: \sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} +
d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}a2+b2+c2+d2(a+c)2+(b+d)2. Đẳng thức xảy ra khi: \frac{a}{b} = \frac{c}{d}ab=cd.

Chứng minh

Biến đổi tương đương, ta có:

\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} +
d^{2}} \geq \sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}}a2+b2+c2+d2(a+c)2+(b+d)2 \Leftrightarrow \sqrt{\left( a^{2} + b^{2}
\right)\left( c^{2} + d^{2} \right)} \geq (ac + bd)(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)

\Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2}
\right)\left( c^{2} + d^{2} \right) \geq (ac + bd)^{2}(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2 \Leftrightarrow (ad - bc)^{2} \geq 0,\forall
a,b,c,d(adbc)20,a,b,c,d

Đẳng thức xảy ra khi: ad = bc
\Leftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}ad=bcac=bd

Dạng 2: Cho a,b,c,d,e,f \in R,a,b,c,d,e,fR, ta có:

\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} +
d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}a2+b2+c2+d2+e2+f2 \geq
\sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d + f)^{2}}(a+c+e)2+(b+d+f)2. Đẳng thức xảy ra khi: \frac{a}{b} = \frac{c}{d} =
\frac{e}{f}.ab=cd=ef.

Chứng minh

Sử dụng kết quả trên, ta có được:

\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{c^{2} +
d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}a2+b2+c2+d2+e2+f2 \geq
\sqrt{(a + c)^{2} + (b + d)^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}(a+c)2+(b+d)2+e2+f2

\Leftrightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} +
\sqrt{c^{2} + d^{2}} + \sqrt{e^{2} + f^{2}}a2+b2+c2+d2+e2+f2 \geq \sqrt{(a + c + e)^{2} + (b + d +
f)^{2}}(a+c+e)2+(b+d+f)2

Chú ý: Bất đẳng thức Minkowski cũng là một hệ quả của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

B. Bài tập minh họa bất đẳng thức Minkowski

Bài 1. Cho a,b,c > 0a,b,c>0ab + bc + ca = abcab+bc+ca=abc. Chứng minh rằng:

\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} +
\frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq
\sqrt{3}b2+2a2ab+c2+2b2bc+a2+2c2ca3.

Hướng dẫn giải

Biến đổi giả thiết: ab + bc + ca = abc
\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} =
1ab+bc+ca=abc1a+1b+1c=1.

Ta có:

\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} +
\frac{\sqrt{c^{2} + 2b^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} +
2c^{2}}}{ca}b2+2a2ab+c2+2b2bc+a2+2c2ca =
\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} +
\frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}=1a2+2b2+1b2+2c2+1c2+2a2

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có được:

\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \left(
\frac{\sqrt{2}}{b} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \left(
\frac{\sqrt{2}}{c} \right)^{2}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \left(
\frac{\sqrt{2}}{a} \right)^{2}}1a2+(2b)2+1b2+(2c)2+1c2+(2a)2 \geq \sqrt{\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +
\frac{1}{c} \right)^{2} + 2\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +
\frac{1}{c} \right)^{2}}(1a+1b+1c)2+2(1a+1b+1c)2

Mặt khác \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +
\frac{1}{c} = 11a+1b+1c=1

Vậy: \frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} +
\frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq
\sqrt{3}b2+2a2ab+b2+2c2bc+a2+2c2ca3

Bài 2. Cho a,b,c > 0a,b,c>0\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c +
a} \geq \frac{1}{2}1a+b+1b+c+1c+a12. Chứng minh rằng: \frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} +
\frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq
\sqrt{3}b2+2a2ab+b2+2c2bc+a2+2c2ca3.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} +
\frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} +
2c^{2}}}{ca}b2+2a2ab+b2+2c2bc+a2+2c2ca=
\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}} +
\frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} + \frac{2}{a^{2}}}=1a2+2b2+1b2+2c2+1c2+2a2

Mặt khác ta có :

