Giải Toán 10 trang 57 tập 1 Kết nối tri thức
Giải Toán 10 trang 57 tập 1 Kết nối tri thức Bài 9
Giải Toán 10 trang 57 tập 1 Kết nối tri thức cung cấp lời giải chi tiết cho Bài 9: Tích của một vectơ với một số, giúp học sinh hiểu cách nhân vectơ với một số thực và vận dụng các tính chất vào giải bài tập. Nội dung bám sát SGK, trình bày dễ hiểu, hỗ trợ học sinh tự học và học tốt Toán 10.
Giải hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Với 
\(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0\) và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\) và \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) có cùng độ dài bằng \(\left| {kt} \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|\).
b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng với \(\overrightarrow u\).
c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) ngược hướng với \(\overrightarrow u\).
d) Hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(\left| {k.\left( {t\overrightarrow u } \right)} \right| = \left| k \right|\left| {t\overrightarrow u } \right| = \left| k \right|\left| t \right|\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {kt} \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|\)
\(\left| {\left( {kt} \right).\overrightarrow u } \right| = \left| {kt} \right|\left| {\overrightarrow u } \right|\)
=> \(\left| {k.\left( {t\overrightarrow u } \right)} \right| = \left| {\left( {kt} \right).\overrightarrow u } \right| = \left| {kt} \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|\)
=> Hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) có cùng độ dài bằng \(\left| {kt} \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|\)
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Vectơ \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng với \(t\overrightarrow u\) vectơ khi kt ≥ 0. (1)
Nếu t > 0 thì k ≥ 0 (do kt ≥ 0) và \(t\overrightarrow u\) cùng hướng với \(\overrightarrow u\).
=> \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng với \(t\overrightarrow u\), nên cũng cùng hướng với \(\overrightarrow u\). (2)
Nếu t < 0 thì k ≤ 0 (do kt ≥ 0) và ngược hướng với \(\overrightarrow u\).
Từ đó suy ra ngược hướng với , nên cùng hướng với \(\overrightarrow u\). (3)
Nếu t = 0 thì \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) đều bằng vectơ
=> Cả hai vectơ đều cùng hướng với \(\overrightarrow u\). (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng với \(\overrightarrow u\).
Vậy khẳng định b) là đúng.
c) Vectơ \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow u\) khi kt < 0. (5)
Nếu t > 0 thì k < 0 (do kt < 0) và cùng hướng với \(t\overrightarrow u\). Từ đó suy ra \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\) ngược hướng với \(t\overrightarrow u\), nên \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\) ngược hướng với \(\overrightarrow u\). (6)
Nếu t < 0 thì k > 0 (do kt < 0) và ngược hướng với \(t\overrightarrow u\). Từ đó suy ra \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\) cùng hướng với , nên \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\) ngược hướng với \(\overrightarrow u\). (7)
Từ (5), (6), (7) suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) ngược hướng với \(\overrightarrow u\).
Vậy khẳng định c) là đúng.
d) Hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) có cùng độ dài (theo ý a)
Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng với \(\overrightarrow u\).
Suy ra hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng .
Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) ngược hướng với \(\overrightarrow u\).
Suy ra hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng.
=> Hai vectơ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right)\); \(\left( {kt} \right).\overrightarrow u\) cùng hướng với mọi k, t.
⇒ \(k.\left( {t\overrightarrow u } \right) = \left( {kt} \right).\overrightarrow u\)
Vậy khẳng định d) đúng.
Giải hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v\). Từ đó, nêu mối quan hệ giữa \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v\).
Hướng dẫn giải:
Xét hình bình hành OEMF, ta có:
\(\overrightarrow u + \overrightarrow v = \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {OM}\) (quy tắc hình bình hành)
⇒ \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = 3\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OC}\)
Xét hình bình hành OACB, ta có:
\(3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}\) (quy tắc hình bình hành)
⇒ \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = 3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v \left( { = \overrightarrow {OC} } \right)\)
Vậy \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = 3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v\)
Giải luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG}\)
Hướng dẫn giải:
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0\)
Khi đó:
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC}\)
\(= \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GC}\)
\(= 3\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}\)
\(= 3\overrightarrow {OG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)\)
\(= 3\overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GA} = 3\overrightarrow {OG}\)
Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG}\).
Giải luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT
Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ;\overrightarrow v\) theo hai vectơ \(\overrightarrow a ;\overrightarrow b\) tức là tìm các số x, y, z, t để \(\overrightarrow u = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b ;\overrightarrow v = t\overrightarrow a + z\overrightarrow b\)
Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ sau:
Xét hình bình hành OABC, có: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} ;2\overrightarrow b = \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow u = \overrightarrow {OC}\)
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b\) (quy tắc hình bình hành)
Xét hình bình hành OMNP, có:
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {ON} ;3\overrightarrow b = \overrightarrow {OM} ; - 2\overrightarrow a = \overrightarrow {OP}\)
Khi đó, ta có:
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OP} = 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow a\)
Vậy \(\overrightarrow u = \overrightarrow a + 2\overrightarrow b ;\overrightarrow v = 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow a\)
----------------------------------------
Giải Toán 10 trang 57 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 9: Tích của một vectơ với một số giúp học sinh củng cố quy tắc nhân vectơ với một số, xác định hướng và độ dài của vectơ, đồng thời rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức vectơ. Hy vọng tài liệu giúp các em chủ động kiểm tra bài làm và nâng cao khả năng vận dụng kiến thức. Tham khảo thêm Giải SGK Toán 10 KNTT để tiếp tục ôn luyện các nội dung về vectơ.
