Giải Toán 10 trang 30 tập 1 Kết nối tri thức
Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức Bài 4 trang 30
Giải Toán 10 trang 30 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập trong Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Lời giải bám sát chương trình SGK Toán 10 KNTT, giúp học sinh hiểu cách tìm miền nghiệm, trình bày bài giải và vận dụng kiến thức chính xác.
Giải vận dụng trang 30 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là y (máy) (x,y ≥ 0 và x, y ∈ ℤ).
Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy: x + y ≤ 250
Tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)
Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có: 10x + 20y ≤ 4 000 ⇔ x + 2y ≤ 400.
Khi đó ta có hệ bất phương trình: 
\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
y{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\\
x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}250{\rm{ }}\\
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}4{\rm{ }}00
\end{array} \right.\)
Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
* Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:
+ Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (0;1) (tính cả trục Oy).
+ Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) (tính cả trục Ox).
Miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 250 và gach bỏ miền còn lại
- Vẽ đường thẳng d: x + y = 250.
- Vì 0 + 0 = 0 < 250 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 250
Do đó miền nghiệm D3 của bất phương trình x + y ≤ 250 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d).
Xác định miền nghiệm D4 của bất phương trình x + 2y ≤ 400
- Vẽ đường thẳng d’: x + 2y = 400.
- Vì 0 + 2.0 = 0 < 400 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 400
=> Miền nghiệm D4 của bất phương trình x + 2y < 400 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ (tính cả bờ d’).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OACB với O(0;0), A(250;0), C(100;150), B(0; 200)
b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là: F(x;y) = 2,5x + 4y (triệu đồng).
Vậy F(x;y) = 2,5x + 4y.
c) Bài toán chuyển về tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
y{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0{\rm{ }}\\
x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}250{\rm{ }}\\
10{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}20{\rm{ }}y{\rm{ }} \le {\rm{ }}4{\rm{ }}000
\end{array} \right.\)
Tại O(0;0): F(0;0) = 2,5.0 + 4.0 = 0;
Tại A(250;0): F(250;0) = 2,5.250 + 4.0 = 625;
Tại C(100;150): F(100;150) = 2,5.100 + 4.150 = 850;
Tại B(0;200): F(0;200) = 2,5.0 + 4.200 = 800.
Do đó F(x;y) lớn nhất bằng 850 với x = 100 và y = 150.
Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A, 150 máy loại B để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 850 triệu đồng.
Giải bài 2.4 trang 30 SGK Toán 10 tập 1 KNTT
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a.\(\left\{\begin{array}{l}x\;<\;0\\y\;\geq\;0\end{array}\right.\) b.\(\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y^2\;<\;0\\y\;-\;x\;>\;1\end{array}\right.\)
c.\(\left\{\begin{array}{l}x\;+\;y\;+\;z\;<\;0\;\\y\;<\;0\end{array}\right.\) d.\(\left\{\begin{array}{l}-\;2\;x\;+\;y\;<\;3^2\\4^2\;x\;+\;3\;y\;<\;1\end{array}\right.\)
Hướng dẫn giải
Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn, khi đó các hệ bất phương trình ý a) và ý d) là các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giải bài 2.5 trang 30 SGK Toán 10 tập 1 KNTT
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a.\(\left\{\begin{array}{l}y\;-\;x\;<\;-\;1\\x\;>\;0\\y\;<\;0\end{array}\right.\) b. \(\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\y\;\geq\;0\\2\;x\;+\;y\;\leq\;4\end{array}\right.\) c.\(\left\{\begin{array}{l}x\;\geq\;0\\x\;+\;y\;>\;5\\x\;-\;y\;<\;0\end{array}\right.\)
Hướng dẫn giải
a) Xác định miền nghiệm D1 của bất phương trình y – x < - 1 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.
- Vẽ đường thẳng d: - x + y + 1 = 0.
- Vì 0 - 0 = 0 > -1 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình y – x < -1.