\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{2}{b^{2}}}
+ \sqrt{\frac{1}{b^{2}} + \frac{2}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}} +
\frac{2}{a^{2}}}1a2+2b2+1b2+2c2+1c2+2a2 \geq \sqrt{3\left(
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^{2}} = \sqrt{3}.\left(
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)3(1a+1b+1c)2=3.(1a+1b+1c)

Mặt khác: \frac{1}{a + b} \leq
\frac{1}{4}.\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)1a+b14.(1a+1b) \Rightarrow \frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} +
\frac{1}{c + a} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +
\frac{1}{c} \right)1a+b+1b+c+1c+a12(1a+1b+1c)

Từ đó, ta có được: \frac{1}{2}\left(
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq \frac{1}{2}
\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq
112(1a+1b+1c)121a+1b+1c1

Vậy: \frac{\sqrt{b^{2} + 2a^{2}}}{ab} +
\frac{\sqrt{b^{2} + 2c^{2}}}{bc} + \frac{\sqrt{a^{2} + 2c^{2}}}{ca} \geq
\sqrt{3}b2+2a2ab+b2+2c2bc+a2+2c2ca3

Bài 3. Cho a,ba,b là hai số thực thỏa mãn (a + 2)(b + 2) =
\frac{25}{4}(a+2)(b+2)=254. Tìm GTNN của biểu thức F = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 +
b^{4}}F=1+a4+1+b4.

Hướng dẫn giải

Do tính đối xứng của aabb nên đẳng thức xẩy ra tại a = ba=b .

Khi đó : (a + 2)^{2} = \left( \dfrac{5}{2}\right)^{2}(a+2)2=(52)2

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow b = \dfrac{1}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{17}}{2} \\a = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow b = \dfrac{- 9}{2} \Rightarrow F =\dfrac{\sqrt{6577}}{2} \\\end{matrix} \right.[a=12b=12F=172a=92b=92F=65772

Vậy ta dự đoán : MinF =
\frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}MinF=172a=b=12

Sử dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có:

\sqrt{1^{2} + \left( a^{2} \right)^{2}} +
\sqrt{1^{2} + \left( b^{2} \right)^{2}} \geq \sqrt{(1 + 1)^{2} + \left(
a^{2} + b^{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( a^{2} + b^{2} \right)^{2} +
4.}12+(a2)2+12+(b2)2(1+1)2+(a2+b2)2=(a2+b2)2+4.

Theo giả thiết : (a + 2)(b + 2) =
\frac{25}{4} \Leftrightarrow 2(a + b) + ab = \frac{9}{4}(a+2)(b+2)=2542(a+b)+ab=94

Từ đó xét : \left\{ \begin{matrix}2\left( a - \frac{1}{2} \right)^{2} + 2\left( b - \frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.{2(a12)2+2(b12)20aba2+b22\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}2(a + b) \leq 2\left( a^{2} + b^{2} \right) \\ab \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \\\end{matrix} \right.{2(a+b)2(a2+b2)aba2+b22

Thực hiện cộng các vế với nhau, ta được:

\frac{9}{4} = 2(a + b) + ab \leq
\frac{5}{2}\left( a^{2} + b^{2} \right) + 1 \Leftrightarrow a^{2} +
b^{2} \geq \frac{1}{2}94=2(a+b)+ab52(a2+b2)+1a2+b212

\Rightarrow \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 +
b^{4}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}1+a4+1+b4172

Vậy: MinF = \frac{\sqrt{17}}{2}
\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}MinF=172a=b=12

-------------------------------------------

Bất đẳng thức Minkowski (Mincôpski) không chỉ là một bất đẳng thức lý thuyết mà còn là công cụ thiết yếu trong giải tích hiện đại, toán học không gian và các bài toán liên quan đến chuẩn vector. Việc nắm chắc định nghĩa, chứng minh và vận dụng linh hoạt bất đẳng thức này sẽ giúp bạn làm chủ nhiều bài toán khó trong chương trình toán nâng cao và các kỳ thi học sinh giỏi. Hãy tiếp tục khám phá thêm các bất đẳng thức quan trọng khác để mở rộng tư duy toán học và phát triển kỹ năng giải toán chuyên sâu.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng