Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 1 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Quan sát Hình 8. Thay ? bằng số thích hợp

EG = ..?... EM , GM = ..?.. EM, GM = ..?.. EG, FG = ..?.. GN, FN = ..?.. GN, FN = ..?.. FG

Hướng dẫn giải

Ta thay như sau:

Bài 2 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Quan sát hình 9

a) Biết AM = 15 cm, tính AG

b) Biết GN = 6 cm, tính CN

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có AM, NC là hai đường trung tuyến

G là giao điểm của AM, NC

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

a)

=> AG = 10

b)

=> CN = 6. 3 = 18

Bài 3 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2 FI.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆BMG và ∆CME ta có:

BM = CM (M là trung điểm của BC)

(hai góc đối đỉnh)

ME = MG (giả thiết)

=> ∆ BMG = ∆ CME (c.g.c)

;

Mà hai góc ở vị trị so le trong

=> GB // CE.

b) Xét tam giác ABC có AM và CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của tam giác ABC

=> AG = 2GM

+ Ta có: GE = GM + EM

=> GE = 2GM (GM = EM)

=> AG = GE

=> G là trung điểm đoạn thẳng AE

=> BG là đường trung tuyến của tam giác ABM.

+ Xét tam giác ABM có: AI và BG là 2 đường trung tuyến

mà AI cắt BG tại F

=> F là trọng tâm của tam giác ABC

=> AF = 2FI.

Bài 4 trang 75 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm BC.

Hướng dẫn giải

a) ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

N là trung điểm của

M là trung điểm của

=> AN = AM

Xét ∆ ANC và ∆ AMB ta có:

AB = AC

chung

AN = AM

=> ∆ ANC = ∆ AMB (c.g.c)

=> NC = MB

b) 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I

=> I là trọng tâm của ∆ ABC

Mà BM = CN

=> IB = IC

+ Xét ∆ ACI và ∆ ABI có:

AB = AC

AI chung

IB = IC

=> ∆ ACI = ∆ ABI (c.c.c)

+ Xét ∆ ABH và ∆ ACH có:

AB = AC

AH chung

=> ∆ ABH = ∆ ACH (c.g.c).

=> BH = CH

=> H là trung điểm của BC.

Bài 5 trang 76 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của BM và CN

=> O là trọng tâm của tam giác ABC

Mà BM = CN

=> CO = BO

=> ∆ OBC cân tại O

Hay

Xét ∆ NBC và ∆ MBC ta có:

CN = BM

BC chung

=> ∆ NBC = ∆ MBC (c.g.c)

Hay

=> ∆ ABC cân tại A.

Bài 6 trang 76 SGK Toán 7 CTST tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF

Hướng dẫn giải

+ ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

D là trung điểm của

E là trung điểm của

=> AD = AE

+ Xét ∆ ABE và ∆ ACD có:

AB = AC

chung

AE = AD

=> ∆ ABE = ∆ ACD (c.g.c)

=> BE = CD = 9cm

+ Xét ∆ ABC có hai đường trung tuyến BE và CD cắt nhau tại F

=> F là trọng tâm của tam giác ABC