Giải Toán 10 trang 65 tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 65 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn chi tiết các bài tập trong Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ, giúp học sinh nắm được cách biểu diễn vectơ bằng tọa độ, xác định tọa độ và vận dụng các phép toán vectơ. Lời giải bám sát SGK, trình bày rõ ràng, hỗ trợ tự học và học tốt Toán 10. 

Giải bài 4.16 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải 

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

\(\Rightarrow \overrightarrow {OM} (1;3),\;\,\overrightarrow {ON} (4;2),\;\overrightarrow {MN} = (4 - 1;2 - 3) = (3; - 1)\)

\(\Rightarrow OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ,ON = \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 ,MN\)

\(= \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {10}\)

b) Dễ thấy: \(OM = \sqrt {10} = MN \Rightarrow \Delta\) OMN cân tại M.

Lại có: \(O{M^2} + M{N^2} = 10 + 10 = 20 = O{N^2}\)

Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta OMN\) vuông tại M.

Vậy \(\Delta OMN\) vuông cân tại M.

Giải bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow b = \left( {4; - 1} \right) và \overrightarrow a = 3.\overrightarrow i - 2.\overrightarrow j \;\; \Rightarrow \;\overrightarrow a \;\left( {3; - 2} \right)\)

\(\Rightarrow 2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {2.3 - 4\;;\;2.\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {2; - 3} \right)\)

Lại có: \(M (-3; 6), N(3; -3)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {3 - \left( { - 3} \right); - 3 - 6} \right) = \left( {6; - 9} \right)\)

Dễ thấy: \(\left( {6; - 9} \right) = 3.\left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = 3\left( {2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\)

b) Ta có:

\(\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;6} \right)\)  do \(M(-3; 6)\)

Và \(\overrightarrow {ON} = \left( {3; - 3} \right)\) do \(N (3; -3)\)

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{-3}{3} \neq \frac{6}{-3}\) ).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

c) Các điểm O, M, N không thẳng hàng nên OMNP là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} .\)

Do \(\overrightarrow {OM} = \left( { - 3;6} \right),\;\overrightarrow {PN} = \left( {3 - x; - 3 - y} \right)\) nên

\(\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {PN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 3 - x\\6 = - 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 9\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là P (6; -9).

Giải bài 4.18 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\overrightarrow {AB} = \left( {2 - 1;4 - 3} \right) = \left( {1;1} \right),\;\overrightarrow {AC} = \left( { - 3 - 1;2 - 3} \right) = \left( { - 4; - 1} \right)\)

Hai vectơ này không cùng phương (vì  \(\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{1}{{ - 1}}\))

=> Các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 4}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

c) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là \(\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{3 + 4 + 2}}{3}} \right) = \left( {0;3} \right)\)

d) Để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD thì:

\(\left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_D}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_D}}}{3}} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {\frac{{1 + 2 + x}}{3};\frac{{3 + 4 + y}}{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {1 + 2 + x;3 + 4 + y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {0;0} \right) = \left( {x + 3;y + 7} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = x + 3\\0 = y + 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tọa độ điểm D là (-3; -7).

Giải bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Do tàu khởi hành từ A đi chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)\) nên cứ sau mỗi giờ, tàu đi chuyển được một quãng bằng \(\left| {\overrightarrow v } \right|.\)

Vậy sau 1,5 giờ tàu di chuyển tới B, ta được: \(\overrightarrow {AB} = 1,5.\overrightarrow v\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x - 1;y - 2) = 1,5\;.\left( {3;4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 4,5\\y - 2 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5,5\\y = 8\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy sau 1,5 tàu ở vị trí (trên mặt phẳng tọa độ) là B (5,5; 8).

Giải bài 4.20 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Quân mã đi theo đường chéo hình chữ nhật có chiều dài 3 ô, chiều rộng 2 ô.

Do đó, từ vị trí hiện tại, quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E, F như dưới đây:

A có tọa độ (3; 3)

B có tọa độ (3; 1)

C có tọa độ (2; 0)

D có tọa độ (0; 0)

E có tọa độ (0; 4)

F có tọa độ (2; 4)

Vậy quân mã có thể đi đến các vị trí \(A(3;3), B(3;1), C(2;0), D(0;0), E(0;4), F(2;4)\).

----------------------------------------------

Với Giải Toán 10 trang 65 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ , học sinh có thể củng cố kiến thức về tọa độ vectơ, rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng vào các bài toán hình học. Nội dung ngắn gọn, dễ theo dõi, giúp các em chủ động kiểm tra kết quả và nâng cao hiệu quả học tập. Tham khảo thêm Giải SGK Toán 10 KNTT để tiếp tục ôn luyện các bài học tiếp theo.