Giải Toán 10 trang 41 tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 41 tập 1 Kết nối tri thức hướng dẫn giải các bài tập thuộc Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác với phương pháp trình bày rõ ràng, dễ theo dõi. Nội dung giúp học sinh vận dụng định lí cosin, định lí sin và các công thức liên quan để giải bài tập, đồng thời củng cố kiến thức và học tốt Toán 10. 

Giải hoạt động 4 trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) Ta có diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích tam giác IAB, IAC, IBC:

S_∆ABC= S_∆IBC+ S_∆ICA + S_∆IAB

b) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{S_{\Delta IBC}} = \frac{1}{2}a.r}\\ {{S_{\Delta ICA}} = \frac{1}{2}b.r}\\ {{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}cr}\\ { \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta IBC}} + {S_{\Delta ICA}} + S\Delta IAB}\\ { = \frac{1}{2}a.r + \frac{1}{2}b.r + \frac{1}{2}c.r = \frac{{(a + b + c).r}}{2}.} \end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{(a + b + c).r}}{2}\)

Giải hoạt động 5 trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

a) TH1: Đường cao BD nằm trong tam giác ABC

Xét tam giac ABD vuông tại D, có:

BD = sinA.AB

TH2: Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC

Xét tam gác ABD vuông tại D, có: 

\(BD = \sin \widehat {BAD}.AB\)

Mà \(\widehat {BAD} + \widehat {BAC} = {180^0}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \sin ({{180}^0} - \widehat {BAD}) = \sin \widehat {BAD}}\\ { \Rightarrow BD = \sin \widehat {BAC}.AB = \sin A.AB} \end{array}\)

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = sinA.AB.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.AB.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.b.c\sin \widehat A\)

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}AC.AB.\sin \widehat A = \frac{1}{2}.b.c\sin \widehat A\)

Vậy cả hai trường hợp \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.b.c\sin \widehat A\)

Giải luyện tập 4 trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí sin, ta có:

\(\begin{array}{l} \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{{AB}}{{\sin {{45}^0}}}\\ \Leftrightarrow AB = \frac{{2.\sin {{45}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} = 2\sqrt 2 \end{array}\)

Ta có:

\(\widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C\; = {\rm{ }}{180^0}-{\rm{ }}{30^0}{\rm{ }}-{\rm{ }}{45^0}\; = {\rm{ }}{105^0}\)

Diện tích tam giác ABC là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .2.\sin {105^0} = 1 + \sqrt 3\)(đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3\) đvdt.

Thảo luận trang 41 SGK Toán 10 Tập 1 KNTT

Hướng dẫn giải

sinA và S được tính theo độ dài cạnh của tam giác ABC như sau:

Ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\) (định lí côsin)

Ta lại có: cos²A + sin²A = 1

⇔ sin²A = 1 – cos²A

\(\begin{array}{*{20}{l}} { \Leftrightarrow {{\sin }^2}A = 1 - {{\left( {\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}} \right)}^2}}\\ { \Leftrightarrow \sin A = \sqrt {{{\frac{{4{b^2}{c^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{4{b^2}{c^2}}}}^2}} } \end{array}\)

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\\ = \frac{1}{2}.b.c.\sqrt {{{\frac{{4{b^2}{c^2} - \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}}{{4{b^2}{c^2}}}}^2}} \end{array}\\ { = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {2bc - {b^2} - {c^2} + {a^2}} \right)\left( {2bc + {b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)} }\\ { = \frac{1}{4}\sqrt {\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2} - {a^2}} \right]} }\\ { = \frac{1}{4}\sqrt {\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)} } \end{array}\)

---------------------------------

Với Giải Toán 10 trang 41 tập 1 Kết nối tri thức – Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác , học sinh có thể kiểm tra cách làm, củng cố các định lí quan trọng và rèn luyện khả năng vận dụng vào từng bài toán.