Giải Toán 10 trang 68 tập 1 Kết nối tri thức
Giải Toán 10 trang 68 tập 1 Kết nối tri thức Bài 11
Giải Toán 10 trang 68 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết cho Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ , giúp học sinh hiểu định nghĩa, tính chất và cách vận dụng tích vô hướng vào các bài toán hình học. Nội dung bám sát SGK, trình bày rõ ràng, hỗ trợ tự học và học tốt Toán 10.
Giải hoạt động 2 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho hai vectơ cùng phương 
\(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {k.x;k.y} \right)\). Hãy kiểm tra công thức \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) theo từng trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0\)
b) \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0\) và k≥0;
c) \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0\) và k < 0.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\)
Mà \(\overrightarrow 0\) vuông góc với mọi vectơ nên ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0\)
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}
k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = k.\left( {{0^2} + {0^2}} \right) = 0\\
\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)
\end{array}\)
Vậy với \(\overrightarrow u = \overrightarrow 0\) công thức đã cho đúng.
b) Vì k ≥ 0 nên hai vectơ \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v\) cùng hướng
\(\Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {0^0}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\
= \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\
= \left| k \right|\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\cos {0^0} = k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right)
\end{array}\)
Vậy với \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0\) và k≥0 công thức đã cho đúng.
c) Vì k < 0 nên hai vectơ \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v\) ngược hướng
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\
= \sqrt {{x^2} + {y^2}} .\sqrt {{{\left( {kx} \right)}^2} + {{\left( {ky} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\
= \left| k \right|\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\cos {180^0}\\
= - k.\left( {{x^2} + {y^2}} \right).\left( { - 1} \right) = k\left( {{x^2} + {y^2}} \right)
\end{array}\)
Vậy với \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0\) và k < 0 công thức đã cho đúng.
Giải hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {x';y'} \right)\).
a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right);\overrightarrow v = \left( {x';y'} \right)\).
b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.
c) Tính \(\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow {OB}\) theo tọa độ của A, B.
Hướng dẫn giải:
a)Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\\
\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u
\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {x;y} \right)\)
Tương tự: \(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow v = \left( {x';y'} \right)\\
\overrightarrow {OB} = \overrightarrow v
\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {x';y'} \right)\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \left( {x' - x;y' - y} \right)\\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {x' - x} \right)}^2} + {{\left( {y' - y} \right)}^2}} \\
\Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = A{B^2} = {\left( {x' - x} \right)^2} + {\left( {y' - y} \right)^2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} = \left( {x;y} \right)\\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {OA} } \right|^2} = O{A^2} = {x^2} + {y^2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OB} = \left( {x';y'} \right)\\
\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \sqrt {x{'^2} + y{'^2}} \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {OB} } \right|^2} = O{B^2} = x{'^2} + y{'^2}
\end{array}\)
c) Theo Luyện tập 2 trang 67, ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{2}\\
= \frac{{{x^2} + {y^2} + x{'^2} + y{'^2} - {{\left( {x' - x} \right)}^2} - {{\left( {y' - y} \right)}^2}}}{2}\\
= \frac{{2xx' + 2yy'}}{2} = xx' + yy'
\end{array}\)
Giải luyện tập 3 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {0; - 5} \right);\overrightarrow v = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Tích vô hướng của hai vectơ là: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0.\sqrt 3 + \left( { - 5} \right).1 = - 5\)
Lại có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow u ;\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right)\\
\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u ;\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{ - 5}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{1}{2}\\
\Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = {120^0}
\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = - 5\) và góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v\) bằng 120°.
Giải hoạt động 4 trang 68 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1}} \right);\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2}} \right);\overrightarrow w = \left( {{x_3};{y_3}} \right)\)
a) Tính \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right);\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w\) theo tọa độ các vectơ \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v ;\overrightarrow w\).
b) So sánh \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right)\) và \(\overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w\)
c) So sánh \(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) và \(\overrightarrow v .\overrightarrow u\).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow v + \overrightarrow w = \left( {{x_2} + {x_3};{y_2} + y_3} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = {x_1}.\left( {{x_2} + {x_3}} \right) + {y_1}.\left( {{y_2} + {y_3}} \right)\\
= {x_1}.{x_2} + {x_1}.{x_3} + {y_1}.{y_2} + {y_1}.{y_3}{\rm{ }}\left( 1 \right)
\end{array}\)
Lại có:
\(\left. \begin{array}{l}
\overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\
\overrightarrow u .\overrightarrow w = {x_2}{x_3} + {y_2}{y_3}
\end{array} \right\}\)\(\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {x_2}{x_3} + {y_2}{y_3}{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
b) Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow u .\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow w } \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v + \overrightarrow u .\overrightarrow w\).
c) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}
\overrightarrow u .\overrightarrow v = {x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2}\\
\overrightarrow v .\overrightarrow u = {x_2}.{x_1} + {y_2}.{y_1}
\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = \overrightarrow v .\overrightarrow u\)
----------------------------------------------
Giải Toán 10 trang 68 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ giúp học sinh củng cố công thức tích vô hướng, rèn kỹ năng tính toán và vận dụng vào các bài toán về góc, độ dài và quan hệ vuông góc. Hy vọng lời giải sẽ hỗ trợ các em kiểm tra bài làm, ôn tập hiệu quả và tự tin hơn khi học hình học tọa độ. Tham khảo thêm Giải SGK Toán 10 KNTT để tiếp tục chinh phục các nội dung quan trọng trong chương trình.