Do đó miền nghiệm D1 của bất phương trình y – x < - 1 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ và không chứa biên.
Miền nghiệm D2 của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) và không chứa biên.
Miền nghiệm D3 của bất phương trình y < 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) và không chứa biên.
Vậy miền không bị gạch (không kể biên) chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
b) Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
Miền nghiệm D2 của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).
Xác định miền nghiệm D3 của bất phương trình 2x + y ≤ 4 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.
- Vẽ đường thẳng d’: 2x + y – 4 = 0.
- Vì 2.0 + 0 = 0 < 4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 4.
Do đó miền nghiệm D3 của bất phương trình 2x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ.
Khi đó miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ miền không bị gạch trong hình dưới dây:
c) Miền nghiệm D1 của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
Miền nghiệm D2 của bất phương trình x + y > 5 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.
- Vẽ đường thẳng d1: x + y – 5 = 0.
- Vì 0 + 0 = 0 < 5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x + y > 5.
Do đó miền nghiệm D2 của bất phương trình x + y > 5 là nửa mặt phẳng bờ d1 không chứa gốc tọa độ và không chứa đường thẳng d1.
Xác định miền nghiệm D3 của bất phương trình x - y < 0 và gạch bỏ miền nghiệm còn lại.
- Vẽ đường thẳng d2: x – y = 0.
- Vì 1 – (-1) = 2 > 0 nên tọa độ điểm M(1;-1) không thỏa mãn bất phương trình x – y < 0.
Do đó miền nghiệm D3 của bất phương trình x – y < 0 là nửa mặt phẳng bờ d2 không chứa điểm M(1;-1).
Khi đó miền không bị gạch và không chứa biên chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ miền không bị gạch trong hình dưới dây:
Giải bài 2.6 trang 30 SGK Toán 10 tập 1 KNTT
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
Hướng dẫn giải
a) Vì gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn nên 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1
Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị protein là: 800x + 600y (đơn vị)
Do số đơn vị protein cần ít nhất là 900 đơn vị nên ta có: 800x + 600y ≥ 900 hay 8x + 6y ≥ 9
Nếu mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn thì chứa số đơn vị lipit là: 200x + 400y (đơn vị)
Do số đơn vị lipit cần ít nhất là 400 đơn vị nên ta có: 200x + 400y ≥ 400 hay x + 2y ≥ 2
Khi đó ta có hệ bất phương trình: \(\left\{\begin{array}{l}0\;\leq\;x\;\leq\;1,6\\0\;\leq\;y\;\leq\;1,1\\8\;x\;+\;6\;y\;\geq\;9\\x\;+\;2\;y\;\geq\;2\end{array}\right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác ABCD với tọa độ các đỉnh A(0;1), B(1,6;0,2) và C(1,6;1,1), D(0;1,1)
b) Số tiền gia đình đó phải trả để mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn là:
F(x;y) = 250x + 160y (nghìn đồng)
Vậy F(x;y) = 250x + 160y
c) Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tam giác này:
F(1;0) = 250.1 + 160.0 = 250;
F(1,6;0,2) = 250.1,6 + 160.0,2 = 432;
F(1,6;1,1) = 250.1,6 + 160.1,1 = 576;
F(0;1,1) = 250.0 + 160.1,1 = 176;
Suy ra giá trị nhỏ nhất cần tìm là F(0;1,1) = 176.
Vậy để chi phí là ít nhất thì gia đình cần mua 0 kilôgam thịt bò và 1,1 kilôgam thịt lợn.
----------------------------------------------
Thông qua Giải Toán 10 trang 30 tập 1 Kết nối tri thức, học sinh có thể kiểm tra kết quả và củng cố phương pháp giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi làm bài, cần kết hợp điều kiện của từng bất phương trình để xác định chính xác miền nghiệm của hệ. Thường xuyên luyện tập sẽ giúp học sinh nâng cao kỹ năng và học tốt môn Toán 10.
