™
Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 9 Toán 9 Chuyên đề Toán 9

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 16: Bài toán cực trị hình học

Bài tập bất đẳng thức lớp 9
Tải về

Chuyên đề Toán 9: Bất đẳng thức hình học

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 16: Bài toán cực trị hình học được VnDoc.com sưu tầm nhằm giúp quá trình ôn tập và củng cố kiến thức chuẩn bị cho kì thi học kì mới môn Toán của các bạn học sinh lớp 9 trở nên thuận lợi hơn. Mời các bạn tham khảo

A. Cách giải bài toán cực trị hình học

1. Sử dụng mối quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc.

Từ điểm A ở ngoài đường thẳng d kẻ AH vuông góc với d. Với bất kì điểm B trên đường thẳng d ta có: AH ≤ AB. Dấu "= " xảy ra khi và chỉ khi B trùng với H.

2. Sử dụng quy tắc ba điểm

Với ba điểm bất kì A, B; C ta luôn có: AB ≤ AC + CB

Dấu "= " xảy ra khi và chỉ khi C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB.

3. Sử dụng bất đẳng thức đại số: với x, y là các số không âm ta có:

  • \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \geqslant xyx2+y22⩾xy
  • \frac{{x + y}}{2} \geqslant \sqrt {xy}x+y2⩾xy
  • \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \geqslant {\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right)^2} \geqslant xyx2+y22⩾(x+y2)2⩾xy

Dấu "= " xảy ra khi và chỉ khi x = y.

B. Bài tập cực trị hình học

Bài 1. Tìm một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Giả sử hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O; R)

Cách 1: Kẻ AH vuông góc với DB.

Ta có: 

\begin{matrix} {S_{ABCD}} = 2{S_{ABD}} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = 2.\frac{1}{2}BD.AH = 2R.AH \leqslant 2R.AO = 2{R^2} \hfill \\ \end{matrix}SABCD=2SABD⇒SABCD=2.12BD.AH=2R.AH⩽2R.AO=2R2

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD lớn nhất bằng 2R^{2}2R2 khi H \equiv OH≡O hay ABCD là hình vuông.

Cách 2. \bigtriangleup ABC△ABC vuông tại B theo định lí Py-ta-go, ta có: {AB}^{2} + {BC}^{2} = {AC}^{2} = 4R^{2}AB2+BC2=AC2=4R2

Áp dụng bất đẳng thức Co -si, ta có:

S_{ABCD} = AB \cdot BC \leq \frac{AB^{2} + BC^{2}}{2} = \frac{4R^{2}}{2} = 2R^{2}.SABCD=AB⋅BC≤AB2+BC22=4R22=2R2.

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD lớn nhất bằng 2R^{2}2R2 khi AB = BCAB=BC hay ABCD là hình vuông.

Nhận xét: Ý tưởng của hai lời giải trên là:

Nếu tam giác có một cạnh không đổi thì diện tích lớn nhất khi đường cao ứng với cạnh đó lớn nhất.

Các yếu tố về cạnh có tổng bình phương không đổi (tổng hai cạnh không đổi hoặc tích hai cạnh không đổi) thì ta có thể vận dụng bất đẳng thức đại số.

Bài 2. Trên đường tròn (O;R)(O;R) có dây BC < 2RBC<2R có định. Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC để:

a) Chu vi \bigtriangleup ABC△ABC lớn nhất.

b) Diện tích \bigtriangleup ABC△ABC lớn nhất.

Giải

Hình vẽ minh họa

a) Đặt \widehat{BAC} = \alphaBAC^=α. Vì BC cố dịnh nên \alphaα không dổi.

Trên tia đối của tia AB lấy AM = ACAM=AC.

Suy ra \bigtriangleup AMC△AMC cân tại A

\Rightarrow \widehat{M_{1}} = \widehat{C_{1}} = \frac{1}{2}\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\alpha⇒M1^=C1^=12BAC^=12α

\Rightarrow M⇒M thuộc cung chứa góc \frac{1}{2}\alpha12α dựng trên đoạn thẳng BC (phần nửa mặt phằng bờ BC có chứa điểm A ).

Ta có chu vi \bigtriangleup ABC△ABC là AB + AC + BC = BM + BCAB+AC+BC=BM+BC.

Chu vi \bigtriangleup ABC△ABC lớn nhất \Leftrightarrow BM⇔BM lớn nhất \Leftrightarrow BM⇔BM là đường kính của đường

tròn chứa cung chứa góc \frac{1}{2}\alpha \Leftrightarrow \widehat{BCM} = 90^{\circ} \Leftrightarrow AB = AC = AM12α⇔BCM^=90∘⇔AB=AC=AM.

Hay A là diếm chính giữa cung lớn BC của dường tròn (O;R)(O;R).

b) (h.29) Cách 1. Kẻ AH\bot BC,OM\bot BCAH⊥BC,OM⊥BC.

Ta có S_{ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AH \leq \frac{1}{2}BC \cdot AM \leq \frac{1}{2}BC \cdot (AO + OM)SABC=12BC⋅AH≤12BC⋅AM≤12BC⋅(AO+OM).
Mà BC,AO,OMBC,AO,OM không đổi nên diện tích \bigtriangleup ABC△ABC lớn nhất bằng \frac{1}{2}BC(AO + OM)12BC(AO+OM).
Khi H \equiv M;A,O,MH≡M;A,O,M thẳng hàng \Leftrightarrow A \equiv T⇔A≡T là diểm chính giữa của cung lớn BC.

Cách 2. Kẻ tiếp tuyến xy // BC tiếp xúc với cung lớn BC tại T, khi đó T là diểm chính giữa của cung lớn BC.

Nếu A trùng với T thì AH là khoảng cách giữa xy và BC. Nếu A không trùng với T thì AH nhỏ hơn khoảng cách giữa xy và BC.

Mà S_{ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AHSABC=12BC⋅AH nên S_{ABC}SABC lớn nhất \Leftrightarrow AH⇔AH lớn nhất \Leftrightarrow A⇔A trùng với TT.

C. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1:: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d thay đổi đi qua A và cắt đường tròn (O); (O') lần lượt tại M và N (A nằm giữa M và N).

a. Chứng minh rằng góc MBN có giá trị không đổi.

b. Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tam giác MBN lớn nhất.

c. Tìm vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác MBN lớn nhất.

Bài 2. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Vẽ tiếp tuyến Ax. Lấy điểm M trên nửa đường tròn. Tia BM cắt Ax tại C. Xác định vị trí điểm M để 2BM + BC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và điểm M thuộc nửa đường tròn, vẽ MH vuông góc với AB. Xác định vị trí điểm M để:

a. Diện tích tam giác OMH lớn nhất.

b. Chu vi tam giác OMH lớn nhất.

Bài 4. Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn. Kẻ CH vuông góc với AB tại H. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AC và BC. Tìm vị trí của điểm C để:

a. Độ dài đoạn EF lớn nhất.

b. Tứ giác CEHF có diện tích lớn nhất.

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

.............................................

Ngoài Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 16: Bài toán cực trị hình học . Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề Thi vào lớp 10 năm 2019 này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Chia sẻ, đánh giá bài viết
2
2.104 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Chọn file muốn tải về:

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 16: Bài toán cực trị hình học

1,3 MB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Nhiều người đang xem

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Đề thi vào 10 môn Toán
Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng