Giải Toán 10 trang 70 tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 70 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết cho Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ , giúp học sinh hiểu định nghĩa, tính chất và cách vận dụng tích vô hướng vào các bài toán hình học. Nội dung bám sát SGK, trình bày rõ ràng, hỗ trợ tự học và học tốt Toán 10. 

Giải luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC

Suy ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\)

Tương tự BH ⊥ CA suy ra \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = 0\)

b) Gọi tọa độ điểm H(x;y), ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow {AH} = (x + 1;y - 2)}\\ {\overrightarrow {BH} = (x - 8;y + 1)}\\ {\overrightarrow {BC} = \left( {0;9} \right)}\\ {\overrightarrow {AC} = \left( {9;6} \right)}\\ \end{array}\)

Thay \(y = 2\) vào \(9x + 6y – 66 = 0\) ta được:

\(9x + 6.2 – 66 = 0⇔ 9x = 54⇔ x = 6\)

\(⇒ H(6; 2)\)

Vậy \(H(6;2)\).

c) Ta có:

\({\overrightarrow {AB} = \left( {9; - 3} \right)\; \Rightarrow AB = \sqrt {{9^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = 3\sqrt {10} }\)

\({\overrightarrow {AC} = \left( {9;6} \right)\; \Rightarrow AC = \sqrt {{9^2} + {6^2}} = 3\sqrt {13} }\)

\({\overrightarrow {BC} = \left( {0;9} \right)\; \Rightarrow BC = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9}\)

Ta lại có:

\({\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC}}\)

\({ \Leftrightarrow 9.9 + \left( { - 3} \right).6 = 3\sqrt {10} .3\sqrt {13} .\cos \widehat {BAC}}\)

\({ \Leftrightarrow 63 = 9\sqrt {130} .\cos \widehat {BAC}}\)

\({ \Leftrightarrow \cos \widehat {BAC} = \frac{7}{{\sqrt {130} }} \Leftrightarrow \widehat {BAC} \approx 52,{{13}^0}}\)

Ta có:

\({\overrightarrow {BA} = \left( { - 9;3} \right)}\)

\({\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = BA.BC.\cos \widehat {ABC}}\)

\({ \Leftrightarrow \left( { - 9} \right).0 + 3.9 = 3\sqrt {10} .9.\cos \widehat {ABC}}\)

\({ \Leftrightarrow 27 = 27\sqrt {10} .\cos \widehat {ABC}}\)

\({ \Leftrightarrow \cos \widehat {ABC} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} \Leftrightarrow \cos \widehat {ABC} \approx 71,{{57}^0}}\)

\({ \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {{180}^0} - 71,{{57}^0} - 52,{{13}^0} \approx 56,{3^0}}\)

Kết luận:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {AB = 3\sqrt {10} ,AC = 3\sqrt {13} ,BC = 9,}\\ {\widehat {BAC} \approx 52,{{13}^0},\widehat {ABC} \approx 71,{{57}^0},\widehat {ACB} \approx 56,{3^0}} \end{array}\)

Giải vận dụng trang 70 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

a)Ta có:

Công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_1}}\) bằng \(\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB}\)

Công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_2}}\) bằng \(\overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB}\)

Công sinh bởi lực \(\overrightarrow F\) bằng \(\overrightarrow F .\overrightarrow {AB}\)

Mà ta có: \(\overrightarrow F = \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}}\)

=> \(\overrightarrow F .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right).\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB}\) (theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng của tích vô hướng).

Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F\) bằng tổng của các công sinh bởi các lực

b) Giả sử các lực thành phần \(\overrightarrow {{F_1}}\) và \(\overrightarrow {{F_2}}\).

b) Vì \(\overrightarrow {{F_2}}\) có phương vuông góc với phương chuyển động nên công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_2}}\) bằng \(\overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB}\)

Theo kết quả câu a) ta có:

\(\overrightarrow F .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB}\)

Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F\) bằng công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_1}}\).

Giải bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ( - 3).2 + 1.6 = 0\)

\(\Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b hay \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^o}.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 1.4 = 10\\|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} ;\;\,|\overrightarrow b |\, = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {10} .2\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^o}\end{array}\)

c) Dễ thấy: \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) cùng phương do \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{{ - \sqrt 2 }}\)

Hơn nữa \(\overrightarrow b = \left( {2; - \sqrt 2 } \right) = - \sqrt 2 .\left( { - \sqrt 2 ;1} \right) = - \sqrt 2 .\overrightarrow a \;; - \sqrt 2 < 0\)

Do đó: \(\overrightarrow a\) và \(\overrightarrow b\) ngược hướng.

\(\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^o}\)

Giải bài 4.22 trang 70 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

\(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {0^o}\)

Nói cách khác: \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v\) cùng hướng

b) Ta có \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) =- \left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right|\)

\(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = - 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) = {180^o}\)

Nói cách khác: \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v\) ngược hướng.

Giải bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),\;\overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad= {t^2} + 3t + 2. \end{array}\)

b) Để \(\widehat {AMB} = {90^o}\) hay \(AM \bot BM\) thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0\)

\(<=> t^{2} + 3t +2 = 0\)

\(<=> \left\{\begin{matrix} t = -1 \\ t = -2 \end{matrix}\right.\)

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì \(\widehat {AMB} = {90^o}\)

Giải bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\\\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}\)

\(\Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}\)

Vậy tam giác ABC có: \(a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 ; \widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.\)

b) Gọi H có tọa độ (x; y)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\\\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)\end{array} \right.\)

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow AH \bot BC\) và \(BH \bot AC\)

\(\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

=> \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 và \overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 .\)

Mà: \(\overrightarrow {BC} = (0; - 6)\)

\(\Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 \Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.\)

và \(\overrightarrow {AC} = (6; - 3)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy H có tọa độ \(\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\)

Giải bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Đặt \(A = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2} - {{\left( {AB.AC.\cos A} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}\left( {1 - {{\cos }^2}A} \right)} \end{array}\)

Mà \(1 - {\cos ^2}A = {\sin ^2}A\)

\(\Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\sqrt {A{B^2}.A{C^2}.{{\sin }^2}A}\)

\(\Leftrightarrow A = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A (Vì {0^o} < \widehat A < {180^o} nên \sin A > 0)\)

Do đó \(A = {S_{ABC}}\) hay \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\overrightarrow {AB} }^2}.{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)}^2}} .\)  (đpcm)

Giải bài 4.26 trang 70 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\end{array}\)

(do G là trọng tâm tam giác ABC)

\(\begin{array}{l} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\\ = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\end{array} (đpcm).\)

----------------------------------------------

Giải Toán 10 trang 70 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ giúp học sinh củng cố công thức tích vô hướng, rèn kỹ năng tính toán và vận dụng vào các bài toán về góc, độ dài và quan hệ vuông góc. Hy vọng lời giải sẽ hỗ trợ các em kiểm tra bài làm, ôn tập hiệu quả và tự tin hơn khi học hình học tọa độ. Tham khảo thêm Giải SGK Toán 10 KNTT để tiếp tục chinh phục các nội dung quan trọng trong chương trình.