Giải Toán 10 trang 54 tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 54 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập thuộc Bài 8: Tổng và hiệu hai vectơ , giúp học sinh hiểu cách xác định tổng, hiệu của hai vectơ và vận dụng quy tắc hình bình hành, quy tắc ba điểm vào giải toán. Lời giải bám sát SGK, trình bày rõ ràng, hỗ trợ tự học và học tốt Toán 10. 

Giải vận dụng trang 54 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác OBC vuông tại O, có:

.\(OC = BC.\sin {30^0} = \left| {\overrightarrow P } \right|.\cos {30^0}\)

Ta có:

Khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực \(\overrightarrow P\), phản lực \(\overrightarrow W\) và lực kéo \(\overrightarrow F\).

Để kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực \(\overrightarrow F\) thỏa mãn điều kiện: \(\left| {\overrightarrow F } \right| > \left| {\overrightarrow W + \overrightarrow P } \right|\)

Mặt khác \(\overrightarrow W + \overrightarrow P = \overrightarrow {OC}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow W + \overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow P } \right|.\cos {30^0} = 22148.\sin {30^0} = 11074\left( N \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| > 11074\left( N \right) \end{array}\)

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

Giải bài 4.6 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) \hfill \\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix}\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DC}\) (quy tắc hiệu)

\(\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {DC}\) (quy tắc hiệu)

=> \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD}\)

Giải bài 4.7 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}\) (Quy tắc hình bình hành)

Ta cần tìm điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BM}\)

=> ACMB là hình bình hành

=> \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {AB}\)

Mà \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}\)

=> \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {DC}\) hay \(\overrightarrow {CM} = - \overrightarrow {CD}\)

Suy ra \(\overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {CM}\) là hai vecto đối nhau

Giải bài 4.8 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình vẽ

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}\) (Quy tắc hiệu)

=> \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = a\)

Ta lại có:

\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}\) (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành)

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

Xét tam giác ABC ta có:

AB² = AM² + BM² (định lí Py – ta – go)

=> AM² = AB² – BM²

\(= A{B^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)

=> \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

=> \(AD = 2AM = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3\)

=> \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = a\sqrt 3\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| = a ;\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 3\)

Giải bài 4.9 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình vẽ

Ta có ABCD là hình bình hành

=> \(\widehat {ADC} = {60^0}\)

Ta có:

\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 3\)

\(\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right| = 2\)

\(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}\)

=> \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\)

Xét tam giác ADC ta có:

AC² = AD² + DC² – 2AD . DC . cosD

=> AC² = 3² + 2² – 2 . 3 . 2 . cos60⁰

= 7

=> \(AC = \sqrt 7\)

=> \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt 7\)

Giải bài 4.10 trang 54 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂ (H.4.17). Giả sử tàu 1 xuất phát từ A' ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi \(\overrightarrow {{v_r}}\) và \(\overrightarrow {{v_n}}\) lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B’, C’ là các điểm sao cho \(\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {A'C'} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {C'B'}\)

Khi đó tàu chuyển động với vận tốc thực tế là:

\(\overrightarrow {{v_*}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {A'C'} + \overrightarrow {C'B'} = \overrightarrow {A'B'}\)

Xét tam giác A’B’C’ ta có:

\(\widehat {A'C'B'} = \alpha\) (So le trong)

\({\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha\)

Giả sử tàu 2 xuất phát từ A ∈ d₁ và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α. Gọi \(\overrightarrow {{v_r}}\) và \(\overrightarrow {{v_n}}\) lần lượt là vận tốc riêng của tàu và vận tốc dòng nước. Gọi B, C là các điểm sao cho \(\overrightarrow {{v_r}} = \overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {CB}\)

Khi đó tàu chuyển động với vecto vận tốc thực tế là:

\(\overrightarrow {{v_1}} = \overrightarrow {{v_r}} + \overrightarrow {{v_n}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB}\)

Xét tam giác ABC có:

\(\widehat {ABC} = {180^0} - \alpha\)

\(\begin{matrix} {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) \hfill \\ \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha \hfill \\ \end{matrix}\)

Do 0⁰ < α < 90⁰ => cosα > 0

=> \({\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha\)

=>\({\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} + 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_r}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_n}} } \right|^2} - 2\overrightarrow {{v_r}} .\overrightarrow {{v_n}} .\cos \alpha\)

=> \({\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} > {\left| {\overrightarrow {{v_*}} } \right|^2}\)

Vì độ dài hai quãng đường AN và A’M’ của tàu 2 và tàu 1 chênh nhau không đáng kể nên ta coi nó bằng nhau. Do đó vì vận tốc tàu 2 lớn hơn tàu 1 nên tàu 2 là tàu đi qua bờ bên kia trước.

---------------------------

Giải Toán 10 trang 54 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 8: Tổng và hiệu hai vectơ giúp học sinh củng cố các quy tắc cộng, trừ vectơ và rèn luyện khả năng vận dụng vào bài tập hình học. Nội dung trình bày ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp để tự kiểm tra kết quả và ôn tập tại nhà. Tham khảo thêm Giải SGK Toán 10 KNTT để tiếp tục học các bài vectơ và chủ đề quan trọng trong chương trình.